第一章 四边形 单元综合测试卷2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第一章四边形单元综合测试卷 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形外角和的应用，掌握正多边形外角和是解题的关键． 先根据题意，可知小明的行走路线是正多边形，再根据正多边形的外角，求出边数，最后计算即可求解． 【详解】解：小明每次前进相同距离后右转相同角度，最终回到出发点， 其行走路线是正多边形，且每个外角为， 多边形外角和为， 该正多边形的边数， 每条边长为10米， 路程为：（米）． 故选：B． 2．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 3．在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 4．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性质进而可得答案． 【详解】解：绕点O旋转得到， A、与关于点O成中心对称，符合题意 B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意； C、∵绕点O旋转得到， ∴，， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； D、∵绕点O旋转得到， ∴， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； 故选A． 5．如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟记三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 先由三角形中位线的判定与性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后数形结合表示出即可得到答案． 【详解】解：在中，分别为边的中点，， ， 在中，，为边的中点，， ， ， 故选：B． 6．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，已知与关于点成中心对称，过点任作直线，分别交，于点，，下面的结论：点和点，点和点分别关于点成中心对称直线必经过点；四边形是中心对称图形；四边形与四边形的面积必相等；与成中心对称．其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称和中心对称图形的性质，关键是知识点的熟练应用； 根据中心对称的性质得出四边形是平行四边形，从而判断结论是否正确． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形，≌，≌ 即：点就是平行四边形的对称中心， ∴ ①点和点；点和点分别关于点成中心对称，正确； ②直线必经过点，正确； ③四边形是中心对称图形，正确； ④四边形与四边形的面积必相等，正确； ⑤与成中心对称，正确． 其中正确的个数为个． 故选：D ． 8．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形与折叠的性质． 由折叠可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴，即点到的距离为． 故选：C． 9．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 10．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点作于点，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴即：是等腰直角三角形， ∵正方形边长为， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在矩形中，与交于点O，点E为上一点，连接并延长交于点F，满足．若，，则________________ ． 【答案】 【分析】由，以及矩形的性质可得，从而得到可得到，再由勾股定理可得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵，且，， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，推导出，求出的长是解题的关键． 12．如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 13．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有_________（只填写序号）．    【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 14．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 _____． 【答案】16或17或18 【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为16， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为18， 所以多边形的边数可以为16或17或18． 故答案为：16或17或18． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．解题的关键是掌握多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 15．如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则_______． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 16．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 17．(6分) 探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 18．(7分) （1）请你在如图的正方形网格中，画出线段关于点成中心对称的线段； （2）已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查中心对称的概念及作图方法．中心对称是指把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． （1）找出点A和点B关于点O的中心对称点，连接即可； （2）根据中心对称点平分对应点的连线即可得到各点的对称点，然后顺次连接即可； （3）连接对应点的连线，其交点即为对称中心点O． 【详解】解：（1）连接，并延长至，使得到点，同样得到点，连接即可．如图 （2）连接，并延长到，使得，于是得到点A的对称点； 同样画出点B、点C和点D的对称点、点和点； 顺次连接、、、，如图所示的即为所求的四边形． （3）连接、交于点，即为所求． 19．(7分)定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，结合等边三角形的边相等推导线段关系是解题的关键． 通过中点条件确定中位线，得到中位线与四边形对边的长度关系，再由等边三角形的边相等，转化为四边形对边相等． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴． ∵，分别是对角线，的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”． 20.．(8分) 如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、图形旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和等边三角形的性质是解题的关键． 先利用等边三角形的性质得到 及相关角度，再结合旋转性质得到 ，从而推出 ；接着证明 为等边三角形，得到 ，进而推出 ；最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将绕点旋转得到， ∴． ∴，是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 21．(8分) 如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答； （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 22．(10分)在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据D是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点D是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可求出，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∴菱形的面积的面积， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 23．(10分) 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定； （1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）先证明四边形是菱形，进而可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； 若四边形是正方形，则， 又四边形是菱形， ， ， ∴ 故答案为：． 24．(10分) 如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理： （1）由折叠的性质可得到的条件是：①，②，且；由②可判定四边形是矩形，由可证得四边形是正方形； （2）设，由折叠的性质可得：（即正方形的边长为x），，；进而可用x表示出的长，即可在中，由勾股定理求得的长，进而可求出的长； 熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ； 由折叠可知，，， ，， ； ； 四边形是正方形． （2）四边形是正方形， ， 又，，， 设的长为，则，． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章四边形单元综合测试卷 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 2．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 3．在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 5．如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知与关于点成中心对称，过点任作直线，分别交，于点，，下面的结论：点和点，点和点分别关于点成中心对称直线必经过点；四边形是中心对称图形；四边形与四边形的面积必相等；与成中心对称．其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在矩形中，与交于点O，点E为上一点，连接并延长交于点F，满足．若，，则________________ ． 12．如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 13．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有_________（只填写序号）．    14．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 _____． 15．如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则_______． 16．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 17．(6分) 探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 18．(7分) （1）请你在如图的正方形网格中，画出线段关于点成中心对称的线段； （2）已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 19．(7分)定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 20.．(8分) 如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 21．(8分) 如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 22．(10分)在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 23．(10分) 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 24．(10分) 如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $