20.2.4整式的除法（教学课件）数学新教材人教版五四制七年级下册

【新教材】人教版五四制·七年级下册 20.2 整式的乘法 20.2.3 整式的除法 第二十章 整式的乘法 学 习 目 标 1 2 3 经历探究同底数幂的除法的运算性质的推导过程,掌握同底数幂的除法的运算性质,会用同底数幂的除法的性质进行计算,发展推理能力和有条理的表达能力；理解并掌握零指数幂的性质,并能将其应用到相关的计算中 经历单项式除以单项式的法则的探究过程,理解并掌握单项式除以单项式的法则,培养学生的运算能力和综合解题能力． 经历多项式除以单项式的法则的探究过程,理解并掌握多项式除以单项式的法则,培养学生的运算能力和抽象概括能力． 知识回顾 整式的乘法我们已经学了哪几类？ 幂的乘法 1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加， 2）幂的乘方：底数不变，指数相乘， 3）积的乘方：把积中每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘 （m，n都是整数） 整式的乘法 单项式乘单项式：把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式 单项式乘多项式：单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 利用乘法的分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式 转化 导入新课 我们知道有理数的除法是乘法的逆运算，整式的除法能不能利用整式乘法进行呢？ 张大爷家一块长方形的田地,它的面积是６a２＋２ab,宽为２a,聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗? 长方形的面积公式: 面积＝长×宽 , 田地的长＝ 面积÷宽 列式: (６a２＋２ab)÷２a （1）28 ÷23=（ ）； （2）x10÷x6=（ ）； （3）2m+n ÷2n=（ ） 新知探究 探究点1 同底数幂的除法 填一填 (1) ( )( )×23=28 (2) x6·( )( )=x10 (3) ( )( )×2n=2m+n 利用同底数幂的乘法法则计算 2 5 25 x m 2 x4 4 2m 同底数幂相乘， 底数不变， 指数相加 同底数幂相相除，底数（ ）， 指数（ ） 同底数幂相相除 (1)28÷23=25　　　　　　 (2) x10÷x6=x4 (3) 2 m+n÷2n =2m 新知探究 探究点1 同底数幂的除法 议一议 观察下列式子，你能发现什么规律？ =28-3 =x10-6 =2m-n 8-3=5 10-6=4 m+n-n=m 同底数幂相相除，底数（ ）， 指数（ ） 不变 相减 a m÷an = ∵am-n an • = am-n+n = am ∴a m÷an = am-n am-n 新知探究 探究点1 同底数幂的除法 归一归 同底数幂的除法：底数不变，指数相减 同底数幂的除法法则 ①同底数幂相除运算中，相同底数可以是不为0的数字或字母，或单项式、多项式． ②同底数幂相除运算中，也可以是两个或两个以上的同底数幂相除，幂的底数必须相同，相除时指数才能相减． am ÷an=am–n (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n). 注意 例1 计算： (1) x8 ÷x2 ; (2) (ab)5 ÷(ab)2. 解：(1) x8 ÷x2 =x8–2 =x6. (2) (ab)5 ÷(ab)2 =(ab)5–2 =(ab)3 =a3b3. 典例分析 探究点1 同底数幂的除法 例2计算： 解：(1) 原式= 解：(2) 原式= = = 算式 新知探究 探究点1 同底数幂的除法 议一议 （1）同底数幂的相除当被除数的指数与除数的指数相同时，结果是多少呢？ 按除法的意义计算 同底数幂的除法计算 （2）同底数幂的相除当被除数的指数与除数的指数相同时，由计算结果发现什么现象？ 规定 注意：当a=0时，分母或除数为0，式子无意义. 新知探究 探究点2 单项式除以单项式 议一议 计算：4a2x3·3ab2 计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2 4a2x3·3ab2 =4×3·a2·a·x3·b2 =12a3x3b2 12a3b2x3 ÷ 3ab2 =4a2x3 12÷3=4 a3÷a=a2 b2÷b2=1 想乘算除法 把系数和同底数的幂分别相除. 商式4a2x3的系数：4=12 ÷3； a的指数：2=3–1， b的指数：0=2–2，而b0=1， x的指数：3=3–0.   新知探究 探究点2 单项式除以单项式 归一归 单项式除以单项式法则： 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 计算：12a3b2x3 ÷ 4a2x3 解：原式=12÷4·（a3÷a2）·（x3÷ x3 ） ·b2 =3·a·1 ·b2 =3ab2 试一试 把系数和同底数的幂分别相除. 商式 ＝ 系数 • 同底数的幂 • 被除式里单独有的幂 底数不变， 指数相减 保留在商里作为因式 被除式的系数 除式的系数 典例分析 探究点2 单项式除以单项式 (1)6a3÷2a2； (2)24a2b3÷3ab； (3)–21a2b3c÷3ab; 解：(1) 6a3÷2a2   =(6÷2)(a3÷a2)   =3a.   (2) 24a2b3÷3ab   =(24÷3)a2–1b3–1   =8ab2.   (3)–21a2b3c÷3ab   =(–21÷3)a2–1b3–1c   = –7ab2c;   例3.计算： 单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.   例4.下列计算错在哪里？怎样改正？ (1)4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( ) (2)10a3 ÷5a2=5a ( ) (3)(–9x5) ÷(–3x) = –3x4 ( ) (4)12a3b ÷4a2=3a ( ) 2a6 2a 3x4 3ab × × × × 系数相除 同底数幂的除法，底数不变，指数相减. 只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏. 求商的系数，应注意符号. 典例分析 探究点2 单项式除以单项式 新知探究 探究点3 多项式除以单项式 试一试 （1）计算：(am + bm)÷m = ___________. ∵ (a + b)m = am + bm ， ∴ (am + bm)÷m = (______). ∵ am÷ (___) + bm÷ (___) = a + b， ∴ (am + bm)÷m = (__________________) a + b m m am÷m + bm÷m a + b 单项式÷单项式 转化 多项式÷单项式 多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式. （2）你有什么发现？ （2）根据计算你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？ 新知探究 探究点3 多项式除以单项式 （1）计算下列各式： 试一试 (4a2b－3ab+ ab2c)÷2ab； (ax＋bx)÷x; 原式= ax ÷x ＋bx÷x =a ＋b 原式= 4a2b ÷2ab－3ab÷2ab+ ab2c ÷2ab = 2a－＋bc 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 多项式除以单项式的法则: 典例分析 探究点3 多项式除以单项式 例4　计算：　 (1) (28x4y2) ÷ (7x3y)； (28÷7)x4–3y2–1 (2) (–5a5b3c) ÷ (15a4b). = 4xy [(–5)÷15]a5–4b3–1c (3) (12a3 – 6a2 + 3a) ÷ (3a). (12a3) ÷ (3a) – (6a2) ÷ (3a) + (3a) ÷ (3a) = 4a2 – 2a + 1 解：(1) 原式= (2) 原式= (3) 原式= 拓展提升 1. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值; （2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值; （3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值． 解：(1) ∵32•92x+1÷27x+1=81 ∴32•34x+2÷33x+3=81， 即 3x+1=34， 解得x=3； (2)∵52y=(5y)2=4， ∴ 5x–2y=5x÷52y =36÷4=9． (3)∵2x–5y–4=0， 移项，得2x–5y=4． ∵4=22，32=25 ∴4x÷32y=22x÷25y =22x–5y =24=16． 2.已知 ：a(xmy4)3÷(3x2yn)2=4x2y2，求a、m、n的值． 解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2， ∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2， ∴ a÷9＝4， 3m－4＝2， 12－2n＝2， 解得：a＝36，m＝2，n＝5. 拓展提升 3. 先化简，再求值： (2x＋y)(x–2y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3. 解：原式＝2x2–4xy+xy－2y2–（ 4x3y ÷2xy–8xy3 ÷2xy ） ＝2x2–3xy－2y2－（2x2－4y2） ＝2x2–3xy－2y2－2x2＋4y2 ＝–3xy＋2y2 当x＝1，y＝–3时， 原式＝－3×1×(–3)＋2 ×(–3)2 ＝27. 拓展提升 巩固练习 1. 计算： （1）x7÷x5； （2）m8÷m8； （3）(–a)10 ÷(–a)7； （4）(xy)5÷(xy)3. 解：(1) x7 ÷ x5 = x7 – 5 (2) m8 ÷ m8 = m0 = x2 = 1 (3) (–a)10 ÷ (–a)7 = (–a)10 – 7 = (–a)3 = –a3 (4) (xy)5 ÷ (xy)3 = (xy)2 = x2y2 巩固练习 2. 计算： （1）(10ab3)÷(–5ab) ； （2）(–8a2b3)÷(6ab2)； （3）(–21x2y4)÷(–3x2y3)； （4）(6×108)÷(3×105). 解：(1) 原式= [10÷(–5)]a1 – 1b3 – 1 = –2b2 [(–8)÷6]a2–1b3–2 (2) 原式= (3) 原式= (4) 原式= [(–21)÷(–3)]x2–2y4–3 = 7y (6÷3)×108–5 = 2×103 巩固练习 3. 计算： （1）(6ab + 5a)÷a；（2）(15x2y – 10xy2)÷(5xy). (6ab)÷a + (5a)÷a = 6b + 5 (15x2y)÷(5xy) – (10xy2)÷(5xy) = 3x – 2y 解：(1) 原式= (2) 原式= 真题感知 1.（2025·甘肃张掖·三模）计算： 解： 2.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习 ） 若       ，        ，     的值为_______． 解: ∵，, ∴ 3.（ 24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习 ） 已知，A，B均为整式，A=(xy+1)(xy-1)-2x2y2-xy+1，小马在计算时，误把“÷”抄成了“-”这样，他计算的正确结果为－x2y2． (1)求A÷B的正确结果； (2)当xy=2时，求A÷B的值． 真题感知 解: A=(xy+1)(xy-1)-2x2y2-xy+1 =x2y2-1-2x2y2+1-xy =x2y2-2x2y2+1-1-xy =-x2y2-xy, ∴A÷B =（-x2y2-xy）÷(-xy) = x2y2 ÷xy+xy÷xy =xy+1; (2) 当xy=2时， A÷B=xy+1=2+1 ∵A-B= - x2y2 ∴-x2y2-xy-B= - x2y2, ∴B= -x2y2-xy+x2y2=-xy, 课堂小结 整式的除法 同底数幂的除法 单项式除以单项式 底数不变，指数相减 1.系数相除； 2.同底数的幂相除； 3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式 多项式除以单项式 转化为单项式除以单项式的问题 0指数幂的性质 任何不等于0的数的0次幂都等于1 课后练习 1. 计算： （1）(a3)2÷(a2)3； （2）(ab2)3÷(–ab)2； （3）(25a3b2) ÷(5ab)2； 解：(1) 原式 = a6÷a6 = a0 = 1 (2) 原式 = a3b6÷[(–1)2·a2·b2] = a3 – 2 b6 – 2 = ab4 (3) 原式 = (25a3b2)÷(25a2b2) = (25÷25)a3 – 2 b2 – 2 = a 课后练习 2. 计算： （1）[5a4·a2 – (3a3)2]÷(2a2)2； 解：(1) 原式 = (5a6 – 9a6)÷(4a4) = (–4a6)÷(4a4) （2）[(ab + 1)(ab – 1) – 2a2b2 + 1]÷(–ab)2 . (2) 原式 = (a2b2 – ab + ab – 1 – 2a2b2 + 1)÷(a2b2) = (–a2b2)÷(a2b2) = –1 = –a2 课后练习 3. 已知 3x – 4y = 3 (x，y为正整数)，求 27x÷92y . 解： 27x÷92y = (33)x÷(32)2y = (33x)÷(34y) = 33x – 4y = 33 = 27 感谢聆听 $