专项01 三角函数与解三角形9种题型（大题专练）（北京专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项01三角函数与解三角形 。。。。●。。。●。。。●●e0。●●ee●。。●●●●●9●9●●●●●●●●。90●●●●●●e●●●●e●●●。●●9。。0。。●。●。●●●00。●。。● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 ☑ PART 命题解码•定方向 根据近五年北京卷考情，三角函数与解三角形是必考题，分值约13-15分. 命题趋势： 解答题：稳定考查三角函数与解三角形（常为第16题），解三角形是利用正余弦定理和面积公式解决 边、角、面积等综合问题.三角函数考察三角恒等变换、三角函数的图形与性质。 2026年预测：解答题极可能仍为三角函数与解三角形常规题 备考核心：熟记定理与公式，解三角形解答题强化“边角互化”、正余弦定理、面积公式的灵活应用.三 角函数强化三角函数的图形与性质。 PART 02 解题建模•通技法 >题型01三角函数大题<了 析典例建模里 1. (2026北京延庆一模)已知函数f(x)=2sin(2x+p<引， 从条件①、条件②、条件③这三个条 件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在. (1)求9的值： (2)设g(x)=f(x)-4cos2x+2,求gx在区间 上的最大值和最小值 条件①：f(x是偶函数： 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件②：f()的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数： 条件③：f(x)在区间 _3江，上单调递增 8'8 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 考点，通技法 此类题型考察恒等变换和三角函数函数性质。 1、恒等变换的核心思想： (1)将题目中出现的不同三角函数（如sin,cos,tan)、不同角度（如x,2x,多）通过恒等变换转化为同 一种函数、同一个角，以便后续分析 (2)和差化积、积化和差本质是将多项式形式转化为乘积形式（或相反），便于判断符号、单调性、最值！ !或零点。 1(3)辅助角公式的应用，将asinx+bcosx合并为Asin(x+p,本质是将两个不同三角函数的转化为 |个三角函数。 2、对三角函数进行化简后，再考察三角函数的性质：单调性、周期、对称性、最值与值域、零点问题。 破送题：提能力 1. (2025北京海淀三模)已知函数=sin20xcos0+2c0s0rsin9-snp(a>0,<号.在区间 [ 上单调递增，且x=云是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选 择一个作为己知，使函数f(x)存在，并求解下列问题， 条件①： 3 条件②：当x= 时，x)取到最小值： 6 条件③： f =0 12 (1)求0、9的值： (2)若函数f(x)在区间 上单调递减，求实数m的最大值， 2.(2025北京三模) 已知函数f(x=4cos0xsin(0x+p)-2sin0(0<0<2,0<p<π： 的值； 2/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使函数∫(x)存在，求出⊙，9的值，并证 明：当x∈ 石，0时，fx)≤5 2 条件①：f(0)=-3: 条件②：当f)f=-4时，-的最小值为2： 条件@：f八纠图象关于自线x=沿对称 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 >题型02解三角形中边求长及周长<了 →析典例：.建模興 1.(2025北京三模)在△ABC中，a2+b2+ab=c2,sinC=√3sinB. (1)求∠B: (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长 条件①：a=b; 条件②：△4BC的面积为3 4 条件③：4C边上的高等于 3 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 研考点通技法 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一7 「求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其 I问题的本质为a+b(周长相关)ab(面积相关)，a2+b(余弦相关)这三者之间的关系，知二求一。 破类题提能力 1. (2025·北京朝阳一模)在ABC中，bcosA+acosB=c2. (I)求c的值： ②已知snC,再从条件@、条件②、条件®这三个条件中选择一个为已知，便得ABC存在且唯一 3/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 求ABC的周长. 条件①：∠B= 4 条件②：AB边上的高为 29 条件③：a=3 4 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 2. (25-26高三上·北京海淀·期末)在ABC中，∠B为锐角，a=10,a sin B+bsin A=10V3 (I)求∠B: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，求ABC的周长 条件①：sinA= 5v5 14 条件②：b=7: 条件③：c-b=2 >题型03解三角形冲求周长或边长范围〈 →析典例：建摸理 1.(2026四川攀枝花一模)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足 2a-2bcosC+c=0. (1)求角B; (2)若b=2√5，求ABC周长的取值范围 2.(2026河北张家口.一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足b+2 bcosA=c· (1)证明：A=2B; ②)若b=2,c=1,点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD+1的值： ()若ABC为锐角三角形，求￡的取值范围。 考点通技法 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “一”一一一”一”一一-一”一”一 ，若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 !1、若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2Wab可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时， !看是否满足取等条件。 ⅰ2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式学≤罗 把周长的最大值与余弦值挂钩。 |3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数 「求范围问题来解决 |若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 」对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： |1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性1 |来判断最值。 12、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 破送题：提能力 1.（2025·云南大理·模拟预测)在锐角△ABC中，设角A,B,C所对的边分别为α，b,c, sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C,且△ABC外接圆半径为V5 (I)求角B的大小： (2)求△ABC周长的取值范围 2.(2026广东汕头模拟预测)在ABC中，角4，B,C所对应的边分别为a,b,c.amS=,snA且 2 2-cos A h- a'b 4 (I)若D为AB边上靠近点A的三等分点，CD=2,求ABC面积的最大值； (2)求a+b2 的取值范围， ab >题型04解三角形冲求面积<了 析典例：.建檬型 1. (2026北京密云.一模)在ABC中，a2=b2+c2+bc,b=4. (1)求∠A: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求ABC的面积 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 条件①：cosB=- 条件@：tanC-5 条件③：bcosC+ccosB=2V7 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 考点：通技法 厂一一-一- !通常根据面积公式S4ABC=方absinC-=bcsinA=-acsinB来求值。 !1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 ·2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 破送题提能力 1.(2025北京模拟预测)在ABC中，c=6,4 b cos A+4ac0sB=3b (1)求b的值 (②)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的ABC存在，求ABC的面积 ①BC边上的高为7； ②sinB=sin2C; ③AC边上的中线长5 2.(2025北京昌平.二模)在ABC中，∠B为锐角，2 asinAcosC+csin2A=V3a. (1)求∠B: Q若=7n8-5,求A8c的面积 >题型05解三角形冲求面积的范围<了 析典例建摸異 1.(2026湖北省直辖县级单位·模拟预测)己知a,b,c分别是锐角ABC三个内角A,B,C的对边，且 √3 asinC=c1+cos4④，asinB=V3 (1)求A,b的值： 6/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)求ABC面积的取值范围. 研考点通技法 ·关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式a+b≥2yab或a2+b2≥2ab可以求面积的最大值。 |2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解 1决 破类题，提能力 1.(2025·云南昆明·模拟预测)已知ABC为锐角三角形，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 c-1=2cos4. (1)证明：A=2B; (②)已知点M在线段BC上，且LBAM=∠CAM,若AB=2,求△ABM面积的取值范围 2.(2025·黑龙江牡丹江·模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 acosC+3asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若ABC是锐角三角形，c=4,求ABC面积的取值范围 >题型06解三角形中的四边形问题<了 析典侧：建黑 1.(2026河北沧州一模)如图，四边形ABCD中，已知AC,BD交于点O, 40=OC=2,BD=2.Z40B= 41 ()若O=),求4D-BC的值： (2②)证明：当∠0AB=工时，D位于ABC外接圆的内部. 7/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点通技法 1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为6，将别的未知的角用日来表示，然后多次使用 正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 !2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 破类题提能力 1.(2025山东模拟预测)在四边形ABCD中，AB2=BC2+AC2-AC.BC,√2AB=3BC,AC=3+√3， ∠BAC+∠ACD=∠ACB+∠CAD=T 2 D (1)求ABC的周长 (②)求四边形ABCD的面积. 2.(25-26高三上·北京海淀月考)已知平面四边形ABCD中，CD=BC=12,∠A=120°，∠C=60° B (I)若AD=8,求AB的长； (②)设LADB=a,记四边形ABCD的周长L,求L的最大值 >题型07解三角形中的中线问题<了 析典例：建模里 1.(2025北京海淀三模)在48C中，已知ccos5=a-, (1)求∠C; 8/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若3sinA=2sinB,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一 确定，求BC边上中线的长 条件0：a+6=5:条件②：c=:条件@：48C的面积为3 3 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 研考点·通技法 |1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： D B 换成三角形的中线，则有AD2=引AB+引BC2-引BC2 12、可以通过向量法AD=A店+AC,两边平方后可得1AD12=AB12+|ACI2+2引AB1ACc0sA 破类题提能力 1.(25-26高三上北京东城月考)在ABC中，a=5c,A=27 3 (1)求角C的大小： (②)在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出AC边上的中线的长度， 条件①.ABC的周长为4+2√5；条件②.a=2b;条件③.BC边上的高线长为1.注：如果选择的条件 不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 2.(25-26高三上·北京东城期末)在锐角ABC中，a=6,sin2A=3 cos Asin B. (1)求b的值； (②)若D为BC边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为己知，使ABC存在，求AD的长. 条件①：∠B=T 条件②： ABC的面积为6√3； 条件③：ABC的周长为10+2√7. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 9/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答计分. >题型08解三角形冲的高线问题<〈 析典例：建摸型 1.(2026北京平谷一模)在ABC中，acos B-二b=c,a=7. (1)求A的大小： (②)在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，并求出AC边上的高线的长度. 条件①：b=3; 条件②：asin B=4V万； 条件③：sinB= 35 14 研考点通技法 |1、如图AD为BC边上的高线，则有AD=AB·sin∠B=AC·sin∠C 12、 利用面积公式有：AD·BC=AB·AC·sin∠BAC 破送题提能力 1.(2025北京西城一模)在ABC中，acosB+bcosA=4cc0sA. (1)求cosA的值； (2)若a=2V10,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得ABC存在，求BC边 上的高 条件①：B=3n 4 条件②：b=6: 条件③：cosC=10 10/16 专项01 三角函数与解三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年北京卷考情，三角函数与解三角形是必考题，分值约13-15分． 命题趋势： 解答题：稳定考查三角函数与解三角形（常为第16题），解三角形是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、面积等综合问题．三角函数考察三角恒等变换、三角函数的图形与性质。 2026年预测：解答题极可能仍为三角函数与解三角形常规题． 备考核心：熟记定理与公式，解三角形解答题强化“边角互化”、正余弦定理、面积公式的灵活应用．三角函数强化三角函数的图形与性质。 题型01三角函数大题 析典例·建模型 1．（2026·北京延庆·一模）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：是偶函数； 条件②：的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选择①，不符合条件，选择②或选择③，； (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）选择条件①，得即可求解； 选择条件②，得即可求解； 选择条件③，由正弦函数单调性得即可求解； （2）将(1)中求得的值代入，化简的表达式后，结合的取值范围与正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）选择条件①： 由函数 ，是偶函数， 则，因为， 则此时不存在，即函数不存在； 选择条件②：右移个单位后为奇函数。 平移后函数为， 因为为奇函数， 所以，解得：， 因为，所以，此时 选择条件③：在 上单调递增， 正弦函数的单调递增区间为，， 因为在 上单调递增， 所以，，解得： 因为，所以，此时， 后续最值与条件②一致， （2）当时，即 ， 当时，， 当，即时，， 当，即时， 研考点·通技法 此类题型考察恒等变换和三角函数函数性质。 1、恒等变换的核心思想： （1）将题目中出现的不同三角函数（如）、不同角度（如）通过恒等变换转化为同一种函数、同一个角，以便后续分析 （2）和差化积、积化和差本质是将多项式形式转化为乘积形式（或相反），便于判断符号、单调性、最值或零点。 （3）辅助角公式的应用，将 合并为，本质是将两个不同三角函数的转化为一个三角函数。 2、对三角函数进行化简后，再考察三角函数的性质：单调性、周期、对称性、最值与值域、零点问题。 破类题·提能力 1．（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助二倍角公式化简，根据不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果. （2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得， . 若选条件①：因为是图象的对称轴，所以，不可能满足， 所以不能选择条件①； 若选条件②：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，当时，取到最小值， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. 若选条件③：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. （2）由（1）知，， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故实数m的最大值为 2．（2025·北京·三模）已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）化简函数为，进而求得的值； （2）先化简得到，根据题意，分别选择①②，②③和①③，结合三角函数的图象与性质，列出方程求解，即可得到答案. 【详解】（1）解：若，可得， 所以. （2）解：由 ， 若选择条件①： 由，可得，所以，因为，可得不存在； 故只能选择条件②③： 由，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以， 此时， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，可得； 所以，当时，， 时，取最大值， 所以，. 题型02 解三角形中边求长及周长 析典例·建模型 1．（2025·北京·三模）在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由余弦定理可求出，再由可求出； （2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得，再代入可得，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出，再代入可得，即可求出△ABC的周长. 【详解】（1）由可得， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以. （2）若选择①：因为，，所以，所以， 则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①. 若选择②：由（1）可得，即， 则，解得， 再代入可得：， 所以△ABC的周长为：. 若选择③：由（1）可得，即， 由可得：， 所以， 又因为AC边上的高等于，， 所以，解得：，所以，， 所以△ABC的周长为：. 研考点·通技法 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 破类题·提能力 1．（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长. 【详解】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以． 所以． 所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③： 由余弦定理，可得，即。 解得或，此时不唯一，不符合要求. 2．（25-26高三上·北京海淀·期末）在中，为锐角，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)的周长为 【分析】（1）根据题目条件结合正弦定理与角度的函数值即可求出. （2）选取条件后利用余弦定理与正弦定理求出的周长. 【详解】（1）在中，由正弦定理，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为为锐角，所以； （2）选择条件①：， 由（1）得，所以， 由余弦定理， 得， 所以（舍），的周长为. 选择条件③：， 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 的周长为. 选择条件②：， 由（1）得 由正弦定理得：，此时三角形不存在. 题型03 解三角形中求周长或边长范围 析典例·建模型 1．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． 2．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 研考点·通技法 若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 1、若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 破类题·提能力 1．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值. （2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围. 【详解】（1）∵， 由正弦定理，可得，即. 由余弦定理，可得，又∵，∴. （2）由正弦定理，可得， ， ∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得， ∴，∴，∴， 即，△ABC周长的取值范围为. 2．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为，根据余弦定理可将题中第二个条件化简为，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得，进而根据二次方程的判别式求解，即可根据面积公式求解， （2）利用基本不等式，以及三角形的三边关系即可求解. 【详解】（1）由可得，即, 故，则, 由正弦定理可得， 由可得, 由于D为AB边上靠近点A的三等分点，，故, 平方可得, 故， 由余弦定理可得，故， 则， 将代入上式可得， 由于该关于的一元二次方程有解，故，故， 由于,当且仅当取到等号. 故三角形面积的最大值为， （2），当且仅当时取到等号， ， 又，故，故， 因此， 综上可得 题型04 解三角形中求面积 析典例·建模型 1．（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【详解】（1），， ，，. （2）条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，， ，， ， ，，，， ； 条件③， ，其中为的外接圆的半径， ， ，，， ，，，，， ， ， . 研考点·通技法 通常根据面积公式来求值。 1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 破类题·提能力 1．（2025·北京·模拟预测）在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】(1) (2)选①无解；选②或；选③ 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得； （2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式即得；选③，由，利用余弦定理可求得，再由余弦定理可求得，进而求得，由三角形面积公式即得. 【详解】（1）在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. （2）选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 2．（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角； （2）先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）由及正弦定理， 得． 因为在中，，所以． 因为，所以． 因为为锐角，所以． （2）由，且，解得． 由余弦定理，得，解得或（舍）． 所以的面积． 题型05 解三角形中求面积的范围 析典例·建模型 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 研考点·通技法 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 破类题·提能力 1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，结合三角形内角和锐角三角形，证得结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式得，进而利用锐角三角形得到正切的范围，最后得到三角形面积的取值范围. 【详解】（1）证明：由，由正弦定理得， 即， 又，所以， 故， 因为为锐角三角形，所以，，故， 故，即. （2）由（1）可知，中，， 由正弦定理得，所以， 故， 而是锐角三角形，故，，， 解得，故，故面积的取值范围为. 2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，角的对边分别为若 (1)求； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换求解即可； （2）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而结合锐角三角形条件即可求得，再根据正切函数的性质求解即可. 【详解】（1）由， 可知， 由正弦定理得， 故， 则， 因为，所以， 则，则， 故，得或，， 结合，可得. （2）由正弦定理可得， 故， 因为为锐角三角形，故，解得， 则，所以， 故面积的取值范围是. 题型06 解三角形中的四边形问题 析典例·建模型 1．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【详解】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 研考点·通技法 1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为，将别的未知的角用来表示，然后多次使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 破类题·提能力 1．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合的取值范围可得出角的值，结合及正弦定理可求得的值，然后利用正弦定理可求得、的长，即可得出的周长； （2）根据已知条件分析可知四边形为等腰梯形，，即可得出梯形的面积. 【详解】（1）因为， 所以  因为，所以． 又因为，所以， 所以， 因为，故，所以，， 且 ， 由正弦定理，所以， 则， 故， 所以的周长为. （2）连接， 因为，，， 所以，，所以，且， 所以四边形为等腰梯形，所以，， 则， 又因为，即，设， 所以四边形的面积 . 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可解； （2）在中，由正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式可得最大值. 【详解】（1） 连接， 因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 题型07 解三角形中的中线问题 析典例·建模型 1．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)所选条件见解析，. 【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得，再由三角形内角的性质、诱导公式、和角正弦公式并整理得，进而求角的大小；法二：由余弦边角关系及已知得，再由余弦定理求角的大小； （2）根据所选条件，综合运用正余弦定理、三角形面积公式求边上中线的长． 【详解】（1）法一：由正弦定理及，得， 因为， 所以，整理得． 因为，所以，所以，又，所以． 法二：由余弦定理，，代入得：． 整理得：，所以，又，所以． （2）选条件①：取的中点，连接， 由正弦定理及，得， 因为，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件③：取的中点，连接，由正弦定理及，得， 因为的面积为，所以，即， 又，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件②：由，知， 在中，由余弦定理知，， 若，则，该等式恒成立， 即不唯一，不符合题意． 研考点·通技法 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 破类题·提能力 1．（25-26高三上·北京东城·月考）在中，. (1)求角的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)①②不符合题意③ 【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）选条件①由余弦定理可得；选条件②，验证不符合题意；选条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】（1）在中，因为，又，所以． 因为，所以．因为，所以． （2）选条件①：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．因为， 所以．所以． 设点为线段的中点，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 选择条件②：由（1）知，所以，可知， 不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②. 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．设边上的高线长为， 则面积，即，解得，因此， 设点为线段的中点，则，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 2．（25-26高三上·北京东城·期末）在锐角中，． (1)求的值； (2)若为边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)详解见解析 【分析】（1）借助二倍角公式和正弦定理计算即可得； （2）选条件②或③，借助余弦定理与面积公式求解，并验证三角形为锐角三角形的条件；不可选①，不存在这样的三角形. 【详解】（1）由，得． 因为为锐角三角形，所以． 所以． 由正弦定理，得． 由，得． （2）选择条件①：即，由（1）知，， 根据余弦定理， 即，方程无解，所以不能选择条件①； 选择条件②：的面积为． 因为的面积，得，故． 因为为锐角三角形，所以． 在中，由余弦定理． 所以， 此时在中，由余弦定理， 所以，所以为锐角， 又，所以也为锐角，符合为锐角三角形的条件． 选择条件③：的周长为． 因为，的周长为，所以． 由余弦定理． 在中，由余弦定理． 所以， 此时在中，由余弦定理，所以为锐角， 又，所以、也为锐角，符合为锐角三角形的条件． 题型08 解三角形中的高线问题 析典例·建模型 1．（2026·北京平谷·一模）在中，． (1)求的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求出边上的高线的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③： 【答案】(1)； (2)选②，不存在；可选条件①或③，答案均为 【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简，结合特殊角三角函数值得到答案； （2）选择①，利用余弦定理进行求解；选择②，由正弦函数单调性得到角的大小，从而三角形不存在；选择③，由同角三角函数关系，诱导公式和正弦和角公式进行求解 【详解】（1）在中，，由正弦定理可得． 因为，所以． 故， 所以． 因为，，所以， 因为，所以； （2）条件②：， 又，故，且为锐角， 因为，故， 此时，不合题意，此时不存在；故不能选②； 选条件①：， 由余弦定理，得， 即，解得：，负值舍去， 则边上的高线． 选择③：， 因为，且为锐角，则， ， 则边上的高线． 研考点·通技法 1、如图为边上的高线，则有 2、利用面积公式有： 破类题·提能力 1．（2025·北京西城·一模）在中，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)条件选择见解析，答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值； （2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求； 选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高； 选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可； 【详解】（1）由正弦定理，且， 得，即． 由，得．所以． 由，得，所以． （2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减， 故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立. 选择条件②：由，且，得． 由余弦定理，得， 解得或（舍）． 设边上的高为，则三角形面积， 所以． 选择条件③：由，且，得． 由，且，得． 所以． 由正弦定理，得，所以边上的高． 2．（2025·北京丰台·二模）在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角； （2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出边上的高. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理及，得， 因为， 所以， 所以． 所以． （2）因为， 由余弦定理，得， 所以．设边上的高为， 又的面积， 所以， 所以AB边上的高为． 题型09 解三角形中的角分线问题 析典例·建模型 1．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解； （2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度. 【详解】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 研考点·通技法 1、面积法：如图三角形中， 化简有 2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 3、斯库顿定理：若为角分线，有 破类题·提能力 1．（2025·四川成都·模拟预测）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. （2）由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，，． (1)设，求的解析式； (2)求面积的取值范围； (3)求顶点的轨迹； (4)求边上的中线长的取值范围； (5)求角的平分线长的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． (3)顶点的轨迹是以为公共弦、的两圆的优弧组成的“8”字型图案（不含两点） (4)． (5) 【分析】（1）由已知根据射影定理求得，得，再由正弦定理求得，进而利用三角形面积公式结合三角恒等变形即可求得的解析式； （2）利用三角函数的性质求（1）中函数的值域即可； （3）由所对的角为定角，结合正弦定理求得外接圆的半径为，可知顶点的轨迹； （4）由余弦定理结合基本不等式求解即可得中线长的取值范围； （5）解法1：结合圆的性质，运用运动观点和极端原理可求得边上的中线长的取值范围； 解法2：设，，，，在中，由正弦定理得 ，再令，通过换元转化得到，，即可求得角平分线长的取值范围； 解法3：根据角平分线的性质及余弦定理，结合基本不等式即可求得角平分线长的取值范围. 【详解】（1）由得， 又由射影定理得，所以， 所以， 因为，∴, 由正弦定理，得，即， 所以， 所以， 即 ，． （2）因为，， 由，，得． （3）由（1）知，，又，∴的外接圆的直径. 所以顶点的轨迹是以为公共弦、的两圆的优弧组成的“8”字型图案（不含两点）， 如图中实线所示．    （4）一方面，设是的中点，设中线， 在中，由余弦定理得 ①；② 由①②得，，即.    在中，由余弦定理得， 又，当且仅当时取等号. ∴，则， ∴，所以. 另一方面，由，∴，即． 综上得． （5）解法1：如图，设角的平分线的长为，由圆和角平分线的性质，运用运动观点和极端原理，即得． 解法2：正弦定理法 如图，设，，，，则． 由得， 进而得 令，∵，∴， . 则，， 所以．    解法3：余弦定理法 由角平分线的性质得． 在中，由余弦定理得，， 从而， ，， ，所以． 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以．又，所以． 综上，． （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：的最大值为； 条件③：为偶函数． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期性、单调性求解； （2）分别选择条件后根据条件分析的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求最值即可，若不唯一，则放弃该条件的选择. 【详解】（1）由题意得， 所以的最小正周期， 由， 得． 所以的单调递增区间为． （2）选择条件①： 由题意得． 由（1）可知的单调递增区间为． 由在区间上单调递增，得 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一， 当时，， 所以当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值．                     选择条件②： 由题意得， 函数最大值为，则只需， 由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②； 选择条件③： 由题意得． 由为偶函数可知， 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一． 当时，， 所以当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值． 2．（2026·四川成都·二模）已知分别是锐角的角的对边，． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约束，结合余弦函数在上单调递减的性质，证明； （2）利用正弦定理将转化为角的正弦比值，再结合（1）中的结论，将表达式统一用角表示，根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角的不等式组，确定角的取值范围，进而求出的取值范围. 【详解】（1）对已知等式， 由正弦定理角化边得：， 整理得：， 再由余弦定理：， 对比得， 因为是锐角三角形，，则， 因为余弦函数在单调递减，所以，得证； （2）由，内角和得， 因为是锐角三角形， 所以：， 由正弦定理： ， 令，则， 因为函数在时单调递增， 而，，所以， 故的取值范围为. 3．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解； （2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得． 由，得，故， 所以． （2）由正弦定理得，，即． 由余弦定理得，， 即，解得或（舍）． 所以， 故． 4．（2025·广东揭阳·三模）已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)证明见解析. (2)最小值，无最大值. (3). 【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可. (2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值. (3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围. 【详解】（1）因为， ， 两式相加得，得证. （2）当时，，满足. 令，，故无最大值， 因为 ， ， 则， ， ， 则或， 由，有，则. ①时，，时取等号， ②时， ， 时取等号， 因为，则的最小值是， 综上，有最小值，无最大值. （3）①时，， 则. ②时， 在中，由正弦定理有，则，， 则， 由函数在上单调递减，有， ∴ 综上，的面积的取值范围是. 5．（25-26高三上·北京西城·期末）在中，． (1)证明：； (2)若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解，再应用余弦定理可证明； （2）若选择①：由已知求解可得不存在；若选择②：结合余弦定理计算可求；若选择③：计算边长结合正弦定理计算可求. 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以，，， ，由余弦定理得，得 即； （2）由，得，故， ，解得， 若选择条件①：，与三角形内角和为矛盾，故选择条件①时不存在； 若选择条件②：由（1）可得，， 在中，由余弦定理可得； 若选择条件③：由， 则，结合，解得， 在中，所以， 在中，由正弦定理可得 ； 6．（25-26高三上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，， (1)若为等边三角形，求线段的长度； (2)若，求线段的长度 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用余弦定理可求； （2）利用两角和差的余弦公式求出，再在中利用余弦定理可求. 【详解】（1）依题意，， 故在中由余弦定理得 ， 故 （2）依题意：，则， 则， 因为，故为等腰直角三角形，故 因此 故在中由余弦定理得 ， 即. 7．（25-26高三下·北京·开学考试）在中，为锐角，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积及边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理与角度的函数值求解. （2）选①，首先排除为钝角，再利用正弦定理求得，再利用两角和的正弦公式求得，最后利用三角形面积公式与余弦定理即可求得答案；选②，利用余弦定理即可验证；选③，利用余弦定理即可求得相关长度，再利用同选①的方法即可求得中线长. 【详解】（1）在中，由正弦定理， 所以 因为， 所以． 又，所以， 因为为锐角，所以． （2）条件①：， 因为是的内角，若为钝角， 则， ，不成立， 所以为锐角，即， 由正弦定理得： ，得， 又， 所以，， 设中点为M，由余弦定理， 得， 选条件②：由余弦定理， 代入得，判别式， 三角形不存在，不符合要求。 选条件③：，， 由余弦定理，解得，， ， 同条件①计算得中线长为. 8．（2025高三上·北京·专题练习）已知△的面积为，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式求解； （2）若选①，由题可能为锐角也可能为钝角，故△存在但不唯一确定；若选②，由题得或，故△存在但不唯一确定；若选③，由条件结合余弦定理得，进而求得，利用余弦定理求解. 【详解】（1）由已知得△的面积，所以. （2）若选①，，则可能为锐角也可能为钝角，故△存在但不唯一确定； 若选②，，则由（1），得，或，故△存在但不唯一确定； 若选③，，得， 所以，又，所以，由（1），得， 故此时、、均确定，△存在且唯一确定，符合题意， 如图，为边上中线， 在中，由余弦定理得， 故. 9．（25-26高三上·北京·月考）在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. （2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 10．（2025·陕西榆林·一模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用三角形的面积公式列方程，求得，再根据面积列方程，利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，及， 得，即， 由余弦定理得，，所以． （2）如图所示，因为，所以， 因为为的平分线，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，所以线段的最大值为．    刷真题 1．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 3．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 5．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $