河北省邢台市部分高中2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026-2027年度高二数学上学期开学考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A A B B A D ABC BD AB 12． 13． 14． 15．（1） （2） 【详解】（1）由，得，得，即，所以； （2）由，得，即， 又因为，，所以，解得， 则与所成夹角的余弦值为． 16．（1）证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）证明：因为底面是正方形，为的中点，所以． 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以． 又，平面，，所以平面． 17．【详解】（1）因为，由正弦定理得． 又，，则，． 又，所以． （2）由（1）知，则由余弦定理， 即． 又，由正弦定理， 则，所以． 所以，即是直角三角形． 则的面积，所以 所以． 18．【详解】（1）由题意可得，解得． 根据频率分布直方图可知众数为的中点值． （2）成绩在内的人数为， 成绩在内的人数分别为， 所以． 设学生成绩在区间内的数据记为、、…、，学生成绩在内的数据记为、、…、， 所以 ． 19．【答案】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，．又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得 ， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度高二数学上学期开学考试题 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若，则（ ） A．1 B． C． D．5 2．数据2，2，3，5，5，7，8，10，12的第三四分位数为（ ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 3．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A． B． C． D． 4．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A．或 B． C． D．与斜交 5．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A． B． C． D． 6．已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A． B． C． D． 7．已知A，B是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 8．已知正方体边长为2，E，F分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，都是复数，下列选项中正确的有（ ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 10．如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 11．正方体的棱长为1，，为线段，上的动点，过点，，的平面截该正方体的截面记为，则下列命题正确的是（ ） A．当且时，为等腰梯形 B．当，分别为，的中点时，几何体的体积为 C．当为中点且时，为五边形 D．当为中点且时，与的交点为，满足 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 13．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为________． 14．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求； （2）若，且，求与所成夹角的余弦值． 16．（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； 17．（15分）已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长． 18．（17分）某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成、、…、六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中的值，并估计众数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 19．（17分）如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值． 学科网（北京）股份有限公司 $