专题06正方形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题06正方形同步讲义 【题型01 正方形性质理解】........................................3 【题型02 利用正方形性质求角度】..................................6 【题型03 利用正方形性质求线段长】................................8 【题型04 利用正方形性质求面积】.................................11 【题型05 正方形折叠问题】.......................................15 【题型06 利用正方形性质证明】...................................19 【题型07 正方形的判定定理理解】.................................23 【题型08 添条件使四边形是正方形】...............................26 【题型09 证明四边形是正方形】...................................29 【题型10 利用正方形性质与判定求角度】...........................32 【题型11 利用正方形性质与判定求线段长】.........................37 【题型12 利用正方形性质与判定求面积】...........................42 【题型13 根据正方形性质与判定证明】.............................46 【题型14 特殊平行四边形动点问题】...............................51 【解答题5题】...................................................54 ★知识梳理. 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形与菱形的所有性质。 . 知识点02:正方形的性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形的判定 知识点04:常见公式与结论 若正方形边长为a，则： 周长：C=4a 面积：S=a2 对角线长：d=a 正方形的对角线把正方形分成的等腰直角三角形，锐角均为45∘. 【题型1.正方形性质理解】 【典例】图中的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名同学将它们分别沿着两条垂直的虚线（乙：，分别是小正方形一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则（    ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以 【答案】A 【分析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵原来图形的面积为5， ∴拼成与原来面积相等的正方形边长为， 甲图可以拼成，如图所示： 乙图可以拼成，如图所示： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则的度数为____． 【答案】15° 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，以及三角形内角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质、等边三角形的性质，得，再结合三角形内角性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵依题意，边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放 ∴ ∴ 在中， 故答案为：15° 【跟踪专练2】矩形，菱形，正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质． 矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，而其他性质如相等、垂直或平分一组对角并非三者都具有． 【详解】解：∵矩形的对角线互相平分，菱形的对角线互相平分，正方形的对角线互相平分， ∴三者都具有对角线互相平分的性质． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是___________． 【答案】80 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形的性质是解题的关键．过点D作交延长线于点M，过点F作点N，由正方形的性质可证得可得，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，进而求得,最后求面积即可解答． 【详解】解：过点D作交延长线于点M，过点F作点N，如图所示：    ∵直角三角形，四边形为正方形，过点C作的垂线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形的面积为：． 故答案为：80． 【题型2.利用正方形的性质求角度】 【典例】如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，交于点，则的度数为_____________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为_____． 【答案】64 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：64 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型3.利用正方形的性质求线段长】 【典例】正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解． 【详解】解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为， ∴另一条对角线长也为． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为___________ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明四边形是矩形即可求证． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作，与的延长线相交于点，连接，与边相交于点，与对角线相交于点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．此题综合性较强，根据正方形的性质可知，，利用勾股定理可以求出，根据线段之间的关系可得：，根据同角的余角相等可证，可证，根据全等三角形的性质可得，再根据线段之间的关系求出的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， . 故选：C. 【题型4.利用正方形的性质求面积】 【典例】如图1，有甲，乙两种大小不同的正方形纸片，把正方形甲放置在正方形乙中，连结，，得到图2，再将图2这样的四个图案不重叠，无缝隙地拼成如图3所示的正方形，若正方形中阴影区域面积和为12，且，则一张正方形甲和一 张正方形乙的面积和为 ___________________．    【答案】 【分析】如图，设，则，根据正方形的面积公式列方程得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：如图，设，则， ∵正方形中阴影区域面积和为12， ∴， 解得， ∴， ∴一张正方形甲和一 张正方形乙的面积和为． 故答案为：．    【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形面积公式，正确地识别图形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的对称性． 结合对称性质可知阴影部分的面积等于正方形面积的一半，然后根据正方形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由正方形的对称性可知图形①的面积等于图形②的面积， 阴影部分的面积等于正方形面积的一半， 则阴影部分的面积为； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据正方形的面积求解即可． 【详解】解：在中，是斜边的中点，， ∴， ∴， 故正方形的面积为25， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形中有两个正方形，且它们的顶点分别在正方形的边上或对角线上，两个正方形的面积分别是和，若，则的值为（   ） A．24 B．27 C．30 D．36 【答案】B 【分析】设，根据正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的面积公式解答即可． 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并判断出图中三角形都是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设， ∵正方形中有两个正方形，正方形和正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型5.正方形折叠问题】 【典例】如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是________． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．首先根据正方形的性质可得，再根据折叠可得，，进而可得，即． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， 根据折叠可得，， ， ， 即． 故选：A 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 【跟踪专练3】如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，过点F作于G；可证明四边形是矩形，则；由得；设，则，，从而；再证明，则；在中利用勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点F作于G； 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴； 设，则，， ∴； 由折叠知，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即， 整理得：，即， ∴； 在中，，由勾股定理得． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【题型6.利用正方形的性质证明】 【典例】如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，可以得到的度数，从而可求得的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形，平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是证明． 【跟踪专练1】如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为(    ) A． B．° C．° D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质；根据正方形的性质可得，，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点在正方形的边的延长线上，且，点是边上一动点，连接，过点作交于点，则： （1）的度数是______°； （2）的值为______． 【答案】 135 【分析】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由正方形和等腰三角形的性质计算即可； （2）在上截取，构造全等三角形，得到，设，正方形边长为，分别表示的长，再计算的值． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 故答案为：135； （2）如图，在上截取， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，正方形边长为， 则，，， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形中，点E是边上一点，连接，线段的垂直平分线交对角线于点M，交于点N，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，轴对称性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，四边形内角和性质，角的和差计算，熟练掌握是解题的关键． 根据正方形的轴对称性质，可得，根据线段垂直平分线性质得，得,可得，由，得，可得，得，即得，． 【详解】解：∵正方形中，，且， ∴， 由对称性知，， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型7.正方形的判定定理理解】 【典例】如图，在矩形中，有以下结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤当时，矩形会变成正方形．正确的结论是_____．    【答案】①②③⑤ 【分析】根据矩形的性质和正方形的性质，可以判断各个小题是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC= BD，AO= CO，BO= DO， 故③正确； ∴AO= BO， ∴△AOB是等腰三角形，故①正确； 设点A到BD的距离为h， 则 ， 故②正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC= BD，但是AC不一定和BD垂直， 故④错误； ∵∠BAD= 90°， ∴当∠ABD= 45°时，∠ADB= 45°， ∴AB= AD， ∴矩形ABCD是正方形，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查正方形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 【跟踪专练1】下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 【跟踪专练2】判断四个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直且互相平分的四边形是正方形．命题成立的是（填序号）_____． 【答案】②③ 【分析】根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：①对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； ②对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； ③对角线相等的菱形是正方形，是真命题； ④对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是正方形，原命题是假命题； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．同时还考查了正方形的判定． 【跟踪专练3】下列四个矩形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断矩形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定、矩形的性质，熟知正方形的判定方法是解答的关键．根据矩形的性质和正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 若证明四边形是正方形，则， A中图形中是对角线相等且平分，不能判定，故此矩形是正方形，故不符合题意； B中图形给出，可得， ， ，可判定此矩形是正方形，符合题意； C中图形只给出矩形的对角线相等且平分，不能判定，故此矩形是正方形，故不符合题意； D中图形只给出，不能判定，故此菱形是正方形，故不符合题意， 故选：B． 【题型8.添条件使四边形是正方形】 【典例】如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是________．    【答案】有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一 【分析】根据菱形的判定即可求解． 【详解】解：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形， 故答案为：有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一． 【点睛】本题考查了正方形的判定,熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 【跟踪专练2】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，请添加一个条件：______，使四边形是正方形。    【答案】（答案不唯一） 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，进而添加一个角是直角，即可求解． 【详解】解：过点作于，于，   两条纸条宽度相同， ，，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是菱形 当时，四边形是正方形 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，菱形与正方形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理，正方形的判定定理逐项判定解答即可． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且， ， ， ， 四边形是菱形， 当添加时，则， 故四边形是菱形， 故A错误，该选项不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B错误，该选项不符合题意； 当时， ， ， ， 菱形是正方形， 故C正确，该选项符合题意； 当E为的中点时，得到， 无法判定菱形是正方形， 故D错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【题型9.证明四边形是正方形】 【典例】下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时不要与矩形及菱形的判定混淆了，掌握正方形判定方法是关键．根据正方形的判定进行判定即可． 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，故原选项说法错误； B、四角相等的四边形是矩形；故原选项说法错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项说法错误； D、有一个角是直角的菱形是正方形，说法正确； 故选：D． 【跟踪专练1】四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】此题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定．根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，再根据正方形的判定即可求解． 【详解】解：添加的条件应为：且． 理由：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，同理可得， 则且， ∴四边形为平行四边形， 又， ， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 故答案为：且． 【跟踪专练3】如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE．要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定，掌握从平行四边形到正方形的判定路径是解题的关键． 先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形；再根据正方形的判定判定即可． 【详解】解：∵分别是的中点，分别是的中点， ∴分别是，，，的中位线， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形． 当时，， ∴是菱形． 当时，，则， ∴菱形是正方形． 故选：A． 【题型10.利用正方形的性质与判定求角度】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明即可求解； （2）连接DG，证明，结合（1）的结论即可求解； （3）连接DG，勾股定理求得的长，继而求得的长，由（1）知，由（2）知，在中，勾股定理可得的长，由四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： 证明：∵四边形是正方形，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴ （2）证明：如图，连接GF，∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴在中，， ∴ （3）连接DG， ∵， ∴在中， ， ∵，∴， 由（1）知， 由（2）知，在中，， ∵四边形是正方形， ∴， 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型11.利用正方形的性质与判定线段长】 【典例】如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【详解】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分两种情况：当点E在靠近点A的三等分点时和当点E在靠近点D的三等分点时，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当点E在靠近点A的三等分点时， 过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E在靠近点D的三等分点时， 同理可得出：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，两个大小相同的正方形，如图放置，点，分别在边，上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP，分别证明△ABE≌△FEB，△BAE≌△BNE，△BNK≌△BCK，△KHP≌△PCK，再将△KHQ的周长进行转化，得到ED=KC+KH=C△KQH，可得结果． 【详解】解：过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP， ∵两个大小相同的正方形， ∴AB=EF，又∵∠A=∠F，BE=EB， ∴Rt△ABE≌Rt△FEB（HL）， ∴∠AEB=∠FBE=∠NEB，AE=BF， 同理可得：Rt△BAE≌Rt△BNE，Rt△BNK≌Rt△BCK， ∴∠EBK=45°， ∴AE+KC=EK， ∵AE=BF， ∴DE=BG， ∵∠H=∠C=90°，∠PQC=∠KQH， ∴∠BPG=∠CPQ=∠QKH=∠EKD， ∴△BGP≌△EDK， ∴PG=KD， ∴PH=KC， 同理可证：△KHP≌△PCK， ∴△KQH的周长为KC+KH， 又∵AE+ED=EK+KH，AE+KC=EK， ∴AE+ED=AE+KC+KH， ∴ED=KC+KH=△KQH的周长， ∴要求出阴影部分的周长，只要知道线段ED的长度， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换，解题的关键是利用全等的性质得到线段的等量关系． 【题型12.利用正方形的性质与判定求面积】 【典例】如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【答案】/30/30.5 【分析】延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，得到边长为9的正方形GEHF，根据四边形EBCF的面积=即可求解． 【详解】解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵CF//AE，DF//BE， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴平行四边形GEHF是矩形， ∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°， 根据等角的余角相等， ∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC， ∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC， ∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4， ∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形， ∴四边形EBCF的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【跟踪专练3】如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点D作，垂足为，延长交于点E，易证，根据正方形的性质可证，得到，由，利用勾股定理得出，再根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为，延长交于点E， ，， ， 已知相邻两条平行线间的距离都是1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 正方形面积是， 故选：D． 【题型13.根据正方形的性质与判定证明】 【典例】如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1）______；（2）______；（3）正方形的边长为______． 【答案】 1 45 3 【分析】（1）由翻折的性质及全等三角形的性质可求出AG=FG； （2）根据正方形的性质及角的和差关系可得； （3）设边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+，根据勾股定理列出方程，故可求解． 【详解】（1）根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF， ∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE， ∵DA＝DF，DG＝DG， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴∠ADG＝∠FDG，AG＝FG=1 （2）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG ∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45° （3）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG ∴GF=GA=1，EC=EF 设正方形边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+， 在Rt△BEG中，GE2=BG2+BE2 ∴（1+）2=（x-1）2+（）2 解得x=3 ∴正方形的边长为3 故答案为：1；45；3． 【点睛】此题考查了翻折性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握其性质是解决此题关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 【跟踪专练2】,如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练3】如图，将正方形的各边顺次延长至E，F，G，H，且使，则四边形是（　　）    A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和已知条件可证得，于是得到，可证得四边形是菱形，再证得，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型14.特殊平行四边形的动点问题】 【典例】如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是______时，与全等．    【答案】或/3或2 【分析】根据题意设运动时间为，点的速度为，根据全等三角形的判定方法，分类讨论：①当时，，；②当时，，；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，点的速度为， ∴点从点到点的时间为， ∴，，， ①当时，，， ∴，解得，， ∴， ∴，即点的速度为； ②当时，，， ∴，解得，， ∴， ∴，即点的速度为； 综上所述，当点的运动速度是为或时，与全等， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查动点与几何图形，三角形全等的判定和性质的综合，理解动点的运动规律，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是_________．    【答案】①②③ 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图，点为矩形()的对称中心，点从点出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长交于点，则四边形AECF形状是下列图形中的哪些：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况，由此可得结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵∠， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 当点和点重合时，四边形是矩形，而且，故不可能是正方形， 可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形， 故选：A． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根据EF与AC的关系即可求解． 【解答题】 1．如图，正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，根据等量代换得出，即可得证. 【详解】证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 2．如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （2）延长到H，使得，则，想办法证明即可解决问题． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长到H，使得， ∵， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，过点D作，过点F作，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为10． 【分析】（1）过点分别作于点，于点，先证出四边形为正方形，根据正方形的性质可得，，再根据矩形的性质可得，从而可得，然后根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据正方形的判定即可得证； （2）先根据正方形的性质可得，，再根据定理可得，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）连接，利用勾股定理求得，和以及的长，再利用正方形的面积公式求解即可．． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作于点，于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． （2）证明：∵矩形为正方形， ，， ∵四边形是正方形， ，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （3）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴，， 由（2）得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）得四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 4．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：设为， 四边形是边长为的正方形， ， ， 正方形纸片翻折，使点落到点处， ， 点是边的中点， ， 在中，根据勾股定理，得到， ， 解得， ． 5．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06正方形同步讲义 【题型01 正方形性质理解】........................................3 【题型02 利用正方形性质求角度】..................................3 【题型03 利用正方形性质求线段长】................................4 【题型04 利用正方形性质求面积】..................................5 【题型05 正方形折叠问题】........................................6 【题型06 利用正方形性质证明】....................................7 【题型07 正方形的判定定理理解】..................................8 【题型08 添条件使四边形是正方形】................................9 【题型09 证明四边形是正方形】...................................10 【题型10 利用正方形性质与判定求角度】...........................11 【题型11 利用正方形性质与判定求线段长】.........................12 【题型12 利用正方形性质与判定求面积】...........................13 【题型13 根据正方形性质与判定证明】.............................14 【题型14 特殊平行四边形动点问题】...............................15 【解答题5题】...................................................16 ★知识梳理. 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形与菱形的所有性质。 . 知识点02:正方形的性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形的判定 知识点04:常见公式与结论 若正方形边长为a，则： 周长：C=4a 面积：S=a2 对角线长：d=a 正方形的对角线把正方形分成的等腰直角三角形，锐角均为45∘. 【题型1.正方形性质理解】 【典例】图中的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名同学将它们分别沿着两条垂直的虚线（乙：，分别是小正方形一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则（    ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以 【跟踪专练1】边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则的度数为____． 【跟踪专练2】矩形，菱形，正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【跟踪专练3】如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是___________． 【题型2.利用正方形的性质求角度】 【典例】如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，交于点，则的度数为_____________． 【跟踪专练2】如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3.利用正方形的性质求线段长】 【典例】正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【跟踪专练1】如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为___________ 【跟踪专练2】在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作，与的延长线相交于点，连接，与边相交于点，与对角线相交于点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【题型4.利用正方形的性质求面积】 【典例】如图1，有甲，乙两种大小不同的正方形纸片，把正方形甲放置在正方形乙中，连结，，得到图2，再将图2这样的四个图案不重叠，无缝隙地拼成如图3所示的正方形，若正方形中阴影区域面积和为12，且，则一张正方形甲和一 张正方形乙的面积和为 ___________________．    【跟踪专练1】如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【跟踪专练2】如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为______． 【跟踪专练3】如图，正方形中有两个正方形，且它们的顶点分别在正方形的边上或对角线上，两个正方形的面积分别是和，若，则的值为（   ） A．24 B．27 C．30 D．36 【题型5.正方形折叠问题】 【典例】如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是________． 【跟踪专练1】如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【跟踪专练3】如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 【题型6.利用正方形的性质证明】 【典例】如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为_______． 【跟踪专练1】如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为(    ) A． B．° C．° D． 【跟踪专练2】如图，点在正方形的边的延长线上，且，点是边上一动点，连接，过点作交于点，则： （1）的度数是______°； （2）的值为______． 【跟踪专练3】如图，正方形中，点E是边上一点，连接，线段的垂直平分线交对角线于点M，交于点N，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型7.正方形的判定定理理解】 【典例】如图，在矩形中，有以下结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤当时，矩形会变成正方形．正确的结论是_____．    【跟踪专练1】下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【跟踪专练2】判断四个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直且互相平分的四边形是正方形．命题成立的是（填序号）_____． 【跟踪专练3】下列四个矩形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断矩形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【题型8.添条件使四边形是正方形】 【典例】如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是________．    【跟踪专练1】如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，请添加一个条件：______，使四边形是正方形。    【跟踪专练3】如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 【题型9.证明四边形是正方形】 【典例】下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【跟踪专练1】四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是_____． 【跟踪专练3】如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE．要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型10.利用正方形的性质与判定求角度】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【跟踪专练1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【跟踪专练3】如图，已知中，，点D为边BC上一动点，四边形是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F， (1)判断BD与CG的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)若，求AE的值． 【题型11.利用正方形的性质与判定线段长】 【典例】如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，两个大小相同的正方形，如图放置，点，分别在边，上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（    ）． A． B． C． D． 【题型12.利用正方形的性质与判定求面积】 【典例】如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    【跟踪专练1】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【跟踪专练3】如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【题型13.根据正方形的性质与判定证明】 【典例】如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1）______；（2）______；（3）正方形的边长为______． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】,如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【跟踪专练3】如图，将正方形的各边顺次延长至E，F，G，H，且使，则四边形是（　　）    A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【题型14.特殊平行四边形的动点问题】 【典例】如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是______时，与全等．    【跟踪专练1】如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【跟踪专练2】如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是_________．    【跟踪专练3】如图，点为矩形()的对称中心，点从点出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长交于点，则四边形AECF形状是下列图形中的哪些：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解答题】 1．如图，正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．求证：． 2．如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G． (1)若，，求的长； (2)求证：． 3．如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，过点D作，过点F作，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)若，，求四边形的面积． 4．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 5．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $