9.5相似三角形判定定理的证明（6大题型）（题型专练）数学鲁教版五四制八年级下册

9.5 相似三角形判定定理的证明 题型一 判断与相似三角形有关结论的正误 1．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质．根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，，从而可得，由此即可判断选项C；根据相似三角形的判定可得，即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ， 则选项A正确； ，， ， ，， ，， ，， ， ，则选项B正确； 假设， ， 又 ，， ，与矛盾， 则假设不成立，选项C错误； 在和中，， ，则选项D正确； 故选：C． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 3．（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【分析】先求出，再根据旋转和全等的性质得到，即可判断①；，，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到，，再根据三角形三边关系即可判断③；证明，在中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】C 【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知 HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD， ∵AG＝GE， ∴BG＝BE， ∴∠BEG＝45°， ∴∠BEA＞45°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠HEC＜45°，   ∴HC＜EC， ∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即 DH＞BE，故①错误； ∵BG＝BE，∠B＝90°， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝135°， ∴∠GAE+∠AEG＝45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∵∠BEG＝45°， ∴∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠GAE＝∠FEC， 在△GAE 和△CEF 中， ∵AG=CE， ∠GAE=∠CEF, AE=EF, ∴△GAE≌△CEF（SAS））, ∴②正确； ∴∠AGE＝∠ECF＝135°， ∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°， ∴③正确； ∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE 和△ECH 不相似， ∴④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大． 5．（2024·山东泰安·统考二模）如图，正的边长为2，沿的边翻折得，连接交于点O，点M为上一动点，连接，射线绕点A逆时针旋转交于点N，连接．以下四个结论：①是等边三角形：②的最小值是；③当最小时；④当时，．正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证明，可得，结合，可判断是等边三角形，故①正确；因为，即的最小值为的最小值，所以当时，最小，求出此时的长即可判断②正确；可证明此时为的中位线，再得，相似比为，，即，结合，可证明，故③正确；证明，由相似的性质得，即，结合，，，即可证明，故④正确． 【详解】解：∵正的边长为2，沿的边翻折得， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴，即的最小值为的最小值， 当时，最小：   ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为，故②正确； ∵是等边三角形，， ∴为的中点，此时为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故③正确； 当时， ∵ ∴四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故④正确，    故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、点到直线的距离线段最短及勾股定理，证明是解答本题的关键． 题型二 三角板与相似三角形的综合运用 1．一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ． 【答案】 【分析】由CE=5， AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的长度，过E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的长度，由于∠CME=2∠ADE，延长MB至P，是MP=ME，可以证明，MP=x，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，过E作EN⊥AD于N， ∴NE= NA， 同理， 延长MB至P，使MP=ME，连接PE， ∴可设 又 设则 在中， 【点睛】本题考查了勾股定理，二倍角的辅助线的构造，方程思想求线段，熟练掌握二倍角辅助线是解决问题的关键． 2．（2024春·上海·九年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)4 【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现； （2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积； （3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可． 【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°， 因此直角三角形PEB中，， ∴∠BPE＝30°， ∵∠EPF＝60°， ∴FP⊥BC， 在△BEP和△CPF中， ， ∴△BEP≌△CPF， ∴EP＝PF， ∵∠EPF＝60°， ∴△EPF是等边三角形． （2）过E作EH⊥BC于H， 由（1）可知：FP⊥BC，， 在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°， ∵∠PFE＝60°， ∴∠GFC＝90°， 直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4， ∴GC＝2CF＝8， ∴GB＝GC﹣BC＝2， 直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4， ∴PE＝2，BE＝2， ∴EH＝BE•PE÷BP＝， ∴S△GBE＝； （3）∵在BPE中，∠B＝60°， ∴∠BEP+∠BPE＝120°， ∵∠EPF＝60°， ∴∠BPE+∠FPC＝120°， ∴∠BEP＝∠FPC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP， ∴， 设BP＝x，则CP＝6﹣x． ∴＝， 解得：x＝2或4． 当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2， 过E作EH⊥BC于H， 则EH＝2，BH＝2， ∴PH＝0， 即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去； 当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4， 则△BEP是等边三角形， ∴PE＝4． 故PE＝4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用． 3．（2024春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点． (1)求证：∽； (2)当时，求的长； (3)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)8 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，推出，再由直角三角形的性质，得出，又因，推出，，从而证明∽； （2）根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论； （3）假设存在满足条件的点，设，则，由∽知，解得的值，从而得结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ∽； （2）解：在中，，， ， ， ， ， ， ， 中，， ； （3）解：假设存在满足条件的点， 设，则， ∽， 根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为， ，即， 解得， ， ． 【点睛】此题是相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为是解题的关键． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在直线上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与直线交于点． (1)当时，求的长． (2)是否存在这样的点P，使的面积等于面积的？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在这样的点P，DP的长为或 【分析】（1）分三种情况讨论：如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，当在的延长线上时，分别画出图形，结合勾股定理与三角函数解答即可； （2）如图，假设存在满足条件的点，分三种情况讨论，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，当在的延长线时，再利用相似三角形的性质解得即可． 【详解】（1）解：如图，当在线段上时， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 中，， ； 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴， 此时， ∴； 当在的延长线上时，不符合题意，舍去， 综上：的长为或． （2）如图，假设存在满足条件的点，当在线段上时， ∵，而， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 当在的延长线时，不符合题意，舍去， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变． ①如图2，若PQ＝5，求AP长． ②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ． 【答案】（1）＝；（2）①1，② 【分析】（1）先证明△ADP≌△CDQ，即可求解； （2）①先证明△ADP∽△CDQ，可得＝＝＝ ，设AP＝x，则CQ＝2x， 再由勾股定理，即可求解； ②过点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F，根据△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，＝＝＝ ，从而得到∠BPE=∠Q，再由角平分线的性质定理可得BE=BF，进而证得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解∶（1）在正方形ABCD中， ∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD， ∵∠PDQ=90°， ∴∠PDQ=∠ADC=90°， ∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°， ∴∠ADP=∠CDQ， ∴△ADP≌△CDQ， ∴DP=DQ； 故答案为∶= （2）①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°． ∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠CDQ． 又∵∠A＝∠DCQ＝90°． ∴△ADP∽△CDQ， ∴＝＝＝ ， 设AP＝x，则CQ＝2x， ∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x． 由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2， 代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52， 解得x＝1，即AP＝1． ∴AP的长为1． ②如图，过点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F， 由①得：△ADP∽△CDQ， ∴∠APD=∠Q，＝＝＝ ， ∴CQ=2AP， ∵∠APD=∠BPE， ∴∠BPE=∠Q， ∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ， ∴BE=BF， ∵∠E=∠BFQ=90°， ∴△BEP≌△BFQ， ∴BP=BQ， 设AP=m，则BQ=BP=4-m，CQ=2m， ∴2+2m=4-m，解得：， 即， ∴ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型三 尺规作图与相似三角形的综合运用 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作的平分线交于点即可； （2）由，得，由，，则，由，即可得证． 【详解】（1）解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点即为所作； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—作已知角的角平分线，相似三角形的判定，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用角平分线定义结合已知可得，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）由（1）可得：， ， ， 又， ． 3．（2024·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见详解 【分析】作，交于点D，点D即为所求． 【详解】如图所示，作，交于点D，点D即为所求，    ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，于点．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，线段垂直平分线的尺规作图，如图所示，作线段的垂直平分线交于E，连接，点E即为所求． 【详解】解；如图所示，作线段的垂直平分线交于E，连接，点E即为所求； 由可得，则， 再由即可证明． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留痕迹，不写作法） (2)连接，若点为边的中点，连接，求证． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据尺规作图——作一条线段等于已知线段即可； （）由，，则，再根据等腰三角形的性质可得，，则，再通过矩形的性质得到，所以，最后通过相似三角形的判定方法即可求证； 本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，掌握知识点知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，长度为半径画弧，交于点， ∴点即为所求； （2）证明：如图， ∵，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 折叠与相似三角形的综合运用 1．（2024·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，，连接DE，将沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果，那么CG的长是 ．    【答案】 【分析】延长交于点，根据已知得出，证明，求得，根据折叠的性质以及平行线的性质得出，在中，，进而得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，    ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， 则， 又∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，   又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的性质是解题的关键． 2．（2024春·山西太原·九年级山西大附中校考期中）如图，已知，，，点是边上任意一点，连接，将沿翻折，得到．当时，的长为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况讨论，根据翻折的性质证明或，过点作交延长线于点，结合勾股定理即可求出的长，即可求解． 【详解】解：①由翻折可知：， ， ， ， ∵， ， ， 过点作交延长线于点，    ，， ， ， 在中，， ， ； ②如图，    由翻折可知：， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ，， ， 的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 3．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键． （1）利用翻折的性质和平行四边形的性质，得到即可得到结论； （2）利用翻折的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，利用对应线段成比例求出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； （2）解： 将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由（1）知， ， ， ， ． 4．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质知，， ∵， ∴， ∴． 在中，，即， 解得：． 5．（2024春·上海徐汇·九年级上海市西南模范中学校考期末）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点A恰好落在腰上的点E处． (1)如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点F，连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到，通过折叠、等边对等角、平行线的性质得到，从而证明是等边三角形； （2）过点D作于H，得到四边形是矩形，从而，，再由折叠得到角之间的关系从而证明，得到，；由得到，进而，结合已知条件得到，进一步得到，所以四边形是平行四边形，又，所以证明得到四边形是矩形． 【详解】（1）由折叠得：， ∵点E是腰的中点 ∴是的垂直平分线 是等边三角形 （2）过点D作，垂足为H， ， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， 由折叠得：，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边三角形的判定，矩形的判定．相似三角形的判定与性质，图中角和线段的转化是解题的关键． 题型一 相似三角形的判定与性质的综合运用 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 4．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 5．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 题型一 相似三角形与动点运动问题 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 3．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)四边形的面积是，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一） (3)当经过秒或3秒时，与相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定及矩形动点问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． （1）根据题意得出，由于，列方程并解出即可； （2）根据计算即可得出结论； （3）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动， ∴， ， ∴， 解得：； （2）解：在中， ∵，QA边上的高， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； （3）解：在矩形中， ， 分两种情况： 当时，即， 解得：（秒）； 当时，即， 解得：（秒）． 故当经过秒或3秒时，与相似． 4．（2024秋•安阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝8cm，现有动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CP＝　 　，CQ＝　 　； （2）当t为多少时，PQ的长度等于 （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【分析】（1）利用距离＝速度×时间分别求得线段CP，CQ的长度即可得到结论； （2）在Rt△CPQ中，利用勾股定理列出方程即可求解； （3）分两种情况：①△CPQ∽△CBA和②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解． 【详解】解：（1）∵动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，点P的速度是2cm/s， ∴CP＝2t cm， ∵动点Q从点B出发，沿线段BC向点C方向运动，点Q的速度是1cm/s， ∴BQ＝t cm， ∴CQ＝（8﹣t）cm． 故答案为：2t；8﹣t； （2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，CP2+CQ2＝PQ2， ∴， 解得：t＝0.2或 t＝3， ∴当t为0.2或3秒时，PQ的长度等于； （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，且∠C＝∠C＝90°， ①当△CPQ∽△CAB时，， ∴， ∴； ②当△CPQ∽△CBA时，， ∴， ∴t＝2， 即当t为2或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合运用，勾股定理，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接． （1）当动点运动 秒时，与相似； （2）当动点运动 秒时，． 【答案】 或 【分析】（1）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可； （2）如图所示，过点E作于F，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，则， 在中，由勾股定理得， 当时， ∴，即， 解得； 当时， ∴，即， 解得； 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或； （2）如图所示，过点E作于F，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.5 相似三角形判定定理的证明 题型一 判断与相似三角形有关结论的正误 1．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 5．（2024·山东泰安·统考二模）如图，正的边长为2，沿的边翻折得，连接交于点O，点M为上一动点，连接，射线绕点A逆时针旋转交于点N，连接．以下四个结论：①是等边三角形：②的最小值是；③当最小时；④当时，．正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型二 三角板与相似三角形的综合运用 1．一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ． 2．（2024春·上海·九年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 3．（2024春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点． (1)求证：∽； (2)当时，求的长； (3)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在直线上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与直线交于点． (1)当时，求的长． (2)是否存在这样的点P，使的面积等于面积的？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 5．（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变． ①如图2，若PQ＝5，求AP长． ②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ． 题型三 尺规作图与相似三角形的综合运用 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶． 3．（2024·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，于点．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留痕迹，不写作法） (2)连接，若点为边的中点，连接，求证． 题型四 折叠与相似三角形的综合运用 1．（2024·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，，连接DE，将沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果，那么CG的长是 ．    2．（2024春·山西太原·九年级山西大附中校考期中）如图，已知，，，点是边上任意一点，连接，将沿翻折，得到．当时，的长为 ．    3．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（2024春·上海徐汇·九年级上海市西南模范中学校考期末）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点A恰好落在腰上的点E处． (1)如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点F，连接，如果，求证：四边形是矩形． 题型一 相似三角形的判定与性质的综合运用 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 题型一 相似三角形与动点运动问题 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 3．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 4．（2024秋•安阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝8cm，现有动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CP＝　 　，CQ＝　 　； （2）当t为多少时，PQ的长度等于 （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接． （1）当动点运动 秒时，与相似； （2）当动点运动 秒时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $