第1章 综合与实践 出入相补原理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“出入相补原理”，作为四边形章节的综合实践内容。通过介绍刘徽创建原理、吴文俊院士复原古证的背景导入，衔接矩形性质等已有知识，以矩形对角线推论证明为支架，引导学生从定理理解过渡到面积分割拼接、三角形面积计算等实际应用。 其亮点在于融合数学史与几何探究，以出入相补原理为核心，通过矩形推论的逻辑证明培养推理意识，结合正方形分割拼矩形、三角形中位线相关面积计算等问题发展几何直观与模型意识。学生能在历史情境中提升数学思维，教师可直接利用现成证明案例与分层应用题目，优化教学流程。

2 第1章　四边形 综合与实践　出入相补原理 3 【背景简介】 　　出入相补原理：一个平面几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变. 出入相补原理最早由魏晋时期数学家刘徽创建. 所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是：一个平面图形从一处移置他处，面积不变. 又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系. 4 【定理证明】 　　数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证. 请根据图1完成这个推论的证明过程. 证明：因为四边形ABCD是矩形，AC为对角线，EG⫽AD⫽BC，MN⫽AB⫽CD，所以S△ADC=S△ABC，S△ANF=S_______，S△FGC=S_______. 所以S△ADC-（S△ANF+S△FGC）=S△ABC-（S_______+S_______），所以S矩形NFGD=S矩形EBMF. △AEF △FMC △AEF △FMC 5 【定理应用】 （1）把边长为8的正方形按图2方式分割，分割之后能把图形重新拼成图3中长为13，宽为5的矩形吗？ （2）如图4，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，延长FD至点M，使DM=DF，连接MB，延长FE至点N，使EN=EF，连接CN. 若DE=4，AF=3，求四边形BCNM的面积. 6 解：（1）因为82=64，5×13=65，64≠65，所以把边长为8的正方形按图2方式分割，分割之后不能把图形重新拼成图3中长为13，宽为5的矩形. （2）因为AF⊥DE，所以∠AFD=∠AFE=90°. 因为D是AB的中点，所以AD=BD. 在△ADF和△BDM中，因为DF=DM，∠ADF=∠BDM，AD=BD，所以△ADF≌△BDM，所以AF=BM，∠M=∠AFD=90°. 同理可得：CN=AF，∠N=∠AFE=90°，所以BM=CN，BM⫽CN，所以四边形BCNM为平行四边形. 又因为∠N=90°，所以▱BCNM为矩形，所以S矩形BCNM=S△ABC. 因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以BC=2DE=8，又因为BM=AF=3，所以S矩形BCNM=8×3=24. 8 $