江苏徐州市第三中学2026届高三下学期第二次调研测试数学试题

徐州三中2026届高三年级第二次调研测试 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则集合的子集个数为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】先求出集合，再结合交集、子集的定义，即可求解. 【详解】由，则，元素个数为3个， 则集合的子集个数为个； 故选：C 2．复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部是. 故选：B 3．展开式中的常数项为（    ） A．20 B．-20 C．-12 D．-8 【答案】B 【分析】将给定式子变形，再结合二项式定理求解作答. 【详解】因， 则展开式的通项公式为， 由解得，所以展开式中的常数项为. 故选：B 4．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 5．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率. 【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种， 任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： 当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； 2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种； 所以个位是偶数共有20种； 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数. 6．已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 7．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 8．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点的坐标，列出二次函数，由存在性列出不等式解不等式求解 【详解】因为点A在直线上，所以设A点坐标为，点B坐标为， 因为向量 所以，即，， 所以B点坐标为. 又B在圆上，所以. 整理得关于的一元二次方程：， 因为存在点A在直线上，所以关于的一元二次方程有实数解. 故， 令，得，整理即， 所以. 所以的最大值为4. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小 【答案】AC 【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较后得到答案. 【详解】由于， 故，，……，，， A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，A正确； B选项，原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，B错误； C选项，原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，C正确； D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即， ，故从小到大排列，选择第2个数和第3个的平均数作为第25百分位数，即， 由于，第25百分位数变大，D错误. 故选：AC 10．在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 11．已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， 【答案】 【分析】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为，则其体积，根据两者的高和半径的比得到体积之比，再由圆锥的体积为1，得到圆柱的体积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为， 则其体积，所以， 所以. 答案为： 13．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设为抛物线上任意一点， 则， 因为， 所以对称轴， 又由于，且最小时，， 所以， 所以. 故答案为：. 14．如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球. (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)16球过后，双方战平（），已知继续对战数球后，甲率先取得11分并获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）.设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列. 【分析】（1）分甲乙比分为和两种情况计算，然后再求和即可； （2）16球过后至少再比3场，甲连胜率先取得11分赢得比赛，或者再比4场，如果再比5场，甲11分的话，乙这时10分，不符合题意，所以该情况排除．分别计算甲乙的比分为或时的概率，结合条件概率的计算即可求解． 【详解】（1）甲与乙的比分是的概率为， 比分是的概率为， 故前4球中，甲领先的概率； （2）依题意，接下来由甲先发球．继续对战数球后，甲获得11分胜利， 即甲或获胜， 即在接下来的比赛中，甲乙的比分为或，且最后一球均为甲获胜， 记比分为为事件，则， 记比分为为事件，即在接下来的4场比赛中，前3场比赛中，甲获胜两场，期间甲发球两次，乙发球两次， ， 故甲依题意获胜的概率为， 的所有可能取值为3，2， 2 3 由条件概率有， 故的分布列为： 18．已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3) 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 19．过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. (1)求双曲线方程； (2)过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由已知可得出，利用点到直线的距离公式可得出，再利用、、的关系求得的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，则，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可得出，由可求得的值； （ii）由已知可得，令，可得出，利用导数求出函数的值域，即可得出的最小值. 【详解】（1）解：双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 双曲线上一点到渐近线距离之积， 即，又，， 所以双曲线方程为. （2）解：（i）设直线方程，则，设点、， 联列方程组，可得， 由题意可得且恒成立， 又，， 直线的方程为，令，有， 即，同理， 直角三角形中，设直线交轴于点， 因为，则， 所以，，所以，， 则 ， 即， 当时，因为，可得； （ii）由（i）知：，从而， 令，则， 则 ，则， 当时，；当时，， 所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州三中2026届高三年级第二次调研测试 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则集合的子集个数为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 2．复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．展开式中的常数项为（    ） A．20 B．-20 C．-12 D．-8 4．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 7．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 8．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小 10．在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 11．已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， 13．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是______. 14．如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球. (1)求在前4球中，甲领先的概率； (2)16球过后，双方战平（），已知继续对战数球后，甲率先取得11分并获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）.设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列. 16．记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求； (3)若，当角最大时，求的面积 18．已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19．过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. (1)求双曲线方程； (2)过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 高三数学试卷 第 2 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $