精品解析：湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）2025--2026学年八年级下学期收心练习数学试卷

湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026学年度第二学期 八年级收心练习·数学 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查乘方运算的含义，同底数幂的乘法运算，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选： C． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 4. 石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（ ） A. 0.34×10﹣9米 B. 34.0×10﹣11米 C. 3.4×10﹣10米 D. 3.4×10﹣9米 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.00000000034用科学记数法表示为3.4×10﹣10． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 5. 如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　） A. 25 B. 175 C. 600 D. 625 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，由勾股定理得，， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键在于熟练掌握勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，则有． 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵， ∴． ，， ∴， ， 点表示的数是． 7. 把分式中的和都扩大10倍，则分式的值（） A. 扩大10倍 B. 扩大100倍 C. 缩小10倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，注意分子扩大了100倍，分母扩大了10倍． 根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大10倍，则分式的值扩大10倍， 故选：A． 8. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解:由作法得，，而公共边， 所以． 所以． 9. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程． n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得： ， 解得， 故选：A． 10. 如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】作，垂足为E，由等边三角形的性质可得，，所以．因此可以转化为，当A、P、E三点共线时，取到最小值．又根据垂线段最短可知，当时，最小，即最小，利用等边三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为E，连接， ∵是等边三角形， 又∵点D为边中点， ∴，， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， 当A、P、E三点共线时，取到最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：________. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 12. 分式与的最简公分母是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知m+n=2，mn=﹣2，则（1+m）（1+n）的值为___． 【答案】1 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，再代入计算即可． 【详解】解：∵m+n=2，mn=﹣2， ∴（1+m）（1+n）=1+n+m+mn=1+2﹣2=1； 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 15. 如图，在，垂直平分，分别交于点D，E，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，，求解，可得，从而可得答案． 详解】解：∵垂直平分，， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 16. 若分式方程无解，则k的值是 _______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值． 【详解】解：原方程两边同乘（需），得， 化简得，即， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根，则， 解得， 故或时方程无解， 故答案为：1或2． 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，一共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，请从,，1,2四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及因式分解等知识点，解题的关键是先对括号内的分式进行通分合并，再将除法转化为乘法并进行因式分解和约分，同时要注意选取使原分式有意义的值代入计算． 先对括号内的分式进行通分，合并分子并因式分解；再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母进行因式分解后约分，得到最简分式；最后根据分式有意义的条件排除、，选取或代入求值． 【详解】解： ， ， 当时代入，得：； 当时代入，得：． 19. 已知：，，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合与运算； （1）先计算，然后根据平方差公式因式分解，代入即可求解； （2）先计算，然后根据完全平方公式因式分解，代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ． 20. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】17100元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点，解题的关键是通过连接对角线，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形和的面积之和． 先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， ∵运动型塑胶地板每平方米元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元． 21. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 22. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 【答案】（1）该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品 （2）该工作室至少有人使用豆包设计作品 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用．根据题目问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）通过“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合“使用豆包设计件的时间＝原来设计件的时间”这一等量关系，设未知数列分式方程求解． （2）根据“使用豆包的人数×使用后的效率＋未使用的人数×原来的效率”这一不等关系，列一元一次不等式求解最小值． 小问1详解】 解：设该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， 根据题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为； ∴该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品； 【小问2详解】 解：∵该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， ∴该工作室使用豆包前每名设计员每天能设计件作品， ∴设该工作室有人使用豆包设计作品， 根据题意得：， 解得：． ∴该工作室至少有人使用豆包设计作品． 23. 定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）把多项式配方成的形式，则________，________； （2）若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知正整数，，满足不等式，求的值． 【答案】（1）2，1； （2）①见解析，②9 （3）1 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据配方法的定义配方即可； （2）①根据平方具有非负性，即可得证；②将配方成，即可确定最小值； （3）根据原式可变形得，再配方可得，再根据平方的非负性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ，， 故答案为：2，1； 【小问2详解】 ①证明：， 多项式的值一定恒为正数； ②解： ， 的最小值为9； 【小问3详解】 ， ， ， ，，为正整数，所以，即， 或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数， ，，， ； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 24. 新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． （1）根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（ ）；②等腰直角三角形（ ）； （2）若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． （3）如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 【答案】（1）①√；②× （2）①；② （3）①证明见解析；②的长为或． 【解析】 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则两边平方和，第三边平方的两倍为：，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； ②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c，则腰长的平方和为，底边长的平方为，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； （2）①分c为斜边和b为斜边，两种情况讨论，根据“骐骥三角形”的定义求解即可； ②由勾股定理得，再由是“骐骥三角形”， ，得到，进而求出，，则； （3）①由勾股定理得，，再由，，即可证明，则可证明是“骐骥三角形”； ②设，，则，，由（3）①得：，则；当时，由勾股定理得，当时，由勾股定理得，两种情况求出，再根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设等边三角形的边长为a， ∴两边平方和，第三边平方的两倍为：， ∵， ∴等边三角形一定是“骐骥三角形”； ②设等腰直角三角形的腰长为b，底边长为c， ∴腰长的平方和为，底边长的平方为， ∴， ∴等腰直角三角形不“骐骥三角形”； 【小问2详解】 解：①若c为斜边， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴此情况不存在； 若b为斜边， ∴， ∵，， ∴，符合“骐骥三角形”的定义， 此时； ②∵是直角三角形，且， ∴， ∵是“骐骥三角形”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是“骐骥三角形”； ②设，， ∴，， 由①得：， ∴ ∵直角三角形，点E在四边形内部， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 25. 在与中，，，． （1）如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为______；位置关系为______． （2）如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． （3）如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G ①若，试用的表达式表示______； ②若，，求的值． 【答案】（1）， （2），； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）即可得到，； （3）①过点作和的垂线，垂足分别为和，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可； ②利用等积法求得，设，，再求得，设，，根据，求得，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故，； 【小问2详解】 解：记与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故，； 【小问3详解】 解：①过点作和的垂线，垂足分别为和， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②∵是的角平分线， ∴是的角平分线， 过点作和的垂线，垂足分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026学年度第二学期 八年级收心练习·数学 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（ ） A. 0.34×10﹣9米 B. 34.0×10﹣11米 C. 3.4×10﹣10米 D. 3.4×10﹣9米 5. 如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　） A. 25 B. 175 C. 600 D. 625 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 7. 把分式中的和都扩大10倍，则分式的值（） A. 扩大10倍 B. 扩大100倍 C. 缩小10倍 D. 不变 8. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 10. 如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：________. 12. 分式与最简公分母是_________ 13. 因式分解：______． 14. 已知m+n=2，mn=﹣2，则（1+m）（1+n）值为___． 15. 如图，，垂直平分，分别交于点D，E，若，则______． 16. 若分式方程无解，则k的值是 _______． 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，一共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，请从,，1,2四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 19. 已知：，，求下列代数式的值： （1） （2） 20. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 21. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 22. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 23. 定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）把多项式配方成形式，则________，________； （2）若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知正整数，，满足不等式，求的值． 24. 新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． （1）根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（ ）；②等腰直角三角形（ ）； （2）若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． （3）如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 25. 在与中，，，． （1）如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为______；位置关系为______． （2）如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． （3）如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G ①若，试用的表达式表示______； ②若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $