9.4探索三角形相似的条件（8大题型）（题型专练）数学鲁教版五四制八年级下册

9.4探索三角形相似的条件 题型一 利用平行判定两个三角形相似 1．（2024秋•桂平市校级月考）如图，D、E分别在△ABC边AB、AC上，若DE∥BC，AD＝2DB，DE＝4，则BC的长为 　 　． 【答案】6． 【分析】首先根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出，可得结论． 【解答详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD＝2DB，DE＝4， ∴， BC＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ADE∽△ABC是解题关键． 2．（2024秋•虹口区月考）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AQ平分∠BAC，交DE于点P，如果DE＝6，BC＝8，AQ＝12，那么AP的长是 　 　． 【答案】9． 【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出，再由△APE∽△AQC得出，从而可求出AP的长即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵PE∥QC， ∴△APE∽△AQC， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024秋•项城市期中）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为 ． 【答案】． 【分析】设CF＝x，则，求出CF，再由EF∥DB，即可求出答案． 【详解】解：设CF＝x， ∵EF∥AC， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵AC∥DB， ∴△BED∽△AEC， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5．（2024秋•鹤壁期末）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出，代入求出DE、DF即可求出答案． 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC，DF＝EC ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AC＝8，BC＝12， ∴AF＝2，DF＝3 ∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6， ∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3 ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18． 答：四边形DECF的周长是18． 【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出DE＝CF，DF＝CE，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力． 5．（2024春•龙泉驿区期末）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长． 【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG＝EG﹣EF． 【详解】解：∵△ABC中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC， ∴， ∵BC＝10，AE＝9，AB＝12， ∴， ∴EG， ∵△BAD中，EF∥AD， ∴， ∵AD＝5，AE＝9，AB＝12， ∴， ∴EF． ∴FG＝EG﹣EF． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 题型二 根据图形数据判断两个三角形相似 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 3．（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（    ）    A．   B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据两个三角形相似的判定方法进行判定即可． 【详解】解：A、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似； B、由于，且夹角相等，所以这两个三角形相似； C、不能判定相似； D、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似； 故选：C． 【点睛】本题考查了两个三角形相似的判定，掌握相似三角形判定的方法是关键． 4．（2024春·河南商丘·九年级统考期末）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（） A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°； 第二个三角形的两个角分别为：75°，70°； 故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：∵，， ∴， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△DOB, 故都相似． 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 题型三 裁剪使两个三角形相似 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 2．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 4．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 5．（2024春·全国·九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板． 甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2． 乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝ 下列说法正确的是（　　） A．甲的分割方式不正确 B．甲的分割方式正确，AM的值求解不正确 C．乙的分割方式与所求AM的值都正确 D．乙的分割方式正确，AM的值求解不正确 【答案】D 【分析】根据题意画出相应的图形，再逐个验证拼图是否符合题意，再利用全等三角形的性质，正方形的性质以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图所示，将△FAM平移至△NDC，将△MBC平移至△FEN， 由此可得AM＝DC＝2，FA＝ND＝6，NE＝BC＝2， ∴DE＝ND－NE＝4（符合题意）， ∴甲的分割方式正确，AM的值求解也正确， 故选项A、选项B的说法都是错误的，不符合题意； 如下图所示，将△FEG平移至△NBH，连接GH，交AB于点M，将△GAM平移至△EDP，将△PCB平移至△MNH， 由此可得GA＝ED＝6－2＝4，AM＝DP，MN＝PC，NB＝EF， ∵DP＋PC＋EF＝2＋6＝8＝AB， ∴当FG＝NH＝BC＝2时，GA＝ED＝4（符合题意）， ∵∠A＝∠HNM＝90°，∠AMG＝∠NMH， ∴△AMG∽△NMH， ∴， ∴， 解得：， ∴乙的分割方式正确，AM的值求解不正确， 故选项C的说法是错误的，不符合题意，选项D的说法是正确的，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质，正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 题型四 添加条件使两个三角形相似 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，其夹角不相等，则不能判断，故C不正确； D、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故D正确； 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（    ） A．①②④ B．②④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似”即可判断． 【详解】①添加，又， ∴，成立； ②添加，且， ∴，成立； ③添加，但不一定与相等，故与不一定相似； ④添加且， ∴，成立． 综上，使与一定相似的有①②④， 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 5．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 题型五 确定两个三角形相似的对数 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 2．（2024春·河北石家庄·九年级统考期末）如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G  ， AF⊥BE于F  ， 图中相似三角形的对数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】试题解析：∵矩形ABCD ∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE= ∴△EDG∽△ECB∽△BAG ∵AF⊥BE ∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE= ∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA ∴△GAF∽△GBA∽△ABF ∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA ∴共有10对 故选D． 3．（2024秋·江苏盐城·九年级校联考期末）如图，在中，点在的延长线上，分别交、于点、，则图中相似三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】解：在▱ABCD中， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG； ∵AD∥BC， ∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG， ∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD ∴图中相似三角形有6对． 故答案为6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方． 4．（2024·安徽淮南·统考模拟预测）如图，把绕点旋转到，当点D刚好落在上时，连结，设，相交于点，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2=∠l，利用三角形内角和得到∠3=∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF=EF：FC，而∠AFD=∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，所以∠3=∠5，于是可判断△ABD∽△AEC． 【详解】 ∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴△ABC≌△ADE，∠2=∠1， ∴∠3=∠4， ∴△AFE∽△DFC， ∴AF：DF=EF：FC， 又∵∠AFD=∠EFC， ∴△AFD∽△EFC， ∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE， ∴∠3=∠5， ∴△ABD∽△AEC， 综上，共有3对相似三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握知识点是解题关键． 5．（2024春·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）如图，AB与CD相交于点O，且∠OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为 ． 【答案】3 【详解】分析：图中有4对相似三角形，利用相似三角形的判定方法一一证明即可． 详解： ∵在△ABP与△CDP中，∠BAP=∠DCP，∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP， ∴∠ABP=∠CDP，AP：CP=BP：DP， ∴∠ADO=∠CBO， 又∵∠OAD=∠OCB， ∴△OAD∽△OCB， ∴, ∴， ∵∠AOC=∠DOB， ∴△AOC∽△DOB， ∵在△PAC与△PBD中，∠P=∠P，AP：BP=CP：DP ∴△PAC∽△PBD， 综上所述，图中的相似三角形有4对：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB，△PAC∽△PBD，△AOC∽△DOB． 故答案是：4． 点睛：考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 题型一 找格点中的相似三角形 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边跟不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； 故选：B． 3．（2024春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是 ．    【答案】A 【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得： A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似． B．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 4．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 5．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 题型二 相似三角形在坐标系中的运用 1．（2024秋•宜兴市月考）如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0）．B（0，8），点C的坐标为（2，0）．在线段AB上有一动点P．连接CP，当AP为 　 时，△ACP与△AOB相似． 【答案】2或 【分析】分两种情况：①CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求AP的值；②CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出AP即可． 【详解】解：∵A（4，0）．B（0，8），C（2，0）， ∴OA＝4，OB＝8，OC＝2， ∴AC＝4﹣2＝2，AB， ①如图， ∵CP∥OB， ∴△ACP∽△AOB， ∴， 即， ∴AP＝2； ②CP⊥AB， ∵∠APC＝∠AOB＝90°，∠PAC＝∠BAO， ∴△APC∽△AOB， ∴， 即， ∴AP， 综上所述，AP为2或时，△ACP与△AOB相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题． 2．（2024•偃师市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为 　 　时，△CDE与△ACE相似． 【答案】（1，0）或（，0）． 【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论． 【详解】解：∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA， ∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE， 设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝3﹣a． ∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论： ①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA， ∴CD∥AE， ∴四边形AEDC是平行四边形， ∴AC＝a， ∵BD＝2AC， ∴3﹣a＝2a， ∴a＝1． ∴E（1，0）； ②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B， ∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°， 又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD， ∴∠ECA＝∠BDC， ∴△BDC∽△ACE， ∴， ∴BC＝2AE＝2（3﹣a）＝6﹣2a， ∴6﹣2a3， ∴a． ∴E（，0）． 综上所述，点E的坐标为（1，0）或（，0）． 故答案为：（1，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键． 3．（2024秋•青羊区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+2图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点C（4，4）作CD⊥x轴于点D，点E是线段AB上一动点，连接BD，EO，若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则点E的坐标为 　 　． 【答案】（，）或（﹣2，1）． 【分析】设E（t，t+2），先利用一次函数解析式确定A（﹣4，0），B（0，2），利用勾股定理计算出BC＝2，由于CD∥OB，则∠EBO＝∠BCD，根据相似三角形的判定方法，当时，△BEO∽△CBD，利用相似比求出BE，利用两点间的距离公式得到t2+（t+2﹣2）2＝5，解方程得到此时E点坐标；当时，△BEO∽△CDB，同样方法求此时E点坐标． 【详解】解：设E（t，t+2）， 当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， 当y＝0时，yx+2＝2， ∴B（0，2）， ∵C（4，4），CD⊥x轴， ∴CD＝4，BC2， ∵CD∥OB， ∴∠EBO＝∠BCD， ∴当时，△BEO∽△CBD， 即， 解得BE， ∴t2+（t+2﹣2）2＝5， 解得t1＝2（舍去），t2＝﹣2， 此时E点坐标为（﹣2，1）； 当时，△BEO∽△CDB， 即， 解得BE， ∴t2+（t+2﹣2）2， 解得t1（舍去），t2， 此时E点坐标为（，）， 综上所述，E点坐标为（，）或（﹣2，1）． 故答案为：（，）或（﹣2，1）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征． 4．（2024•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　 　． 【答案】（，）或（4，3）． 【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论． 【详解】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形， ∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上； ①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示： ∵PE⊥BO，CO⊥BO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6）， ∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4， ∵△PBE∽△CBO， ∴，即， 解得：PE＝3， ∴点P（4，3）； ②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P， 过点P作PE⊥BO于E，如图2所示： ∵CO⊥BO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO， ∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6）， ∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6， ∴BC10， ∴BP＝2， ∵△PBE∽△CBO， ∴，即：， 解得：PE，BE， ∴OE＝8， ∴点P（，）； 综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）； 故答案为：（，）或（4，3）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024春•桓台县期末）如图，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿A—O—B的路线运动到点B停止，C是AB的中点，沿直线PC截△AOB，若得到的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是 　 　． 【答案】（3，0）或（0，）或（0，4）． 【分析】先由直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A、B，求得A（6，0），B（0，8），再根据勾股定理求得AB＝10，则AC＝CB＝5，分三种情况讨论，一是点P在OA上，且△APC∽△AOB，此时PC∥OB，可求得PO＝AP＝3，则P（3，0）；二是点P在OB上，且△PCB∽△AOB，则，可求得PB，所以OP，则P（0，）；三是点P在OB上，且△CPB∽△AOB，此时PC∥OA，可求得OP＝PB＝4，则P（0，4）． 【详解】解：直线yx+8，当x＝0时，y＝8； 当y＝0时，则x+8＝0，解得x＝6， ∴A（6，0），B（0，8）， ∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8， ∴AB10， ∵C是AB的中点， ∴AC＝CBAB＝5， 如图1，点P在OA上，且△APC∽△AOB， ∴∠APC＝∠AOB， ∴PC∥OB， ∴1， ∴PO＝APOA＝3， ∴P（3，0）； 如图2，点P在OB上，且△PCB∽△AOB， ∴， ∴PB， ∴OP＝8， ∴P（0，）； 如图3，点P在OB上，且△CPB∽△AOB， ∴∠CPB＝∠AOB， ∴PC∥OA， ∴1， ∴OP＝PBOB＝4， ∴P（0，4）， 综上所述，点P的坐标是（3，0）或（0，）或（0，4）． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、图形与坐标、勾股定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性质强，应注意按点P的不同位置分类讨论，求出所有符合题意的答案． 题型一 相似三角形判定的证明 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，先根据，，求出的长，再根据，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为公共角， ∴． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 3．（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义，先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得，再利用相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.4探索三角形相似的条件 题型一 利用平行判定两个三角形相似 1．（2024秋•桂平市校级月考）如图，D、E分别在△ABC边AB、AC上，若DE∥BC，AD＝2DB，DE＝4，则BC的长为 　 　． 2．（2024秋•虹口区月考）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AQ平分∠BAC，交DE于点P，如果DE＝6，BC＝8，AQ＝12，那么AP的长是 　 　． 3．（2024秋•项城市期中）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为 ． 5．（2024秋•鹤壁期末）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 5．（2024春•龙泉驿区期末）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长． 题型二 根据图形数据判断两个三角形相似 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 3．（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（    ）    A．   B．  C．   D．   4．（2024春·河南商丘·九年级统考期末）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（） A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 题型三 裁剪使两个三角形相似 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024春·全国·九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板． 甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2． 乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝ 下列说法正确的是（　　） A．甲的分割方式不正确 B．甲的分割方式正确，AM的值求解不正确 C．乙的分割方式与所求AM的值都正确 D．乙的分割方式正确，AM的值求解不正确 题型四 添加条件使两个三角形相似 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（    ） A．①②④ B．②④ C．①②③④ D．①②③ 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 5．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 题型五 确定两个三角形相似的对数 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春·河北石家庄·九年级统考期末）如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G  ， AF⊥BE于F  ， 图中相似三角形的对数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．10 3．（2024秋·江苏盐城·九年级校联考期末）如图，在中，点在的延长线上，分别交、于点、，则图中相似三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 4．（2024·安徽淮南·统考模拟预测）如图，把绕点旋转到，当点D刚好落在上时，连结，设，相交于点，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024春·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）如图，AB与CD相交于点O，且∠OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为 ． 题型一 找格点中的相似三角形 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是 ．    4．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 5．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 题型二 相似三角形在坐标系中的运用 1．（2024秋•宜兴市月考）如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0）．B（0，8），点C的坐标为（2，0）．在线段AB上有一动点P．连接CP，当AP为 　 时，△ACP与△AOB相似． 2．（2024•偃师市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为 　 　时，△CDE与△ACE相似． 3．（2024秋•青羊区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+2图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点C（4，4）作CD⊥x轴于点D，点E是线段AB上一动点，连接BD，EO，若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则点E的坐标为 　 　． 4．（2024•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　 　． 5．（2024春•桓台县期末）如图，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿A—O—B的路线运动到点B停止，C是AB的中点，沿直线PC截△AOB，若得到的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是 　 　． 题型一 相似三角形判定的证明 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 3．（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 5．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $