精品解析：2026年甘肃武威市凉州区松树镇九年制学校、凉州区柏树镇九年制学校一模数学试题

2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 如图图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义求出每个选项中数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：分别计算各选项数的绝对值：，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是，对应选项为C． 3. 若关于 的一元二次方程有实数根，则 的值不能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再判断选项中不满足范围的值即可．用到一元二次方程有实根时判别式非负的性质． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 方程中，，，代入得：， 整理得， 解得， ∵四个选项中只有，不满足取值范围． ∴k的值不能为3． 4. 抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与 轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；② ；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与 轴的另一个交点是．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴直线的位置可判断①；先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，进而判定 的正负，可判②；运用函数图象的交点个数确定方程的根的情况，即可判定③；根据抛物线对称轴的位置判断④． 【详解】解：①由题可知抛物线的对称轴在直线的右侧， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 则, 故①错误，不符合题意； ②∵抛物线开口向下，则， 抛物线与轴交于正半轴，则， ， 故②错误，不符合题意； ③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④若抛物线与 轴的另一个交点是． ∵抛物线与 轴的一个交点为 ∴抛物线对称轴是， 由题意可知，抛物线的对称轴在直线的右侧， 故④错误，不符合题意． 则一个正确 故选：A ． 5. 如图，点，，在上，垂直平分，交于点．若 ，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理可得 、、，在 中，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图， 垂直平分， 、、， ， ， 在 中，，由勾股定理得：， 即， 解得， 的半径为． 6. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求球的数量，设红球的个数为 个，根据摸到白球的概率等于白球的个数除以球的总数建立方程求解即可． 【详解】解：设红球的个数为 个． 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴红球的个数为1个． 故选：A． 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合 的大小关系比较的大小． 【详解】解： 反比例函数中， ， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 8. 如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过作 于，由正方形的性质推出，，由， 求出，由，得， ，由， 得，进而得 ，由 ，即可求得 的结果． 【详解】解：过作 于， ∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∵ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 9. 如图，在 中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在 和中，根据正弦的定义求解，根据余角的性质可得出 ，然后根据同角的正弦相等判断即可． 【详解】解：在 中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选项D符合题意． 10. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是， 故选： 二、填空题（共24分，每空3分） 11. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】41 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键； 根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：41． 12. 二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据二次函数的顶点坐标公式求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线，将已知点代入二次函数解析式，联立方程组求解即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， 又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上， ∴， 整理得： 解得：或 ． 13. 中，，点为 中点，点在线段上，点为中点，绕点顺时针旋转 得到线段 ，连接，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，先根据等腰 得到，， ，设 ，由旋转得到，， ，即可得到，，，再证明，得到，，再根据三角形内角和的“8”字模型得到，得到，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：连接交于， ∵ 中，，点为 中点， ∴，， ， 设 ， ∵绕点顺时针旋转 得到线段 ， ∴，， ， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ，， ∵点为中点， ∴ 垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 14. 如图，为的直径，，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，根据可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，正比例函数 的图象与双曲线交于，两点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和 ，再联立方程组求解即可； 【详解】解： 在双曲线上， ， ， 在正比例函数 上， ， ， 正比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得：或， 两个函数的交点为，， ． 16. 如图，在四边形中，已知 ， ．与交于点E，且，，四边形的面积为________． 【答案】72 【解析】 【分析】过点D作 于点M，延长 ，作 于点N，证明四边形为矩形，得出， ，，，设 ，，则 ，，根据勾股定理，，，从而得出，证明，，得出，，求出，，根据，得出，求出 或（舍去），把 代入求出或（舍去），最后利用三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：过点D作 于点M，延长 ，作 于点N，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ，，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设 ，，则 ，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 解得： 或（舍去）， 将 代入得：， 解得：或（舍去）， ∴，， ，， ∴ ． 17. 如图，内接于，点是弧 的中点，连接 ，平分 交线段 于点，过点作 交的延长线于点．若，，，则的面积为____________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及圆周角定理，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大，计算复杂． 连接、 ，过点作于点，根据角度关系代换得，再证明，则，设，，则在中，由勾股定理得，解得，那么，，在中，由勾股定理得，则，那么，由，得到，即可求解． 【详解】解：连接、 ，过点作于点，如下图所示： ∵点是弧 的中点， ∴ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则在中，由勾股定理得， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 18. 如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：从三视图来看，主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆， ∴这个几何体是：圆锥， 由三视图可知：底面直径为，则底面半径， 高为，母线长(左视图的斜边)， 圆锥的侧面积公式：． 三、解答题（共66分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，二次根式化简，特殊角的三角函数值以及分式的混合运算，熟记相关运算法则，能正确分解因式约分是解题关键， （1）先分别计算零指数幂，二次根式，特殊角三角函数，再计算加减即可得到结果； （2）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，分解因式后约分即可得到化简结果. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 20. 如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点坐标分别为，在坐标系中画出绕点逆时针旋转 的，并写出点的坐标． 【答案】 如图，即为所求： 由上可得点的坐标为． 【解析】 【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，再依次连接可得到；再写出点的坐标即可． 【详解】略 21. 如图，社区宠物乐园有一块长方形的狗狗活动区，长12米，宽8米，计划在活动区四周修建宽度相等的防滑垫区域（阴影部分），活动区与防滑垫的总面积为140平方米．求防滑垫的宽度． 【答案】1米 【解析】 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【详解】解：设防滑垫的宽度为 米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：防滑垫的宽度为1米． 22. 如图，的直径 ，弦，的平分线交于D，过点D作交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）求由，，弧围成的阴影部分的面积． 【答案】（1） 连接， 的平分线交于D， ， ， ， 为半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明 ，利用平行线的性质证明 ； （2）根据阴影部分的面积计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是直径， ， 是的平分线， ， ， ， 阴影部分的面积为． 23. 随着城市化建设的发展，市民出行公共交通越来越方便及多样化，可供市民出行的公共交通方式一般有以下四种：A．公交车，B．共享电动车，C．共享单车，D．地铁，已知每种出行方式被选择的可能性是相同的，且每人出行只选择其中一种公共交通方式． （1）若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为___________； （2）小明和小亮相约一起去图书馆学习，要各自选择一种公共交通方式去图书馆，请你通过列表或画树状图的方法，求两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图可得共有16种等可能的结果，其中两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的结果数为6种，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得：共有16种等可能的结果，其中两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的结果数为6种， ∴两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 24. 某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为 和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高为 【解析】 【分析】由题意得，，然后根据锐角三角函数列出等式，得到，最后由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵在 中，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：旗杆的高为． 25. 如图，一次函数的图象与 轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先把点代入求出，然后再把点代入即可求解； （2）根据平行四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解： 点在直线的图象上， ， ． 点在的图象上， ， ， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线与 轴交于点， ∴令，得，解得， ∴， ． ， ． 26. 如图，在中，为边上的中线，且满足 ，点在边上，以为直径的与相切于点，与 分别交于点 ，连接． （1）求证：为的直径． （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为边上的中线，且满足 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴，即 ， ∵ 都在上， ∴为的直径． （2） 【解析】 【分析】（1）由为边上的中线，且满足 可得，即 ，即可证明结论； （2）连接，在 中计算出 的长，再证明 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为3，为的直径， ∴ ， ∵与相切于点， ∴ ， ∴ ， 在 中，， 如图，连接， ∵为的直径， ∴ ， ∴ ， ， 由（1）可知，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即， ∴． 27. 如图，抛物线 与 轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； （3）如图2，点是抛物线的顶点，直线交 轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积最大 （3）或 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作 交 于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接 ，求得 ，再求出 的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入 ， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为 ； 【小问2详解】 解： 抛物线的解析式为 ， 令，即， 解得， ， 点的坐标为， 设直线 的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线 的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线 下方抛物线上的动点， ， 过点作 于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； 【小问3详解】 解：， ， 如图，连接 ， 设 的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线 的解析式为 ， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明 ，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 如图图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 1 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为 ，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；② ；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，点 ，，在上，垂直平分，交于点．若 ，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 如图，在 中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每空3分） 11. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 12. 二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则 ______． 13. 中，，点为中点，点在线段上，点为中点，绕点顺时针旋转 得到线段 ，连接，，则的长为________． 14. 如图，为的直径，，若，则的度数为_________． 15. 如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，则点的坐标为______． 16. 如图，在四边形中，已知 ， ．与交于点E，且，，四边形的面积为________． 17. 如图，内接于，点是弧的中点，连接，平分 交线段于点，过点作 交的延长线于点．若，，，则的面积为____________________ ． 18. 如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积_____． 三、解答题（共66分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点坐标分别为，在坐标系中画出 绕点逆时针旋转 的，并写出点的坐标． 21. 如图，社区宠物乐园有一块长方形的狗狗活动区，长12米，宽8米，计划在活动区四周修建宽度相等的防滑垫区域（阴影部分），活动区与防滑垫的总面积为140平方米．求防滑垫的宽度． 22. 如图，的直径 ，弦，的平分线交于D，过点D作交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）求由，，弧围成的阴影部分的面积． 23. 随着城市化建设的发展，市民出行公共交通越来越方便及多样化，可供市民出行的公共交通方式一般有以下四种：A．公交车，B．共享电动车，C．共享单车，D．地铁，已知每种出行方式被选择的可能性是相同的，且每人出行只选择其中一种公共交通方式． （1）若小美周末要去某公园游玩，她选择的公共交通方式恰好是C．共享单车的概率为___________； （2）小明和小亮相约一起去图书馆学习，要各自选择一种公共交通方式去图书馆，请你通过列表或画树状图的方法，求两人中只有一人选择的公共交通方式是A．公交车的概率． 24. 某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为 和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 25. 如图，一次函数的图象与轴交于点 ，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积． 26. 如图，在 中，为边上的中线，且满足 ，点在边上，以为直径的与相切于点，与 分别交于点 ，连接． （1）求证：为的直径． （2）若的半径为3，，求的长． 27. 如图，抛物线 与轴相交于 、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； （3）如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与 相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $