9.6 黄金分割-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

.EF//BC, 器裙器 .EP PF.BG EP BG-CGCGPF PE BE BP 由(2)知，△PEBn△CFP.CF-Fp-CP =n, 设PF=x,则CF=BE=nx, BGPE-n. ∴.EP=n2x…CGPF 6.(1)证明：如图1. ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠DAF=90°，ABCD. 4 在Rt△ADF中， ∠5+∠AFG=90° DF⊥AE, 图1 .∠AGF=90°， .∠FAG+∠AFG=90, ∴.∠5=∠FAG. ABCD,∴.∠2=∠3. 又，BD平分∠CDF, ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠3（等量代换）， ∴.∠4=∠3+∠FAG=∠1+∠5=∠ADB, ∴.AD=AE(等角对等边). (2)解：，∠AMF=∠ABM ∠MAF=∠BAM=90°， .△AMF∽△ABM 能淄 ① 如图2，作NE⊥AB于点N. .NE∥AD, 图2 ∴.△ENB△DAB, ∴.NE:NB=AD:AB 又：M是AD的中点活 ② :∠ENA=∠DAF=90°， 由(1)，知∠NAE=∠ADF,.Rt△AEN∽Rt△DFA, ..NE_AFAF AN AD 2AM ③. 由0©⑤相恶=4： NE AN' .NB:AN=1:4. BE NB 1 又：NEAD…DE-AN=4 (3)证明：在矩形ABCD中， O是BD的中点，OP⊥AB, .OP∥AD,AP=PB 如图3，过点E作EH⊥AB于点H, 则PN∥HE, .∴.FP:PH=FN:NE 又，FN=NE,∴.FP=PH, ∴AP-FP=BP-PH, 即AF=BH. ,EH∥PN,PN∥AD, ∴.EH∥AD, △ADBO△HEB小部E…E-部 7.(1)证明：：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形， ..∠FDC=∠A=45°，CD=CE. :∠FCD=∠GCA,∴.△FCDn△GCAG=AC, CF CD ,CD=CE,∴.AC·CF=CE·CG (2)证明：如图1，连接AE, :△ABC和△CDE都是等腰直角三 角形， ..CE=CD.CA=CB. E ∠ECD=∠ACB, ∴∠ACE=∠BCD, .△ACE≌△BCD(SAS), 图1 ∴∠EAC=∠CBD, ∴.∠EAB+∠ABE=∠CAB+∠ABC=90°， ∠AEB=90. .点M为AB的中点，∴.ME=AM. ,∠ACB=90°，点M为AB的中点， ∴.MC=MA,∴.MC=ME. (3)解：如图2，延长BD交AC于P,连接PH. AC∥BH,AHBD, A .四边形APBH是平行四边形， ..AP=BH.AH=BP. .'BC=2BH, ..BC=2AP. △ABC是等腰直角三角形， 图2 ∴.AC=BC,∴AC=2AP, AP-2AC=PC=BH. 又：BH∥AP,.四边形PCBH是平行四边形. ,∠PCB=90°，.四边形PCBH是矩形， ∴BP=HC,D为BP的中点∴CD=号BP, BP-AH.'.CD-7AH. .CD=CE, DE:-CD:+CB:-2CD-2XA DE- 号AH提的值为巨 6黄金分割 1.D2.D3.A4.(W5-1)5.0.6186.B7.D8.5 9.解：设主持人从A点向B点走xm到达C点时，他的站台 最得体 ..AC=x m,BC=AB-AC=(20-x)m. ①当AC<BC时，BC2=AC·AB, ∴.(20-x)2=20x, 整理得x2-60x十400=0， 解得x1=30一10W5≈8，x2=30十10W5(不合题意，舍去)； ②当AC>BC时，AC2=BC·AB, 4 ∴.x2=20(20-x), 整理得x2十20x-400=0, 解得x1=10W5-10≈12，x2=-10-105(不合题意，舍去). 综上所述，主持人从A点向B点走8m或12m时，他的站 台最得体 10.解：(1)BD=DC=AC, .∠B=∠DCB,∠CDA=∠A 设∠B=x,则∠DCB=x,.∠CDA=∠A=2x. 又∠ACE=108°， ∴.∠B+∠A=108°， ,∴.x+2x=108°，解得x=36°， .∠B=36°. (2)①图中的黄金三角形有三个：△BDC,△AIDC,△BAC. 选△BDC,理由如下： .DB=DC,∠B=36 △DBC是黄金三角形.（选其他三角形，理由合理即可） ②“.△BAC是黄金三角形，∠B=36, AC=5—1AB=BC BC .BC=2,.AC=5-1, .'.BA=BC=2,BD=AC=5-1. AD=BA-BD=2-(W5-1)=3-5. ③存在，有三个符合条件的点P1, P2,P3. .以CD为底边的黄金三角形：作 CD的垂直平分线分别交直线AB,B☑ P/P C E BC得到点P1,P· .以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径 作弧与BC的交点为点P3· 滚动练习六(46节) 1LA解析：A若记-S结合∠B=∠ACD可别定 △ACDO△ABC,但题中条件无法得到∠ACD=∠B,故 不能判定△ACD与△ABC相似； B若∠ADC=∠ACB,结合∠A=∠A,可得△ACDc∽△ABC； C.若∠ACD=∠B,结合∠A=∠A,可得△ACDn△ABC; D若AC=AD,AB,中S-把结合∠A=乙A,可行 △ACDC∽△ABC.故选A 2.C3.A4.D 5.B解析：如图 ,·四边形ABCD为平行四边形， ∴.CD∥AB,ADBC, .△DGM∽△AGB,△DGMP△CBM. EF//CD, .∴.△DGM∽△EGN,△CBM∽△FBN ,∴.△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBMK∽△EGN. 即与△ABG相似的三角形有4个.故选B. 6C7.D8(95-9)9.2 12.(1)证明：：∠ABC=∠ACD,∠A=∠A, .△ABC△ACD. (e解：△AC△ACDS0. ∴.AC2=AB·AD=2×6=12,..AC=23 13.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ,'.ADBC,.∠DBC=∠BDA. ,∠BDA=∠BAE,∴.∠DBC=∠BAE. ∠BEF=∠BEA,.△EBF△EAB, 贯需BE=F·AE (2)解：，BE2=EF·AE,且BE=4,EF=2, ..AE=BE2 42 EF=2=8.AF=AE-EF=8-2=6. :BE/AD小邵器即g-名解得F-2 △EBO△EAB2器即品-是 .AB=4. 14.(1)证明：CE⊥AB, .∠CEB=90°=∠A, ∴∠1十∠3=90°，∠2+∠ABC=90°. :∠1=∠ABC,∴.∠2=∠3. (2)解：①BC=BD.证明如下： 设∠2=∠3=x, ∠BFE=90°-x=∠DFC. :∠4=45°，∠CDB=180°-45°-(90°-x)=45°+x. :∠BCD=∠4+∠2=45°+x, ∴.∠BCD=∠BDC,.BC=BD ②BC=BD=13,AD=5, ∴.AB=√BD2-AD2=J169-25=12. :BC=BD,∠A=∠CEB,∠2=∠3， ∴.△ADB2△EBC(AAS),.BE=AD=5. :∠A=∠CEB,∠3=∠3， ∴.△EFB∽△ADB, .EF_BE EF 5 AD-AB·5 2EF=25 2 7利用相似三角形测高 1.C 2.12解析：如图，CD⊥CE,CF⊥DE, 汝A时 则∠DCF+∠ECF=90°，∠ECF+ B时妆、C ∠E=90°，∴∠DCF=∠E. ∠CFD=∠CFE=90°， '.△CDF△ECF, 器器 即CF2=EF·DF=18X8=144, .CF=12(米). 3四丈五尺解析：设竹竿的长度为x尺 ,竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺， 标杆的影长五寸=0.5尺， 由相似原理可物言一是解得=5 即竹竿的长为四丈五尺， 4.5练测考八年级数学下册LJ 61 黄 (教材P110 ~基础夯实 1.(山西中考)神奇的自然界处 处蕴含着数学知识.动物学家 在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈 螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为 0.618.这体现了数学中的 ( A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割 2.已知线段AB=2,点P是线段AB的黄金分 割点(AP>BP),则线段AP的长为( A.5 B.5 C.3-5 D.5-1 3.若P是线段AB上一点(AP>BP) 日满足化肥则称点P是线 段AB的黄金分割点.大自然是 B 美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴 含着“黄金分割点”.如图，一片树叶的叶脉 AB长度为10cm,P为AB的黄金分割点 (AP>BP),求叶柄BP的长度.设BP= xcm,则符合题意的方程是 () A.(10-x)2=10xB.x2=10(10-x) C.x(10-x)=102D.10(1-x)2=10-x 4.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本 的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉 字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割 线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ 上，且ABNP,“晋”字的笔画“、”的位置在 AB的黄金分割点C处，且BC-5,1,若 AB 2 NP=2cm,则BC的长为 cm. (结果保留根号) Q B 114跟别人比，会使得自己永远都不快乐。跟自己 金分割 P113内容) 5.(娄底中考)九年级融融陪同父母选购家装 木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如 图1)比较美观，通过手绘（如图2）、测量、计 算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈ 0.618AD.延长HF与AD相交于点G,则 EG≈ DE.(精确到0.001) D 图1 图2 ~能力提升 6.(衡阳中考)在设计人体雕像时，使 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部 以下)的高度比，等于下部与全部的 高度比，可以增加视觉美感.如图， 按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那 么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到 0.01m.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732， √5≈2.236) ( ) A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m 7宽与长的比是5 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形， 黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以 协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法 画出黄金矩形，如图，作正方形ABCD,分别 取AD,BC的中点E,F,连接EF;以点F 为圆心，FD为半径画弧，交BC的延长线于 点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点 H,则下列矩形是黄金矩形的是 ) A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH 比，看到自己每天都在进步，你会很快乐。 8.某品牌汽车为了打造更加1.91m 精美的外观，特将汽车倒 车镜设计为整个车身黄金 分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与 车长之比为0.618)，若车头与倒车镜的水平距 离为1.91m,则该车车身总长为 m. 9.古希腊的毕达哥拉斯在2500年前曾经大胆 断言，一条线段(AB)的某一部分(AC)与另 一部分(BC)之比，如果正好等于另一部分 (BC)同整个线段(AB)的比（即BC2=AC· AB),那么这样的比例会给人一种美感，后 来我们将分割这条线段(AB)的点C称为线 段AB的“黄金分割点”，如图所示，在主持节 目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自 然得体，那么在长20m的舞台AB上，主持 人从A点向B点走多少米，他的站台最得 体？（取√2≈1.4，√3≈1.7，√5≈2.2） A 千万别沮丧，你要知道无论经历什么事都在成长。 第九章图形的相似 ☑素养培优 10.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且 DB=DC=AC,已知∠ACE=108°，BC=2. (1)求∠B的度数； (2)我们把有一个内角等于36的等腰三角 形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的 比（或者底边长与腰长的比）等于黄金 比 ①写出图中所有黄金三角形，选一个说明 理由； ②求AD的长； ③在直线AB或BC上是否存在点P(点A, B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存 在，在图中画出点P,简要说明画出点P的 方法（不要求证明）；若不存在，说明理由。 D 115