专题06正方形易错必刷题型专项训练(18大题型共计54道题)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦正方形高频易错点，通过18类题型系统梳理性质判定及综合应用，提炼解题技巧与避错策略，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形专项突破|18类易错必刷题型|性质判定辨析、折叠/动点问题转化、勾股定理与方程思想应用|从基础性质（边/角/对角线）到判定定理，再到综合应用（折叠/最值/坐标系），形成完整逻辑链|

专题06正方形易错必刷题型专项训练 本专题汇总正方形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.求正方形重叠部分面积 题型07.正方形性质证明 题型08.正方形判定定理理解 题型09.添条件使四边形是正方形 题型10.证明四边形是正方形 题型11.正方形性质与判定求角度 题型12正方形性质与判定求线段长 题型13.正方形性质与判定求面积 题型14.正方形性质与判定证明 题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 题型16.正方形中的动点问题 题型17.正方形中的最值问题 题型18.正方形与坐标系综合 易错必刷题型01.正方形性质理解 典题特征：以选择、填空题为主，考查正方形边、角、对角线、对称性的基础性质辨析，常与矩形、菱形性质对比考查。 易错点：①混淆正方形与矩形、菱形的性质差异；②误认为正方形对角线仅具备相等或垂直单一性质，忽略其同时平分对角、互相垂直平分且相等的复合特性。 1．正方形具有矩形不一定有的性质是（    ） A．对角互补 B．对角线相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； B．对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； C． 四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； D． 对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意． 2．如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，则_______． 【答案】 【分析】作出如图的辅助线，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求得，，证明，利用全等三角形的性质求得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点C、D、E分别作直线的垂线，垂足分别为F、I、G，过点D作直线的垂线，垂足为H，如图， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中画出面积为5的正方形； (2)在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； (3)在图③中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，且矩形的边不与网格线平行，该矩形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析； 【分析】（1）画出边长为的正方形，即可求解； （2）画出边长为的菱形，即可求解； （3）画出两边分别为的矩形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 矩形的边长分别为 矩形的面积为 易错必刷题型02.正方形性质求角度 典题特征：结合正方形的边、对角线构造三角形，利用内角和、等腰三角形性质求解角度，常含旋转、对称背景。 易错点：①未利用正方形对角线平分直角（45°）的性质，误将对角线与边的夹角当作60°；②忽略图形隐含的等腰直角三角形结构，角度计算逻辑断层。 4．如图，在正方形中，以对角线为一边作菱形，连接菱形的对角线，则的度数等于________．    【答案】 【分析】根据正方形对角线的性质：平分对角，可得，再根据菱形对角线的性质：平分对角，可得． 【详解】解：在正方形中，， 是正方形的对角线， ， 是菱形的对角线， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的对角线平分对角是解决问题的关键． 5．如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据三角形的内角和求出，则，即可解答． 【详解】解：正方形中，， ∵， ∴， ∴． 6．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE． (1)若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）； (2)用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)∠POE＝90°－2α (2)BP＝，证明见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质得：∠DBC=∠CDB=45°，则∠DBP=45°-α，根据直角三角形斜边中线的性质可得EO=BO，由等腰三角形性质和外角的性质可得结论； （2）作辅助线，证明△ABE≌△CBE，则AE=CE，根据直角三角形斜边中线的性质得：OC=OB=OP=OE，证明△EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：BP=EC，所以BP=AE． 【详解】（1）在正方形ABCD中， BC＝DC；∠C＝90° ∴∠DBC＝∠CDB＝45° ∵∠PBC＝α ∴∠DBP＝45°－α ∵PE⊥BD，且O为BP的中点 ∴EO＝BO ∴∠EBO＝∠BEO ∴∠EOP＝∠EBO＋∠BEO＝90°－2α （2）连接OC，EC 在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE=BE， ∴△ABE≌△CBE ∴AE＝CE 在Rt△BPC中，O为BP的中点 ∴CO＝BO＝ ∴∠OBC＝∠OCB ∴∠COP＝2α 由（1）知∠EOP＝90°－2α ∴∠EOC＝∠COP＋∠EOP＝90° 又由（1）知BO＝EO， ∴EO＝CO． ∴△EOC是等腰直角三角形 ∴ ∴EC＝OC 即BP＝ ∴BP＝ 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，第（2）问有难度，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键． 易错必刷题型03.正方形性质求线段长 典题特征：结合勾股定理、全等三角形，求正方形内线段、对角线、边上动点到定点的距离。 易错点：①未明确正方形边长与对角线的数量关系（对角线=边长×√2）；②在含动点的线段计算中，未分类讨论动点位置导致漏解。 7．如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 【答案】 【分析】先由正方形的性质结合勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 8．如图，四边形是正方形，点在对角线上，过点作交于点．若，，则正方形的边长为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得出相等的边和相关角的度数，然后利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：， ． ∵四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， 即， ∴， 解得． 9．如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用正方形的性质证明即可求证； （）利用勾股定理求出，进而得到的长，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 易错必刷题型04.正方形性质求面积 典题特征：直接求正方形面积，或结合分割、拼接求部分图形面积，常与勾股定理结合。 易错点：①混淆正方形面积与对角线的关系（误用面积=对角线²）；②在图形分割类面积计算中，未正确识别全等图形或等积变换关系。 10．正方形的边长为，点分别是对角线上的两点，过点分别作的平行线，则图中阴影部分的面积等于_____．    【答案】 【分析】根据题意，可知四边形，四边形是正方形，由此即可将阴影部分的面积转换为正方形面积的一半． 【详解】解：如图所示，    ∵四边形是正方形，，， ∴四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形，求不规则图形的面积的综合，理解题意，掌握正方形的性质，不规则图形的面积计算方法是解题的关键． 11．如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由面积公式可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积为， ， ， 故选：C． 12．如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，过点D作，过点F作，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为10． 【分析】（1）过点分别作于点，于点，先证出四边形为正方形，根据正方形的性质可得，，再根据矩形的性质可得，从而可得，然后根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据正方形的判定即可得证； （2）先根据正方形的性质可得，，再根据定理可得，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）连接，利用勾股定理求得，和以及的长，再利用正方形的面积公式求解即可．． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作于点，于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． （2）证明：∵矩形为正方形， ，， ∵四边形是正方形， ，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （3）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴，， 由（2）得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）得四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 易错必刷题型05.正方形中的折叠问题 典题特征：以正方形边、对角线为折痕，构造对称图形，结合勾股定理、全等三角形求线段或角度。 易错点：①忽略折叠前后对应边、对应角相等的性质；②未设未知数列勾股定理方程求解，或方程建立错误；③折叠后图形位置判断失误。 13．在课本上的“数学活动  折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后根据求解即可,熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，现有一张边长为4的正方形纸片，将正方形纸片折叠，使得B点落在边上点P处（P不与A，D重合）折痕为，C点落在G点处，交于H，连接．下列结论：①；②；③的周长为8；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据得出，再根据，得出； ②首先证明，进而得出，即可得出答案； ③根据和 ，即可得出； ④设，在中，求得长；设， 在中，求得长；设，在中求得长，进而求出比值作出判断即可． 【详解】解： ∵， ∴， 又∵， ∴， 即，故①正确； 又∵， ∴， ∴， 如图2，过B作，垂足为Q， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又，， 在和中， ， ∴， ， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴的周长为：， 故③正确； ，， ， 设，则，，， 在中， ， 解得：， ， ， ， ， 设，则，， 在中， ， 解得：， ， 设，则，， 在中， ， 解得：， ， ，故④错误； 其中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理应用及平行线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 15．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方形的性质和折叠的性质证明，即可解题； （2）设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 易错必刷题型06.求正方形重叠部分面积 典题特征：两个或多个正方形（含旋转正方形）重叠，利用对称性、全等三角形求重叠区域面积。 易错点：①未利用正方形中心对称性证明重叠部分面积为定值；②旋转角度分析错误，导致重叠图形形状判断偏差。 16．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 17．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 18．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 易错必刷题型07.正方形性质证明 典题特征：证明线段相等、角相等、直线垂直/平行，常结合三角形全等、等腰直角三角形性质。 易错点：①证明过程中跳步，未明确引用正方形的性质作为推理依据；②全等三角形判定条件误用。 19．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点连接，． （1）线段与的位置关系为_______； （2）若，分别是，的中点，连接，则线段的长为_________． 【答案】 垂直 2 【分析】（1）证明得，求出即可得出线段与的位置关系； （2）连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：垂直； （2）解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点，分别是，的中点， ； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，根据正方形的性质，结合中点的定义得到，进而，根据同角的余角相等得到，即可证明，得到，从而，得证结论； （2）先根据中点的定义得到，再根据勾股定理在中求出，再在中求出即可． 【详解】（1）证明：取的中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F是的中点，点M是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． （2）解：如图， ∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 21．已知四边形是正方形，E是上一点，，垂足为F，，垂足为G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点H，延长交的延长线于点P． ①求证：； ②连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②3 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）①由题意易得，然后可得，进而问题可求解； ②由题意易得，然后可得，设，则，根据勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即， ∴， ∴． 易错必刷题型08.正方形判定定理理解 典题特征：以选择题、判断题为主，辨析四边形判定为正方形的条件，常与矩形、菱形判定混淆。 易错点：①混淆判定逻辑，误认为“四边相等的四边形是正方形”“对角线相等的四边形是正方形”；②忽略判定需同时满足矩形和菱形的核心特征。 22．正方形的判定 ①_____________________________的菱形是正方形．． ②_____________________________的菱形是正方形． ③_____________________________的矩形是正方形． ④_____________________________的矩形是正方形． 【答案】 有一个角是直角 对角线相等 有一组邻边相等 对角线相互垂直 【解析】略 23．下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记判定定理是解题的关键．根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【详解】解：A. 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； B. 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； C. 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； D. 先判定四边形的对角线互相平分且相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直，故该选项不符合题意； 故选：D． 24．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上．按要求完成下列作图． (1)在图①中找到格点C、D，画一个以点A、B、C、D为顶点且以为边面积为6的平行四边形； (2)在图②中找到格点E、F，画一个以点A、B、E、F为顶点且以为对角线的正方形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作，使，其中； （2）作的垂直平分线，且使，则四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； 易错必刷题型09.添条件使四边形是正方形 典题特征：已知四边形为矩形或菱形，添加一个条件使其成为正方形，答案不唯一。 易错点：①添加的条件与已知图形性质重复（如给矩形添加“对边相等”）；②未结合已知图形的类型（矩形/菱形）添加针对性条件（如给矩形需加邻边相等或对角线垂直）。 25．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 26．在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①②是正方形．再写出符合要求的一个：______是正方形． 【答案】 ②④（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据正方形的判定定理，只需添加两个条件使平行四边形同时满足矩形和菱形的判定条件，即可推出平行四边形是正方形. 【详解】解： 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑤是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又平分， ∴， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑥是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑤是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵平分， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑥是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形． 又∵， 平行四边形是矩形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为②④是正方形； 27．如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，由，即可得到四边形是矩形； （2）根据邻边相等的矩形是正方形即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形， ∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 易错必刷题型10.证明四边形是正方形 典题特征：先证明四边形为矩形或菱形，再补充邻边相等或对角线垂直/相等的条件，完成判定。 易错点：①判定顺序混乱，未先证明为矩形/菱形，直接用单一条件判定正方形；②证明过程中条件不充分，遗漏关键推理步骤。 28．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意利用菱形的性质以及全等三角形的判定先证得，进而证得四边形为正方形． 【详解】证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为正方形． 29．如图，在中，，，垂足分别为，． (1)求证：． (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形得到，，然后结合得到； （2）由平行四边形得到，，然后推出，结合，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 30．已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果， ①如图2，当时，求的长； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为或． 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，在中，勾股定理求得，∴中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 易错必刷题型11.正方形性质与判定求角度 典题特征：结合正方形的判定与性质，构造复杂几何图形求角度，常含动点、旋转背景。 易错点：①判定正方形时条件遗漏，导致后续角度计算的前提错误；②未利用正方形的对称性简化角度推导。 31．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 32．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 33．四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． (1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； (2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； (3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形结合正方形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：如下图所示： 作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2： 在Rt△ABC中AC＝AB＝， ∵EC＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴； （3）①如图3： 当DE与AD的夹角为40°时， ∠DEC＝45°+40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°， ②如图4： 当DE与DC的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴∠EFC＝∠EDC＝40°， 综上所述，∠EFC＝130°或40°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键. 易错必刷题型12正方形性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为正方形，再利用其性质结合勾股定理、全等三角形求线段长。 易错点：①判定正方形的过程错误，误用性质计算线段；②未结合图形的动态变化分析线段的取值范围。 34．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____． 【答案】 【详解】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解答】解：如图，连接AC、CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝2， ∴AC＝2，CG＝3， ∴CF＝6， ∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， 由勾股定理得，AF＝， ∵H是AF的中点， ∴CH＝AF＝×＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 35．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 36．四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，于点E． (1)如图1，若，，且交AG于点F，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用求得，再利用线段关系求出． （2）延长与交于点F，设先求出，再利用及直角三角形斜边上的中线的性质，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，延长与交于点F， ∵，设．则， 在中，， ∴G为的中点， 在和中， ， ∴， ∴， 又， 在中，C为斜边的中点， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 易错必刷题型13.正方形性质与判定求面积 典题特征：通过判定正方形，结合其性质计算图形面积，常与等积变换、割补法结合。 易错点：①误将非正方形图形当作正方形计算面积；②割补过程中图形面积的等量关系分析错误。 37．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ） A．100 B．144 C．169 D．225 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质、三角形中位线定理可得，再根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，然后根据旋转的性质可得，从而可得，最后根据正方形的判定可得四边形为正方形，由此即可得． 【详解】解：四边形为矩形，， ， 分别为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 又绕点顺时针旋转， ， ， 平行四边形为正方形， 四边形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 38．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 【答案】80 【分析】取边的中点M，连接,证明，得，，，进而可证明，，可得，根据勾股定理得，进而可得，即可求出四边形的面积． 【详解】解：取边的中点M，连接． ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∴在中，根据勾股定理得， ， ， ∵四边形是正方形， ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形三角形的判定等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 39．如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O． (1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)1 【分析】（1）先证明全等，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形． （2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理求出和的长，所的面积是10减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积． 【详解】（1）解：四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 全等， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵， ∴， ∵由（1）知，四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用． 易错必刷题型14.正方形性质与判定证明 典题特征：综合运用正方形的判定与性质，证明线段、角度、位置关系，常为压轴题。 易错点：①判定与性质的衔接逻辑断层，证明过程中条件与结论不对应；②未利用正方形的对称性、旋转不变性简化证明。 40．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ③根据②的结论可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确； ④当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误． 【详解】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴NE＝NC， ∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ②∵矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ③根据②得∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； ④当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解（1）的关键． 41．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 【答案】(1)见解析 (2)不会发生变化，面积为4 【分析】（1）过点作于点于点，根据正方形的性质证明四边形是正方形，再证明，即可得证； （2）根据可知，根据即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于点于点，如图所示： ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当点在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： 四边形是正方形，点为对角线的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，则． 由（1）得， ，， 由（1）得，矩形是正方形， 则． 42．如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形； （2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵，， ． ∵， ∴四边形是矩形． ． ∵ ． ． ． ． ∴矩形是正方形； （2）解：． 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，． ． ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 易错必刷题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 典题特征：利用正方形、矩形、菱形的中心对称性或轴对称性，将不规则阴影面积转化为规则图形面积。 易错点：①未识别图形的对称中心或对称轴，无法进行等积转化；②转化后图形的边长、面积计算错误。 43．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 44．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 45．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 易错必刷题型16.正方形中的动点问题 典题特征：点在正方形的边、对角线或延长线上运动，结合函数、全等三角形求线段、面积的变化规律。 易错点：①未分类讨论动点的不同位置，导致漏解；②未建立正确的函数模型分析动态变化；③忽略动点的取值范围。 46．如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 【答案】 【分析】根据正方形性质可知点B与点D关于对称，可得，由三角形三边关系可得，求出长是最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∵， ∴， 即长是最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 47．如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④若，连接，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，故①正确；根据三角形外角的性质得到，根据等量代换得到，故②正确；根据，不能证明，故③错误；根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到的等腰直角三角形，于是得到，故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 在与中， ∵∠， ∴不能证明，故③错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形， ∴，故④正确； 综上可知，正确的是①②④． 48．如图，中，，，D是上一动点，以为边在的右侧作正方形，连接． (1)①求证：； ②四边形的面积为； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)随着点D的运动，点E也在运动，在动点D从点B运动到点C的过程中，直接写出点E的运动路径的长． 【答案】(1)①见解析；②8 (2)，理由见解析 (3)8 【分析】（1）①由正方形的性质得到，，推出，即可证明； ②由得到，然后推出； （2）由得到，，求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）过点A作于点M，过点E作于点N，证明出，得到，，然后证明出是等腰直角三角形，得到，点E在下方与夹角为的线段上运动，然后确定点E的起点和终点，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴； ②∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接 ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴； （3）解：如图，过点A作于点M，过点E作于点N， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点E在下方与夹角为的线段上运动 如图，当点D和点B重合时，点F和点C重合， ∵四边形是正方形 ∴； 如图，当点D和点C重合时， ∵四边形是正方形 ∴； ∴点E的运动路径的长为． 题型17.正方形中的最值问题 典题特征：结合将军饮马、垂线段最短等模型，求正方形内线段和、差的最值。 易错点：①未识别最值模型（如将军饮马的对称转化）；②对称点的选取错误，导致最值计算偏差。 49．如图，点为正方形的对角线上的任意一点，于点，于点，连接．若正方形的边长为，则的最小值为______．    【答案】3 【分析】通过连接，利用矩形的性质转化线段关系，从而证明，当时，取得最小值，即取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接．   四边形是正方形， ∴，， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵正方形的边长为，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为3． 50．如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则，证明，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，，可得到是等腰直角三角形，进而得到当最小时，最小，此时取得最小值，为，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小，此时取得最小值，为， ∵， ∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3， 此时， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，根据题意证明是解题的关键． 51．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 题型18.正方形与坐标系综合 典题特征：正方形顶点在平面直角坐标系中，结合坐标、函数、勾股定理求点坐标、线段长或面积。 易错点：①未利用正方形边与坐标轴平行或垂直的性质分析坐标；②旋转、平移后点的坐标变换错误；③勾股定理在坐标系中的应用失误。 52．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 【答案】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据正方形的性质得出； （2）过点B作轴于点E，证明，得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴． （2）过点B作轴于点E，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 53．如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查线段最垂直平分线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟知正方形的对称性与勾股定理的运用是解题的关键． 连接，由正方形的性质得垂直平分，连接交于P点，然后说明最小值为，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，A点关于直线的对称点C，连接交于P点， ∴， ∴， ∴当C、P、D三点共线时，最小，最小为， ∵， ∴， ∵， ∴最小值为． 故选A． 54．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)“平分”正确，证明见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）①解：， ， 四边形是正方形， ， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）解：平分成立． 证明如下：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 【点睛】本题中，3个小题均运用了添加辅助线，构造全等三角形，这是本类题常用的解题方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06正方形易错必刷题型专项训练 本专题汇总正方形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.求正方形重叠部分面积 题型07.正方形性质证明 题型08.正方形判定定理理解 题型09.添条件使四边形是正方形 题型10.证明四边形是正方形 题型11.正方形性质与判定求角度 题型12正方形性质与判定求线段长 题型13.正方形性质与判定求面积 题型14.正方形性质与判定证明 题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 题型16.正方形中的动点问题 题型17.正方形中的最值问题 题型18.正方形与坐标系综合 易错必刷题型01.正方形性质理解 典题特征：以选择、填空题为主，考查正方形边、角、对角线、对称性的基础性质辨析，常与矩形、菱形性质对比考查。 易错点：①混淆正方形与矩形、菱形的性质差异；②误认为正方形对角线仅具备相等或垂直单一性质，忽略其同时平分对角、互相垂直平分且相等的复合特性。 1．正方形具有矩形不一定有的性质是（    ） A．对角互补 B．对角线相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 2．如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，则_______． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中画出面积为5的正方形； (2)在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； (3)在图③中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，且矩形的边不与网格线平行，该矩形的面积为________． 易错必刷题型02.正方形性质求角度 典题特征：结合正方形的边、对角线构造三角形，利用内角和、等腰三角形性质求解角度，常含旋转、对称背景。 易错点：①未利用正方形对角线平分直角（45°）的性质，误将对角线与边的夹角当作60°；②忽略图形隐含的等腰直角三角形结构，角度计算逻辑断层。 4．如图，在正方形中，以对角线为一边作菱形，连接菱形的对角线，则的度数等于________．    5．如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE． (1)若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）； (2)用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明． 易错必刷题型03.正方形性质求线段长 典题特征：结合勾股定理、全等三角形，求正方形内线段、对角线、边上动点到定点的距离。 易错点：①未明确正方形边长与对角线的数量关系（对角线=边长×√2）；②在含动点的线段计算中，未分类讨论动点位置导致漏解。 7．如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 8．如图，四边形是正方形，点在对角线上，过点作交于点．若，，则正方形的边长为（   ） A．10 B． C． D． 9．如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 易错必刷题型04.正方形性质求面积 典题特征：直接求正方形面积，或结合分割、拼接求部分图形面积，常与勾股定理结合。 易错点：①混淆正方形面积与对角线的关系（误用面积=对角线²）；②在图形分割类面积计算中，未正确识别全等图形或等积变换关系。 10．正方形的边长为，点分别是对角线上的两点，过点分别作的平行线，则图中阴影部分的面积等于_____．    11．如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 12．如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，过点D作，过点F作，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)若，，求四边形的面积． 易错必刷题型05.正方形中的折叠问题 典题特征：以正方形边、对角线为折痕，构造对称图形，结合勾股定理、全等三角形求线段或角度。 易错点：①忽略折叠前后对应边、对应角相等的性质；②未设未知数列勾股定理方程求解，或方程建立错误；③折叠后图形位置判断失误。 13．在课本上的“数学活动  折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______． 14．如图，现有一张边长为4的正方形纸片，将正方形纸片折叠，使得B点落在边上点P处（P不与A，D重合）折痕为，C点落在G点处，交于H，连接．下列结论：①；②；③的周长为8；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 易错必刷题型06.求正方形重叠部分面积 典题特征：两个或多个正方形（含旋转正方形）重叠，利用对称性、全等三角形求重叠区域面积。 易错点：①未利用正方形中心对称性证明重叠部分面积为定值；②旋转角度分析错误，导致重叠图形形状判断偏差。 16．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 17．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 18．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 易错必刷题型07.正方形性质证明 典题特征：证明线段相等、角相等、直线垂直/平行，常结合三角形全等、等腰直角三角形性质。 易错点：①证明过程中跳步，未明确引用正方形的性质作为推理依据；②全等三角形判定条件误用。 19．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点连接，． （1）线段与的位置关系为_______； （2）若，分别是，的中点，连接，则线段的长为_________． 20．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 21．已知四边形是正方形，E是上一点，，垂足为F，，垂足为G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点H，延长交的延长线于点P． ①求证：； ②连接，若，求的面积． 易错必刷题型08.正方形判定定理理解 典题特征：以选择题、判断题为主，辨析四边形判定为正方形的条件，常与矩形、菱形判定混淆。 易错点：①混淆判定逻辑，误认为“四边相等的四边形是正方形”“对角线相等的四边形是正方形”；②忽略判定需同时满足矩形和菱形的核心特征。 22．正方形的判定 ①_____________________________的菱形是正方形．． ②_____________________________的菱形是正方形． ③_____________________________的矩形是正方形． ④_____________________________的矩形是正方形． 23．下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 24．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上．按要求完成下列作图． (1)在图①中找到格点C、D，画一个以点A、B、C、D为顶点且以为边面积为6的平行四边形； (2)在图②中找到格点E、F，画一个以点A、B、E、F为顶点且以为对角线的正方形． 易错必刷题型09.添条件使四边形是正方形 典题特征：已知四边形为矩形或菱形，添加一个条件使其成为正方形，答案不唯一。 易错点：①添加的条件与已知图形性质重复（如给矩形添加“对边相等”）；②未结合已知图形的类型（矩形/菱形）添加针对性条件（如给矩形需加邻边相等或对角线垂直）。 25．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 26．在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①②是正方形．再写出符合要求的一个：______是正方形． 27．如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 易错必刷题型10.证明四边形是正方形 典题特征：先证明四边形为矩形或菱形，再补充邻边相等或对角线垂直/相等的条件，完成判定。 易错点：①判定顺序混乱，未先证明为矩形/菱形，直接用单一条件判定正方形；②证明过程中条件不充分，遗漏关键推理步骤。 28．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 29．如图，在中，，，垂足分别为，． (1)求证：． (2)若，求证：四边形是正方形． 30．已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果， ①如图2，当时，求的长； ②当是直角三角形时，求的长． 易错必刷题型11.正方形性质与判定求角度 典题特征：结合正方形的判定与性质，构造复杂几何图形求角度，常含动点、旋转背景。 易错点：①判定正方形时条件遗漏，导致后续角度计算的前提错误；②未利用正方形的对称性简化角度推导。 31．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 32．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 33．四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． (1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； (2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； (3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 易错必刷题型12正方形性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为正方形，再利用其性质结合勾股定理、全等三角形求线段长。 易错点：①判定正方形的过程错误，误用性质计算线段；②未结合图形的动态变化分析线段的取值范围。 34．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____． 35．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 36．四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，于点E． (1)如图1，若，，且交AG于点F，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求． 易错必刷题型13.正方形性质与判定求面积 典题特征：通过判定正方形，结合其性质计算图形面积，常与等积变换、割补法结合。 易错点：①误将非正方形图形当作正方形计算面积；②割补过程中图形面积的等量关系分析错误。 37．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ） A．100 B．144 C．169 D．225 38．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 39．如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O． (1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为 ． 易错必刷题型14.正方形性质与判定证明 典题特征：综合运用正方形的判定与性质，证明线段、角度、位置关系，常为压轴题。 易错点：①判定与性质的衔接逻辑断层，证明过程中条件与结论不对应；②未利用正方形的对称性、旋转不变性简化证明。 40．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 41．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 42．如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 易错必刷题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 典题特征：利用正方形、矩形、菱形的中心对称性或轴对称性，将不规则阴影面积转化为规则图形面积。 易错点：①未识别图形的对称中心或对称轴，无法进行等积转化；②转化后图形的边长、面积计算错误。 43．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 44．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 45．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 易错必刷题型16.正方形中的动点问题 典题特征：点在正方形的边、对角线或延长线上运动，结合函数、全等三角形求线段、面积的变化规律。 易错点：①未分类讨论动点的不同位置，导致漏解；②未建立正确的函数模型分析动态变化；③忽略动点的取值范围。 46．如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 47．如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④若，连接，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 48．如图，中，，，D是上一动点，以为边在的右侧作正方形，连接． (1)①求证：； ②四边形的面积为； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)随着点D的运动，点E也在运动，在动点D从点B运动到点C的过程中，直接写出点E的运动路径的长． 题型17.正方形中的最值问题 典题特征：结合将军饮马、垂线段最短等模型，求正方形内线段和、差的最值。 易错点：①未识别最值模型（如将军饮马的对称转化）；②对称点的选取错误，导致最值计算偏差。 49．如图，点为正方形的对角线上的任意一点，于点，于点，连接．若正方形的边长为，则的最小值为______．    50．如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 51．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 题型18.正方形与坐标系综合 典题特征：正方形顶点在平面直角坐标系中，结合坐标、函数、勾股定理求点坐标、线段长或面积。 易错点：①未利用正方形边与坐标轴平行或垂直的性质分析坐标；②旋转、平移后点的坐标变换错误；③勾股定理在坐标系中的应用失误。 52．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 53．如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 54．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $