9.6黄金分割（题型专练）数学鲁教版五四制八年级下册

9.6黄金分割 题型一 利用黄金分割点求线段的长度 1．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点定义，利用黄金分割数解答即可． 【详解】解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点 ∴ ∴ 故答案为：C． 3．（24-25六年级上·山东滨州·期末）我们中国的国旗是长方形的，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比，则它们的比值是（   ） A． B．0.618 C．6.18 D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比进行作答即可． 【详解】解：依题意，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比， 则它们的比值是0.618， 故选：B 4．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解． 通过设，根据黄金矩形性质表示出的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求出． 【详解】解：如图： 设， 四边形是黄金矩形，且宽与长的比是， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，则， ，而， ，又， ， 故选：A． 6．（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 8．（19-20九年级下·全国·课后作业）把宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形：）还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】剩下的矩形是黄金矩形，见解析 【分析】根据矩形和正方形的性质可得，然后根据黄金矩形的定义可得，从而得出，即可判断点是线段的黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，从而证出结论． 【详解】剩下的矩形是黄金矩形． 证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ． 由四边形是黄金矩形，得， ，点是线段的黄金分割点， ， 即． ∴矩形是黄金矩形． 【点睛】此题考查的是黄金分割比，掌握矩形的性质、正方形的性质和黄金分割点的定义是解决此题的关键． 1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，分式方程的运用，掌握黄金分割点的计算方法是关键．根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算．根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中广泛应用，若舞台长，主持人从舞台一侧进入，走到舞台的黄金分割点处，设，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．利用黄金分割点的定义列方程即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵点P是的黄金分割点， ∴，即 ∴， 故选：A． 4．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割的性质得，再代入计算即可. 【详解】解：∵点E是的黄金分割点， ∴. ∵， ∴. 故选：B. 5．（2025年湖南省怀化市初中学业水平考试模拟数学试卷）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 6．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2025·四川内江·一模）如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2022个黄金三角形的周长 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割、图形变化的规律及等腰三角形的性质．根据题意，依次表示出黄金三角形的周长，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个黄金三角形的周长为：； 第2个黄金三角形的周长为：； 第3个黄金三角形的周长为：； …， 所以第n个黄金三角形的周长为（n为正整数）． 当时， 第2022个黄金三角形的周长为． 故答案为：． 8．（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 9.（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比． （2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由． （3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度． （4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：　 　． 【答案】（1）； （2）点是线段的另一黄金分割点，理由见解析； （3）线段，，的长度为：，，； （4）． 【分析】（1）设，，则有，由点是线段的黄金分割点，可得，代入数据求解即可； （2）由点 是线段的黄金分割点，可得，由此可求出、的长度，进而求出的值，即可求解； （3）由点是线段的黄金分割点，即可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度； （4）由以上证明可得：，，，…，（为正整数），， ，…， （为正整数）．运用数形结合的思想可将所求代数式转化为：，求出答案即可． 【详解】解：（1）设，，则有， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 整理得：， 解得，（舍去负值）， ， ． （2）点是线段的另一黄金分割点，理由如下： 点 是线段的黄金分割点， ， ， ， ， 点是线段的另一黄金分割点． （3）点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， 点 是线段的黄金分割点， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 线段，，的长度为：，，． （4）由以上证明可得以下规律： ，，，…，（为正整数）． ， ，…， （为正整数）． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，比例线段，运用数形结合是解题的关键． 10．（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.6黄金分割 题型一 利用黄金分割点求线段的长度 1．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·山东滨州·期末）我们中国的国旗是长方形的，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比，则它们的比值是（   ） A． B．0.618 C．6.18 D． 4．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 6．（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 8．（19-20九年级下·全国·课后作业）把宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形：）还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中广泛应用，若舞台长，主持人从舞台一侧进入，走到舞台的黄金分割点处，设，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 5．（2025年湖南省怀化市初中学业水平考试模拟数学试卷）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 6．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 7．（2025·四川内江·一模）如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2022个黄金三角形的周长 8．（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 9.（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比． （2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由． （3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度． （4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：　 　． 10．（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $