专题02 勾股定理（期末真题汇编，天津专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 勾股定理专题汇编，覆盖11个高频考点，精选天津多区期末真题，注重基础应用与生活情境结合 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|考点01-11（如两点距离、直角三角形判断）|结合网格、数轴考几何直观，如考点03网格求长度| |填空|约5题|考点04-09（折叠、弦图、无理数）|融入赵爽弦图文化素材，如考点05弦图计算小正方形边长| |解答|约6题|考点02、10-11（解三角形、实际应用）|生活情境题占比高，如考点11村庄取水点距离计算，适配期末综合能力考查|

专题02 勾股定理及其逆定理 11大高频考点概览 考点01 两点之间的距离 考点02 勾股定理解三角形 考点03 勾股定理与网格 考点04 勾股定理与折叠 考点05 以弦图为背景的计算 考点06 梯子问题 考点07 楼梯最值问题 考点08 判断能否构成直角三角形 考点09 勾股定理与无理数 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 考点11 勾股定理的实际应用 地 城 考点01 两点之间的距离 1．（24-25八年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的距离公式．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是 故选：A． 地 城 考点02 勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·天津河北·期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（   ）米路 A．30 B．20 C．50 D．40 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 2．（24-25八年级下·天津·期末）若实数m，n满足，且m，n恰好是的两条边长，则第三条边长为（    ） A．3或4 B．5或 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴m-3=0且n-4=0， 则m=3，n=4， 当4是直角边时，斜边长， 当4是斜边时，另一条直角边， 综上，第三条边长为5或． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 3．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 过点作于点，摆绳与地面的垂足为，证明，得到，再利用勾股定理求出，得到，求出，由题意得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂足为， 与成角， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·天津·期末）一个门框的尺寸如图所示，一块长3米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？答：_______．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】连接AC，由勾股定理求出AC的长度，然后进行比较，即可得到答案. 【详解】解：连接，如图所示： 在中，根据勾股定理可得：， 又∵， ∴木板的宽， ∴木板能从门框内通过． 故答案为：能． 【点睛】本题主要考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息，理解能通过的条件，是解题的关键． 5．（24-25八年级下·天津·期末）如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得，． (1)若，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，求此时的长度．（结果保留一位小数，其中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的长为． （2）解：过点作于点，如图： ∵，，，， ∴， ∴， ， ∴． 6．（24-25八年级下·天津宝坻·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD，AD＝3，求AB的长． 【答案】AB＝3 【分析】先证明Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），即有AD＝3＝BD，再在Rt△ABD中利用勾股定理即可求解． 【详解】∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDF和Rt△ADC中， ∵， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）， ∴AD＝3＝BD， 在Rt△ABD中，， ∴， 即AB＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）是解答本题的关键． 地 城 考点03 勾股定理与网格 1．（24-25八年级下·天津和平·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用网格得，，，证明得，再由网格得，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图，连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·天津河东·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在格点图中勾股定理的应用．根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 地 城 考点04 勾股定理与折叠 1．（24-25八年级下·天津和平·期末）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． (1)若，求的度数； (2)若； ①求的长； ②的面积为______． 【答案】(1)的度数为 (2)①的长为6；② 【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得． （2）①根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；②根据①中结果，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴； （2）①∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴，即， 解得：， ∴的长为6； ②由①得， ∴， ∴ 故答案为：60． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理解三角形等，解题的关键熟悉并会用直角三角形相关知识点． 地 城 考点05 以弦图为背景的计算 1．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 小正方形的边长为17， 故选：C． 地 城 考点06 梯子问题 1．（24-25八年级下·天津和平·期末）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 地 城 考点07 楼梯最值问题 1．（24-25八年级下·天津河西·期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：C． 地 城 考点08 判断能否构成直角三角形 1．（24-25八年级下·天津河东·期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1 B．2 C．6，7，8 D．1，3，3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可． 【详解】解：A、，故能构成直角三角形，符合题意； B、，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、，故不能构成直角三角形，不符合题意； D、，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·天津·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，2，6 C．3，4，5 D．5，8，10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形三边关系，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3.（24-25八年级下·天津和平·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选A． 地 城 考点09 勾股定理与无理数 1．（24-25八年级下·天津河西·期末）如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：设点对应的实数为， ∵在数轴上，点，点分别表示实数，2， ∴， ∵，， ∴， 由作图可知，， 又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴， ∴， ∴， 即点对应的实数为， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·天津河西·期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出，进而结合数轴可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∴点A表示的数为， 故选C．    【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出长是解题关键． 地 城 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 1．（24-25八年级下·天津河东·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)证明； (2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少平方米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）利用勾股定理先求解，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形 ， . （2）解：由（1）可知，， ， ，                           菜园扩大的面积为． 答：菜园的面积扩大了24平方米. 2．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，四边形中，，垂足为点B，连接．若． (1)求的长； (2)求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中， ∵， ∴； （2）证明：在中， ∵， ∴， ∴，即． 3．（24-25八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，， (1)求的大小； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，说明为直角三角形，，是解题的关键． （1）先根据直角三角形性质求出，再根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，最后求出结果即可； （2）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ∴为直角三角形，， ． （2）解：，， ， ，， 四边形的面积为． 地 城 考点11 勾股定理逆定理的实际问题 1．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是村庄到河边最近的道路，计算见解析 (2)新路比原路少 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路． （2）∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少 2．（24-25八年级下·天津河西·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； （2）解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理及其逆定理 ☆11大高频考点概览 考点01两点之间的距离 考点02勾股定理解三角形 考点03勾股定理与网格 考点04勾股定理与折叠 考点05以弦图为背景的计算 考点06梯子问题 考点07楼梯最值问题 考点08判断能否构成直角三角形 考点09勾股定理与无理数 考点10利用勾股定理的逆定理求解 考点11勾股定理的实际应用 目目 考点01 两点之间的距离 1.(24-25八年级下·天津河西·期末)在平面直角坐标系中，点P(1,2)到原点的距离是() A.5 B.5 C.3 D.2 目目 考点02 勾股定理解三角形 1.(24-25八年级下·天津河北期末)如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便 群众，沿AC修了一条近路，已知AB=40米，BC=30米，则走这条近路AC可以少走()米路 A.30 B.20 C.50 D.40 2.(24-25八年级下·天津期末)若实数m,n满足m-3+Vn-4=0,且m,n恰好是RIAABC的两条边长， 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则第三条边长为() A.3或4 B.5或√万 C.5 D./7 3.(25-26八年级上·天津西青期末)如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳0A与地面垂直， 向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度BE为l.3m,摆动水平距离BD为1.6m,最高点B处距离秋千顶端 O的竖直高度0D为1.2m;然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与0C成90°角， 则小丽在C处时距离地面的竖直高度CF的长度是 m B 4.(24-25八年级下·天津·期末)一个门框的尺寸如图所示，一块长3米，宽2.2米的长方形薄木板能否从 门框内通过？答：·（填“能”或“不能”） 2m A B ←1m 5.(24-25八年级下·天津·期末)如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C,测得AC=80cm, BC =60cm. A B (1)若∠ACB=90°，求AB的长； (2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB=30°，求此时AB的长度.（结果保留一 位小数，其中√2≈1.414,5≈1.732，√5≈2.236) 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CG⊥AB,∠CAB=30°，AC=80cm,BC=60cm, G B 1 :.CG=三AC=40cm, 2 AG=√AC2-CG2=V802-402=405cm, BG=VBC2-CG2=V602-402=205cm, 6.(24-25八年级下·天津宝坻期末)如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为D,E为AC上一点，BE交AD 于F,且BF=AC,FD=CD,AD=3,求AB的长， B 目目 考点03 勾股定理与网格 1.(24-25八年级下·天津和平.期末)如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确 的是() A.∠1+∠2=1359 B.∠1+∠2=150 C.∠1-∠2=90° D.∠1-∠2=105° 2.(24-25八年级下·天津河东·期末)如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B, C,D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E,则CE的长为(). 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.3-6 B.√7-2 C.3-V5 D.22-2 目目 考点04 勾股定理与折叠 1.(24-25八年级下·天津和平.期末)如图，在R1aABC中，∠B=90°，将△ABC沿AM折叠，使点B落在 AC边上点D的位置. B M C (I)若AM=MC,求∠C的度数； (2)若AB=12,BC=16: ①求BM的长； ②△AMC的面积为 目目 考点05 以弦图为背景的计算 1.(24-25八年级下，天津南开·期末)如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家 赵爽的“弦图”.如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.己知大正 方形的边长AD为25，AE的长为7，则小正方形的边长EF为() IcmE-I G B 图① 图② A.15 B.16 C.17 D.18 4/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 梯子问题 1.(24-25八年级下·天津和平.期末)如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0为24m ,如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m,那么梯子的顶端向上滑动的距离是() A.(（106-24m B.1m C.2m D.(4-5)m 目目 考点07 楼梯最值问题 1.(24-25八年级下·天津河西·期末)如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长 度至少要( ) B 3m 5m A.5米 B.6米 C.7米 D.8米 目目 考点08 判断能否构成直角三角形 1.(24-25八年级下·天津河东期末)以下列各数为边长，能构成直角三角形的是() A.1,3,V10 B.2,2,V5 C.6,7,8 D.1,3,3 2.(24-25八年级下·天津·期末)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A.1,2,3 B.2,2,6 C.3,4,5 D.5,8,10 3.(24-25八年级下·天津和平期末)下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是() A.2,3,4B.1,1,√2 C.1,5,2 D.8,15,17 5/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点09 勾股定理与无理数 1.(24-25八年级下·天津河西·期末)如图，在数轴上，点A,点B分别表示实数-1,2，过点B作 BC⊥AB.且BC=2,连接AC,若以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D,则点D对 应的实数是 2.(22-23八年级下·天津河西·期末)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为() A. -5 B.1-5 C.-1-5 D.-3 目目 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 1.(24-25八年级下·天津河东·期末)如图，有一块三角形菜园ABC,其中AB=13m,AC=12m,BC=5m C (1)证明AC⊥BC; (2)现要扩大菜园，在边CB的延长上找一点D,使边AD的长为15m,求菜园的面积扩大了多少平方米？ 2.(24-25八年级下·天津南开·期末)如图，四边形ABCD中，AB⊥BC,垂足为点B,连接AC,若 AB=9,BC=12,CD=8,AD=17. 6/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求AC的长； (2)求证AC⊥CD. 3.(24-25八年级下·天津红桥期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，LACB=30°，AB=2,AD=5, CD=3, D Q C (1)求∠BCD的大小： (2)求四边形ABCD的面积. 目目 考点11 勾股定理逆定理的实际问题 1.(24-25八年级下·天津西青期末)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点 A,B,道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在 同一条直线上)，并新修一条道路CH,已知CB=1.3km,CH=1.2km,HB=0.5km. H B (1)CH是否为村庄C到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.9km,求新路CH比原路CA少多少千米. 2.(24-25八年级下·天津河西·期末)如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB 上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为l5km,与公路上另一停 靠站B的距离为20km,停靠站A、B之间的距离为25km,且CD⊥AB. 7/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求修建的公路CD的长； (2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 8/8