第二十章勾股定理阅读与思考——勾股定理的证明-同步探究学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

同步探究学案 课题 阅读与思考——勾股定理的证明 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1．了解勾股定理的多种证明方法． 2．理解证明过程中蕴含的数形结合、转化等数学思想． 重点 理解并掌握以赵爽弦图为核心的勾股定理证明方法，能清晰阐述证明的核心逻辑． 难点 理解从图形面积关系转化为直角三角形三边代数关系的推导过程，掌握数形结合、转化等数学思想． 探究过程 导入新课 【引入思考】 问题：说一说勾股定理的内容？ 三千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不仅因为这个定理重要、基本，还因为其贴近人们的实际生活，以至古往今来，一直有大量的数学工作者与爱好者在研究勾股定理的证明方法，证明的方法越来越多． 新知探究 本节课来研究： 本节我们研究勾股定理的证明。 1．利用弦图的另一种证法 提示：以斜边为边的正方形的面积＋4个三角形的面积＝外正方形的面积． 2．传说中毕达哥拉斯的证法 提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等． 3．“折矩-积矩”法 注：依据《周髀算经》中的商高之语，得此证法． 4．《原本》中的证法 提示：正方形DGHI的面积等于△CDI的面积的2倍，长方形AKJD的面积等于△ADG的面积的２倍，又△CDI≌△ADG，从而得正方形DGHI的面积等于长方形AKJD的面积．同理，正方形CEFG的面积等于长方形BCJK的面积． 5．梅文鼎的证法 提示：正方形AGEF的面积＋正方形HJDG的面积＝正方形ABCD的面积． 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 3．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理． 选做题： 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 2．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 3．用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 选做题： 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $