专题07平面直角坐标系与图形坐标表示同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题07平面直角坐标系与图形坐标表示同步讲义 【题型01 有序数对表示位置】............................................4 【题型02 有序数对表示路线】............................................7 【题型03 写出直角坐标系中点的坐标】....................................9 【题型04 求点到坐标轴的距离】.........................................13 【题型05 判断点所在的象限】...........................................15 【题型06 由点的象限位置求参数】.......................................18 【题型07 用方向角与距离确定位置】.....................................19 【题型08 根据方位描述确定位置】.......................................22 【题型09 坐标系中描点】...............................................25 【题型10 实际问题中的坐标表示】.......................................29 【解答题4题】.........................................................32 ★知识梳理 知识点01:平面直角坐标系 一、坐标系的构成 定义：平面内互相垂直且原点重合的两条数轴组成平面直角坐标系。 坐标轴： x 轴（横轴）：水平数轴，向右为正方向。 y 轴（纵轴）：竖直数轴，向上为正方向。 原点 O：两轴交点，坐标为 (0, 0)。 单位长度：两轴单位长度必须统一。 二、象限划分（逆时针） 象限 位置 坐标符号（x, y） 第一象限 右上 (+, +) 第二象限 左上 (-, +) 第三象限 左下 (-, -) 第四象限 右下 (+, -) 关键：坐标轴上的点不属于任何象限。 三、点的坐标与特征 1.有序数对：点 P 的坐标记作 P(x, y)，横坐标 x 在前，纵坐标 y 在后，顺序不可颠倒。(x, y) 和 (y, x) 表示平面内不同的点 2.一一对应：坐标平面内的点与有序实数对 (x, y) 一一对应。 3.特殊位置点的坐标： x 轴上：y = 0，如 (5, 0)、(-3, 0)。 y 轴上：x = 0，如 (0, 4)、(0, -1)。 原点：(0, 0)。 4.点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点02:简单图形的坐标表示 一、核心思想 用关键点（顶点）的坐标确定图形位置与形状；坐标系不同，点坐标不同。 二、建立坐标系的原则（简化计算） 1.以图形的顶点、中心、对称轴交点为原点。 2.让图形的边平行于 x 轴或 y 轴。 3.使图形尽可能关于坐标轴对称。 三、坐标与图形变换（基础） 平移： 左右移：x ± 平移量，y 不变。 上下移：y ± 平移量，x 不变。 对称： 关于 x 轴对称：(x, y) → (x, -y)。 关于 y 轴对称：(x, y) → (-x, y)。 关于原点对称：(x, y) → (-x, -y)。 核心易错点 1.有序数对顺序：(a,b) ≠ (b,a)，横坐标在前，纵坐标在后。 2.点到坐标轴的距离：到 x 轴距离是纵坐标的绝对值 ∣b∣，到 y 轴距离是横坐标的绝对值 ∣a∣，易混淆。 3.象限符号：第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第四象限横坐标为正、纵坐标为负，易记反。 4.坐标轴上的点：x 轴上点纵坐标为 0，y 轴上点横坐标为 0，不属于任何象限。 【题型1.有序数对表示位置】 【典例】如图，字母对应的位置可以用表示，有一个英文单词的字母顺序对应图中的位置分别为，，，请你把这个英文单词写出来：________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，根据有序数对的定义，分别找出各个有序数对表示的字母，然后写出单词即可．理解有序数对与表格的对应关系是解题的关键． 【详解】解：对应的字母是S， 对应的字母是U， 对应的字母是N， 可知这个英文单词为． 故答案为：． 【跟踪专练1】王伟坐在教室的第5列、第6排，用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，数对中第一个数表示列，第二个数表示排， ∵张乐与李林在同一列，李林在第7列， ∴张乐在第7列， ∵张乐在王伟的前一排，王伟在第6排， ∴张乐的排数为，即张乐在第5排， ∴张乐的位置用数对表示是． 【跟踪专练2】两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ________．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 【答案】猫 【分析】本题考查了有序数对的应用．根据题意确定所对应的字母位置是解题的关键． 由咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”，可知“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”，然后作答即可． 【详解】解：∵咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”， ∴“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”． 故答案为：猫． 【跟踪专练3】将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， ∵当时，， 当时，， ∴2024在第64排， ∵， ∴表示2024的有序数对是． 故选：C． 【题型2.有序数对表示路线】 【典例】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 【跟踪专练1】从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可． 【详解】解：可以组成，，，，，共6个有序实数对， 故选D． 【点睛】本题考查函数的基础知识，熟练掌握有序实数对的意义及组合方法是解题关键． 【跟踪专练2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 【跟踪专练3】如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)从点到点应记为． 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负可得出结论； （2）根据题意：，如图1； （3）令与对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】（1）解：图中； 故答案为：； （2）解：点的位置如图所示． （3）解：，， ，， 从点到点应记为． 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点，解决本题的关键是理解题意，明确每一个坐标的对应点． 【题型3.写出直角坐标系中点的坐标】 【典例】教室里，小明，小亮，小红的位置如图所示，如果小明的位置用表示，小亮的位置用表示，则小红的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，根据小明与小亮的位置，建立平面直角坐标系，再结合坐标系即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵小明的位置用表示，小亮的位置用表示， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， ∴小红的位置可以表示为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形；由正方形的面积得正方形的边长为5，结合点A的坐标得点D的坐标，即可求得点C的坐标． 【详解】解：∵正方形的面积为25， ∴正方形的边长为5，即， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，以为直角边在x轴下方作等腰直角三角形，，，则点C的坐标是________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，通过角的计算可找出，结合，即可证出，根据全等三角形的性质即可得出，再结合点的坐标即可得出的长度，进而可得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 【题型4.求点到坐标轴的距离】 【典例】点到轴的距离是________． 【答案】3 【分析】此题主要考查的是点的坐标，熟知点到坐标轴距离的定义是解题的关键． 点到 轴的距离等于其纵坐标的绝对值． 【详解】解：点 的纵坐标为，其绝对值为，故到轴的距离为. 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，点与相距4个单位长度，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，任意一点与轴的距离是横坐标的绝对值．点A与点B在同一条平行于x轴的直线上，因此点B的纵坐标与点A的纵坐标相同；点B与点A相距4个单位长度，即横坐标之差的绝对值为4，从而求解点B的横坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴． ∵点B与点A相距4个单位长度， ∴， ∴或， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴正半轴上有一动点，以为一边在上方作等边，连接，当的长取最小值时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】以为边在x轴的上方作等边，连接，过点E作轴于点H，证明，可得，可得到当最小时，最小，从而得到当轴时， 最小，即可解答． 【详解】解：如图，以为边在x轴的上方作等边，连接，过点E作轴于点H， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C在y轴的正半轴上， ∴当轴时， 最小， ∵点，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∵点C在y轴上，轴， ∴点的坐标为． 【跟踪专练3】点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质和勾股定理，熟知第二、四象限的角平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据第二、四象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点在第二、四象限的角平分线上， 所以点的横纵坐标互为相反数． 又因为点到原点的距离等于， 所以， 则时，；时，， 所以点坐标为或． 故选：． 【题型5.判断点所在的象限】 【典例】在平面直角坐标系中，点在第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，因此位于第四象限． 故答案为：四． 【跟踪专练1】已知点在轴的正半轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，先根据轴正半轴上点的坐标特征确定的取值范围．再判断点横、纵坐标的符号．最后依据各象限内点的坐标符号特征确定点所在象限． 【详解】解：点在轴的正半轴上 ， 点的横坐标为负，纵坐标为正 又第二象限内点的坐标特征是 点在第二象限 故选：B． 【跟踪专练2】定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 【答案】一 【分析】本题考查了新定义运算，判断点所在的象限，读懂题目信息，理解“”的运算方法是解题的关键．根据新运算规则表示出，结合，得到和的值，从而确定点的坐标，并判断象限即可． 【详解】解：由运算定义，． ， ，， 点的坐标为， 点在第一象限． 故答案为：一． 【跟踪专练3】如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，依题意可画出直角坐标系， ∴点A位于第四象限，点B位于第二象限， ∴点C位于第三象限． 故选：C． 【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键． 【题型6.由点的象限位置求参数.】 【典例】已知点在坐标轴上，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查坐标轴上的点坐标的特征，由，排除在轴上的可能，则点在轴上，即． 【详解】解：∵， ∴点不在轴上， 又∵点在坐标轴上， ∴点在轴上， ∴，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】在直角坐标系中，点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点是解题的关键．根据在第四象限点的坐标特征得到关于m的不等式，解得即可． 【详解】解：点在第四象限， ，， 则． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的性质，点的坐标特征．由作图痕迹得点在的平分线上，则点到轴和轴的距离相等，得到，再结合点在第二象限，即可得解． 【详解】解：由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∴， 解得或， ∵ 点在第二象限， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点坐标的符号特征．根据第四象限点坐标的特征，横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标， 由，得； 由，得； ∴x的取值范围是， 故选：C． 【题型7.用方向角与距离确定位置】 【典例】如图，小悦一家要到山西革命圣地八路军总部旧址参观，则小悦家在八路军总部旧址的________方向处． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方位角，根据图形解答即可． 【详解】解：小悦家在八路军总部旧址的北偏东方向处． 故答案为：北偏东． 【跟踪专练1】为方便日常交通出行“最后一公里”的共享单车，已掀起“绿色出行”的潮流．如图，一辆共享单车在小明家的具体位置表述正确完整的是（    ） A．北偏东方向 B．45米处 C．北偏东方向45米处 D．东偏北方向45米处 【答案】C 【分析】本题考查了用方向角与距离确定物体的位置；根据题意知，方向是北偏东，距离是45米，由此即可求解． 【详解】解：一辆共享单车在小明家的具体位置是在北偏东方向45米处； 故选：C． 【跟踪专练2】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______． 【答案】(3，300°)或(3，120°) 【分析】设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C． 【详解】解： 如图：设中心点为点O，在中， ， ， 是直角三角形，且 ∴C的位置为：(3，)或(3，)． 【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键． 【跟踪专练3】小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（    ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．小艇在游船的正南方向，且距游船处 D．小艇在小艇的北偏西，且距游船处 【答案】D 【分析】本题考查了主要坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．利用方向角的表示方法对各选项进行判断． 【详解】解：由图可知： 小艇A在游船的北偏东，且距游船，故选项A描述错误； 小艇B在游船的北偏西，且距游船，故选项B描述错误； 小艇在游船的正南方向，且距游船．故选项C描述错误； 连接，如图： ∵， ∴， 故小艇在小艇的北偏西，且距游船处 故选：D． 【题型8.根据方位描述确定位置】 【典例】下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．文化路中段 B．黄河中下游 C．南偏东 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：选项A：文化路中段仅表示路段范围，无具体点； 选项B黄河中下游为广阔区域，不精确； 选项C南偏东缺少参考点和距离，无法确定唯一位置； 选项D北纬，东经为经纬度坐标，能唯一对应地球上一个点； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________． 【答案】 邮局 医院 【分析】结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点． 【详解】解：由题意知：邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向， ∴ 可推断出A点是邮局，B点是医院，C点是学校． 故答案为：邮局；医院 【点睛】本题考查了方位的概念以及在生活中的应用．熟练记忆各个方位是解答本题的关键． 【跟踪专练2】周末，丽丽与欣欣相约一起到图书馆看书，下图是她俩在微信中的一段对话： 根据上面两人的对话记录，丽丽能从A超市走到图书馆门口的路线是（    ） A．向北直走500米，再向西直走100米 B．向南直走500米，再向西直走100米 C．向北直走300米，再向西直走200米 D．向南直走300米，再向西直走200米 【答案】A 【分析】先根据丽丽的第一、二句话确定出图书馆和A超市的位置，再根据图形解答即可． 【详解】解：根据题意画图如下，红色线路为丽丽所走的路线，蓝色线路为欣欣所走的路线， 故欣欣从A超市走到图书馆的路线是：向北直走500米，再向西直走100米． 故选：A． 【点睛】本题考查了确定位置，读懂题目信息并画出图形更形象直观． 【跟踪专练3】如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 【答案】(1)，图见解析； (2)图见解析； (3)东，南（或南，东），． 【分析】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用． （1）从图上即可得出学校的位置； （2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可； （3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置． 【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是，公园的位置是如图：    （2）解：∵小桥在学校东偏北方向处， ∴用数对表示小桥的位置为：，如图：    （3）解：如图可知，    则公园位于小桥的东偏南或南偏东方向上，距离是． 【题型9.坐标系中描点】 【典例】下列平面直角坐标系画法正确的是（   ） A． .B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解决本题的关键熟知平面直角坐标系的定义. 平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可. 【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，公共原点，选项错误，不符合题意； B、两条数轴互相垂直，公共原点，符合平面直角坐标系的定义，选项正确，符合题意； C、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，选项错误，不符合题意； D、坐标轴未标注名称，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在“笑脸”的“嘴巴”上找一格点，这一格点的坐标可以为______（写出一点即可）．    【答案】答案不唯一 【分析】本题考查了点的坐标，根据点的坐标的定义解答即可． 【详解】解：如图，在“笑脸”的“嘴巴”上找一格点，这一格点的坐标可以为，，，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，以点O(0,0)，与C为顶点，构造平行四边形，点C的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】点O、点A、点B分别作顶点，构造平行四边形，共有三种情况，逐一讨论即可． 【详解】解：①是平行四边形的对角线时，如下图．    因为，则点A、点C的纵坐标相同，均为1；因，故C的横坐标为等于B的横坐标加上A点的横坐标，即C点的横坐标为4．此时，C点的坐标为． ②是平行四边形的对角线时，如下图，    仿照①的推理法，可得C点的坐标为． ③是平行四边形的对角线时，如下图．    因（平行四边形的对边、对角相等）， ∴，则两三角形的底边上的高相等，故C点的纵坐标与A点纵坐标绝对值相等，符号相反，即为-1．横坐标为2， 所以C点的坐标为． 综合以上①②③三种情况可知，C点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是充分考虑点C的三种位置情况． 【跟踪专练3】定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由，，，在平面直角坐标系描点， ∴ ， ∴， 解得， ∴三角形内部格点的个数为， 故选：． 【题型10.实际问题中的坐标表示】 【典例】2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，由吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，建立平面直角坐标系，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示会宁会师的点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，建立直角坐标系如图， 由图可知河南博物院的坐标为． 【跟踪专练2】如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 【答案】 【分析】先根据题意建立直角坐标系，再利用轴对称图形的性质找到放置的点的位置，再写出坐标即可． 【详解】由棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方子的位置用表示， 如图，建立直角坐标系， 要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点， 由图可知点． 【跟踪专练3.】如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 先根据黑棋①和黑棋②的坐标建立坐标系，再根据白棋③的位置其坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下所示坐标系： ∴黑棋②的坐标是． 故选：A． 【解答题】 1．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 2．如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东．其中． (1)求的度数； (2)若，写出小华家相对学校的位置． 【答案】(1)； (2)小华家C在学校的南偏东方向处． 【分析】此题主要考查方位角的定义和计算，解题的关键是熟知方位角与平角的性质． （1）根据角的和差求解即可； （2）根据方位角的概念和平角求解即可． 【详解】（1）解：∵点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东， ∴． 答：的度数为． （2）设点D为点O正南方向上的一个点，如图 ∵， ∴， ∴小华家C在学校的南偏东方向处． 3．如图，每个小正方形网格的边长表示，A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校． (1)请你以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系； (2)利用（1）中建立的平面直角坐标系，写出B同学家的坐标，若C同学家的坐标为，请在图上标出C同学家的位置； (3)若D同学家在B同学家南偏西方向，距B同学家处，则D同学家所在位置的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)；C同学家的位置见解析 (3) 【分析】（1）根据A同学到学校的方向与距离确定学校在A点向右5个网格，再向上1个网格的位置，即可建立直角坐标系； （2）根据点B在坐标系中的位置得到坐标，根据点C的坐标知点C在第二象限，到轴3个网格的距离，到轴1个网格的距离，由此描出点C； （3）根据平面直角坐标系，从B同学家向下3个网格到点，再向左3个网格到D同学家，即，可得，，即得D同学家所在位置的坐标是． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示． （2）解：由图可得，C同学家如图所示． （3）解：由题意得，D同学家所在位置的坐标是． 4．已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平面直角坐标系与图形坐标表示同步讲义 【题型01 有序数对表示位置】............................................4 【题型02 有序数对表示路线】............................................5 【题型03 写出直角坐标系中点的坐标】....................................6 【题型04 求点到坐标轴的距离】..........................................7 【题型05 判断点所在的象限】............................................8 【题型06 由点的象限位置求参数】........................................8 【题型07 用方向角与距离确定位置】......................................9 【题型08 根据方位描述确定位置】.......................................10 【题型09 坐标系中描点】...............................................11 【题型10 实际问题中的坐标表示】.......................................12 【解答题4题】.........................................................13 ★知识梳理 知识点01:平面直角坐标系 一、坐标系的构成 定义：平面内互相垂直且原点重合的两条数轴组成平面直角坐标系。 坐标轴： x 轴（横轴）：水平数轴，向右为正方向。 y 轴（纵轴）：竖直数轴，向上为正方向。 原点 O：两轴交点，坐标为 (0, 0)。 单位长度：两轴单位长度必须统一。 二、象限划分（逆时针） 象限 位置 坐标符号（x, y） 第一象限 右上 (+, +) 第二象限 左上 (-, +) 第三象限 左下 (-, -) 第四象限 右下 (+, -) 三、点的坐标与特征 1.有序数对：点 P 的坐标记作 P(x, y)，横坐标 x 在前，纵坐标 y 在后，顺序不可颠倒。(x, y) 和 (y, x) 表示平面内不同的点 2.一一对应：坐标平面内的点与有序实数对 (x, y) 一一对应。 3.特殊位置点的坐标： x 轴上：y = 0，如 (5, 0)、(-3, 0)。 y 轴上：x = 0，如 (0, 4)、(0, -1)。 原点：(0, 0)。 4.点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点02:简单图形的坐标表示 一、核心思想 用关键点（顶点）的坐标确定图形位置与形状；坐标系不同，点坐标不同。 二、建立坐标系的原则（简化计算） 1.以图形的顶点、中心、对称轴交点为原点。 2.让图形的边平行于 x 轴或 y 轴。 3.使图形尽可能关于坐标轴对称。 三、坐标与图形变换（基础） 平移： 左右移：x ± 平移量，y 不变。 上下移：y ± 平移量，x 不变。 对称： 关于 x 轴对称：(x, y) → (x, -y)。 关于 y 轴对称：(x, y) → (-x, y)。 关于原点对称：(x, y) → (-x, -y)。 核心易错点 1.有序数对顺序：(a,b) ≠ (b,a)，横坐标在前，纵坐标在后。 2.点到坐标轴的距离：到 x 轴距离是纵坐标的绝对值 ∣b∣，到 y 轴距离是横坐标的绝对值 ∣a∣，易混淆。 3.象限符号：第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第四象限横坐标为正、纵坐标为负，易记反。 4.坐标轴上的点：x 轴上点纵坐标为 0，y 轴上点横坐标为 0，不属于任何象限。 【题型1.有序数对表示位置】 【典例】如图，字母对应的位置可以用表示，有一个英文单词的字母顺序对应图中的位置分别为，，，请你把这个英文单词写出来：________． 【跟踪专练1】王伟坐在教室的第5列、第6排，用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ________．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 【跟踪专练3】将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【题型2.有序数对表示路线】 【典例】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【跟踪专练1】从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【跟踪专练2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【跟踪专练3】如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【题型3.写出直角坐标系中点的坐标】 【典例】教室里，小明，小亮，小红的位置如图所示，如果小明的位置用表示，小亮的位置用表示，则小红的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为25，点A的坐标为，则点C的坐标为（______，______）． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，以为直角边在x轴下方作等腰直角三角形，，，则点C的坐标是________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型4.求点到坐标轴的距离】 【典例】点到轴的距离是________． 【跟踪专练1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，点与相距4个单位长度，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴正半轴上有一动点，以为一边在上方作等边，连接，当的长取最小值时，点的坐标为______． 【跟踪专练3】点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型5.判断点所在的象限】 【典例】在平面直角坐标系中，点在第______象限． 【跟踪专练1】已知点在轴的正半轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 【跟踪专练3】如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6.由点的象限位置求参数.】 【典例】已知点在坐标轴上，则_____． 【跟踪专练1】在直角坐标系中，点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7.用方向角与距离确定位置】 【典例】如图，小悦一家要到山西革命圣地八路军总部旧址参观，则小悦家在八路军总部旧址的________方向处． 【跟踪专练1】为方便日常交通出行“最后一公里”的共享单车，已掀起“绿色出行”的潮流．如图，一辆共享单车在小明家的具体位置表述正确完整的是（    ） A．北偏东方向 B．45米处 C．北偏东方向45米处 D．东偏北方向45米处 【跟踪专练2】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______． 【跟踪专练3】小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是（小圆半径是），若小艇在游船的正南方向处，则下列关于小艇A、B的位置的描述，正确的是（    ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．小艇在游船的正南方向，且距游船处 D．小艇在小艇的北偏西，且距游船处 【题型8.根据方位描述确定位置】 【典例】下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．文化路中段 B．黄河中下游 C．南偏东 D．北纬，东经 【跟踪专练1】如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________． 【跟踪专练2】周末，丽丽与欣欣相约一起到图书馆看书，下图是她俩在微信中的一段对话： 根据上面两人的对话记录，丽丽能从A超市走到图书馆门口的路线是（    ） A．向北直走500米，再向西直走100米 B．向南直走500米，再向西直走100米 C．向北直走300米，再向西直走200米 D．向南直走300米，再向西直走200米 【跟踪专练3】如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 【题型9.坐标系中描点】 【典例】下列平面直角坐标系画法正确的是（   ） A． .B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在“笑脸”的“嘴巴”上找一格点，这一格点的坐标可以为______（写出一点即可）．    【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，以点O(0,0)，与C为顶点，构造平行四边形，点C的坐标为_______________________． 【跟踪专练3】定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【题型10.实际问题中的坐标表示】 【典例】2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________． 【跟踪专练1】奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 【跟踪专练3.】如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东．其中． (1)求的度数； (2)若，写出小华家相对学校的位置． 3．如图，每个小正方形网格的边长表示，A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校． (1)请你以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系； (2)利用（1）中建立的平面直角坐标系，写出B同学家的坐标，若C同学家的坐标为，请在图上标出C同学家的位置； (3)若D同学家在B同学家南偏西方向，距B同学家处，则D同学家所在位置的坐标是______． 4．已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $