20.2.3多项式与多项式相乘（教学课件）数学新教材人教版五四制七年级下册

【新教材】人教版五四制·七年级下册 20.2 整式的乘法 20.2.3 多项式乘以多项式 第二十章 整式的乘法 学 习 目 标 1 2 3 理解多项式与多项式相乘的运算法则,能够按多项式乘法的运算步骤进行简单的乘法运算,强化运算能力． 经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会其运算的算理,进一步渗透转化思想 运用多项式与多项式相乘的法则解决实际问题,培养应用意识 知识回顾 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加 请大家一起回忆一下上节课单项式与多项式相乘 计算方法 数学思想 单项式与多项式相乘 转 化 单项式乘多项式 ① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项 ② 去括号时注意符号的确定. 注意事项 分配律 知识回顾 1.计算4x(3x2＋1)的结果是( ) A.7x3＋4x B.12x3＋1 C.12x3＋4x D.12x2＋4x 2.下列计算正确的是( ) A.(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x B.(6xy2－4x2y)·3xy＝6xy2－12x3y2 C.(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1 D.(－3x2y)(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y C D 练一练 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？ b p a q 导入新课 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. b p a q 它的面积可表示为： (ab)(pq) 宽为(pq) m 把它看成一个大长方形， a+b 长为 ( ) m b p a q 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. (ab)•p (ab) •q a+b 长为 ( ) m 把它看成上下两个大长方形， 它的面积可表示为： (ab) •p(ab) •q b p a q 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 把它看成左右两个大长方形， 宽为(pq) m a •(p  q) b •(p  q) a• (pq)b• (pq) 它的面积可表示为： b p a q 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 把它看成四个小长方形 新知探究 ap aq bp bq 它的面积可表示为： apaqbpbq 探究点1 多项式与多项式相乘 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘 b p a q 由于 求的同一个量,因此表示的关系相等 （1）几种方法表示扩大后的绿地面积代数式由什么关系？ (ab)(pq) a• (pq)b• (pq) (ab) •p(ab) •q apaqbpbq 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘 b p a q （2）能用乘法运算律解释计算过程吗？ apaqbpbq (ab) (pq) a (p  q) b (p  q) 把(pq)看成一个整体. 单项式乘多项式 (ab)(pq)apaqbpbq 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘 b p a q （2）能用乘法运算律解释计算过程吗？ apaqbpbq (ab) (pq)  p (a b) q (a  b) 把(ab)看成一个整体. 单项式乘多项式 (ab)(pq)apaqbpbq 议一议 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘 b p a q （2）能用乘法运算律解释计算过程吗？ apaqbpbq (a  b) (p  q) 总体上看,(a＋b)(p＋q)的结果可以看作由a＋b 的每一项乘p＋q 的每一项,再把所得的积相加而得到的 (ab)(pq)apaqbpbq 典例分析 探究点1 多项式与多项式相乘 例1 计算: (1)(3x+1)(x+2) (2)(3x－2y)(y－2x) (3)(－4x－5y)(－x＋2y) 用乘法分配律 （1）原式＝ 解： 3x•x+1•x+2•x+1×2 =3x²+x+2x+2 =3x²+3x+2 （2）原式＝ 3x•y+3x•（-2x）+（-2y）•y + （-2y） •（-2x） =3xy－6x²－2y²＋ 4xy =－6x²－2y²＋ 7xy （3）原式＝ (-4x)•(-x) +（-4x）•2y+(-5y)•(-x) + （-5y） •2y =4x² -8xy+5yx-10y² =4x² -3xy-10y² 单项式乘单项式计算过程你有什么体会？ 计算时要注意符号问题. 结果中有同类项要合并同类项. 归一归 新知探究 探究点2 多项式乘多项式法则 (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式乘以多项式 ①注意符号：“每一项”包括其前面的符号； ②合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积. 典例分析 探究点2 多项式乘多项式法则 例2　计算：　 (1) (a + 3)(a – 2)； (2) (3x + 1)(x + 2)； (3) (x – 8y)(x – y)； (4) (a + b) (a2 – ab + b2)； （1）原式＝ 解： a·a + a·(–2) + 3·a +3×(–2) = a2 – 2a + 3a – 6 = a2 + a – 6 (3x)·x + (3x)·2 + 1·x + 1×2 = 3x2 + 6x + x + 2 = 3x2 + 7x + 2 （2）原式＝ 典例分析 探究点2 多项式乘多项式法则 例2　计算：　 (1) (a + 3)(a – 2)； (2) (3x + 1)(x + 2)； (3) (x – 8y)(x – y)； (4) (a + b) (a2 – ab + b2)； （3）原式＝ 解： （4）原式＝ x2 – xy – 8xy + 8y2 = x2 – 9xy + 8y2 a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3 多项式乘以多项式时，应注意以下几点： (1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； (2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积； (3)相乘后，若有同类项应该合并． 新知探究 探究点3 多项式乘法(x+a)(x+b)的规律 (x+2)(x+3)= (x+4)(x+2)= (x+6)(x+5)= 议一议 观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： (x+3)(x+5)=x2+(____+____) x +____×_____ 3 5 3 5 x2+5x+6 x2+6x+8 x2+11x+30 (1)你发现有什么规律？按你发现的规律填空： 1、同一字母的两个一次二项式相乘，且字母系数为1 2、结果是二次三项式 4、结果一次项系数是原两个常数项的和 5、结果常数项是原两个常数项的积 3、二次项是这个相同字母的平方(x2) (2)你能很快说出与(x+a)(x+b)相等的多项式吗？ 先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证。 (x+a)(x+b)= x2+（a+b)x +ab 新知探究 探究点3 多项式乘法(x+a)(x+b)的规律 议一议 解：(x+a)(x+b) =x²+ax+bx+ab ＝x2+(a+b)x+ab x x a b x2 ab （a+b)x 二次项 一次项 常数项 探究点3 多项式乘法(x+a)(x+b)的规律 (3)根据(2)中结论口答： (1) (x+1) (x+2)= (2) (x+1) (x-2)= (3) (x-1) (x+2)= (4) (x-1) (x-2)= x2+3x+2 x2-x-2 x2+x-2 x2-3x+2 (4)若(x+a)(x+b)中不含x的一次项,则a与b的关系是 ( ) (A)a=b=0 (B)a-b=0 (C)a=b≠0 (D)a+b=0 D 新知探究 做一做 探究点3 多项式乘法(x+a)(x+b)的规律 拓展提升 做一做 （1）(x + 2)(x + 3)； = x2 + 5x + 6 = x2 – 3x – 4 （2）(x – 4)(x + 1)； （3）(x + 4)(x – 2)； = x2 + 2x – 8 = x2 – 8x + 15 （4）(x – 5)(x – 3)； 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： (x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ). x2 x x p q qx px pq x p+q pq （5）计算 例3、先化简，再求值： (2x5y)(2x5y)(x5y)(4x5y)，其中x3，y1. 解： (2x5y)(2x5y)(x5y)(4x5y) 4x210xy10xy25y2(4x25xy20xy25y2) 4x210xy10xy25y24x25xy20xy25y2) 15xy 当x3，y1时， 原式153(1)45 典例分析 拓展提升 (x-1)(x + 1)=x²-1 (x-1)(x²+x+1)=x³-1 (x-l)(x³+x²+x+1)=x4-1 ...... 1.观察下列各式: (1)根据以上规律,则 (x-1)(x6 +x5+x4+x3+x²+x+1)= . (2)由此归纳出一般性规律: (x一l)(xn+xn-1+…+x+1)= . (3)根据(2)求出1+2+2²+…+234+235的结果. x7-1 xn-1 1+2+2²+…+234+235 =（2-1）×（1+2+2²+…+234+235） =２35－1 ２．若(a+m)(a-2)=a2+na-6对a的任何值都成立，求m，n值。 ∴ m=3，n=1 (x+a)(x+b)= x2+（a+b)x +ab 解：由 得： m-2=n -2m=6 拓展提升 巩固练习 １. 计算： （1）(2x + 1)(x + 3)； （2）(m + 2n)(3n – m)； （3）(a – 1)2； （4）(a + 3b)(a – 3b)； （１）原式＝ 解： 2x·x + 2x·3 + 1·x + 1×3 = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 m·3n + m·(–m) +2n·3n + 2n·(–m) = 3mn – m2 + 6n2 – 2mn = – m2 + mn + 6n2 （２）原式＝ 巩固练习 １. 计算： （1）(2x + 1)(x + 3)； （2）(m + 2n)(3n – m)； （3）(a – 1)2； （4）(a + 3b)(a – 3b)； （３）原式＝ 解： （４）原式＝ (a – 1)(a – 1) = a·a + a·(–1) + (–1)·a + (–1)×(–1) = a2 – a – a + 1 = a2 – 2a + 1 a·a + a·(–3b) + 3b·a + 3b·(–3b) = a2 –3ab + 3ab – 9b2 = a2 – 9b2 巩固练习 ３. 求值： (x – y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – y2) ，其中 x = ，y = 5. 解： 原式 = x·x2 + x·xy + x·y2 + (–y)·x2 + (–y)·xy + (–y)·y2 　　　　　– [x·x2 + x·(–y2) + y·x2 + y·(–y2)] = x3 + x2y + xy2 –x2y – xy2 – y3 –x3 + xy2 –x2y + y3 = xy2 –x2y 当 x = ，y = 5 时， 原式 = 真题感知 １．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习） “筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为 （３ａ－ｂ）米，宽为 （２ａ＋ｂ）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化 1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (2)当ａ＝４，ｂ＝１时，求绿化部分的面积． a米 ３ａ－ｂ ２ａ＋ｂ (1)解:绿化部分的面积 (3a- b)(2a+b)- a2 =6a2+3ab-2ab-b2－a2 ＝(5a2+ab- b²)平方米 答: 绿化部分的面积为(5a2+ab- b²)平方米. (2) 解: 当a=4，b=1时， 原式=5x42+4x1-1=83平方米， 答:绿化部分的面积为83平方米. 课堂小结 多项式乘多项式 运算法则 注意 不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简 字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 文字表示：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 计算原理：乘法分配律转化为单项式×多项式的运算 (x+a)(x+b)= x2+（a+b)x +ab 课后练习 1. 计算： （1）(x – 6)(x – 3)； (2) 原式 = 解：(1) 原式 = x·x + x·(–3) + (–6)·x + (–6)×(–3) = x2 – 3x – 6x + 18 = x2 – 9x + 18 （2） （3）(3x + 2)(x + 2) （4）(4y – 1)(5 – y) . （5）(x – 2)(x2 + 4)； （6）(x – 1)(x2 + x + 1) . (3) 原式 = 3x·x + 3x·2 + 2·x + 2×2 = 3x2 + 6x + 2x + 4 = 3x2 + 8x + 4 课后练习 1. 计算： （1）(x – 6)(x – 3)； （2） （3）(3x + 2)(x + 2) （4）(4y – 1)(5 – y) . （5）(x – 2)(x2 + 4)； （6）(x – 1)(x2 + x + 1) . (4) 原式 = 4y·5 + 4y·(–y) + (–1)×5 + (–1)·(–y) = 20y – 4y2 – 5 + y = – 4y2 + 21y – 5 (5) 原式 = x·x2 + x·4 + (–2)·x2 + (–2)×4 = x3 – 2x2 + 4x – 8 (6) 原式 = x·x2 + x·x + x·1 + (–1)·x2 + (– 1)·x + (– 1)×1 = x3 + x2 + x – x2 – x – 1 = x3 – 1 课后练习 2. 确定下列各式中 m 的值 (其中 p，q 为正整数)： （1）(x + 4)(x + 9) = x2 + mx + 36； （2）(x – 2)(x – 18) = x2 + mx + 36； （3）(x + 3)(x + p) = x2 + mx + 36； （4）(x – 6)(x – p) = x2 + mx + 36； （5）(x + p)(x + q) = x2 + mx + 36. 解： （１）由题意得：m＝４＋９＝１３ （２）由题意得：m＝－２－１８＝－２０ （３）由题意得：m＝３＋ｐ ∵３ｐ＝３６ ∴ｐ＝１２ ∴m＝１５ （４）由题意得：m＝－６－ｐ ∵６ｐ＝３６ ∴ｐ＝６ ∴m＝－１２ 课后练习 2. 确定下列各式中 m 的值 (其中 p，q 为正整数)： （1）(x + 4)(x + 9) = x2 + mx + 36； （2）(x – 2)(x – 18) = x2 + mx + 36； （3）(x + 3)(x + p) = x2 + mx + 36； （4）(x – 6)(x – p) = x2 + mx + 36； （5）(x + p)(x + q) = x2 + mx + 36. 解： （５）由题意得：m＝ｐ＋ｑ ∵ｐ•ｑ＝３６ ∵ p，q 为正整数， 所以 p = 1， q = 36 或 p = 2， q = 18 或 p = 3， q = 12 或 p = 4， q = 9 或 p = 6， q = 6 或 p = 9， q = 4 或 p = 12， q = 3 或 p = 18， q = 2 或 p = 36， q = 1. 所以有五种情况： m1 = 1 + 36 = 37， m2 = 2 + 18 = 20， m3 = 3 + 12 = 15， m4 = 4 + 9 = 13， m5 = 6 + 6 = 12， 综上所述，m 的值为 12 或 13 或 15 或 20 或 37. 感谢聆听 $