精品解析：北京市北京师范大学附属中学2026届高三下学期开学考试数学试题

北京师大附中2025-2026学年高三（下）开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（　 　） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 所以复数z的虚部为. 故选：B. 3. 在的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理得展开通项并整理，令，求出回代到展开通项即可求解. 【详解】的展开式通项为， 由题意令，解得，从而常数项是. 故选：A. 4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，函数为偶函数，且在上单调递减，A不符合题意； 对于B选项，函数的定义域为，， 所以函数为偶函数，当时，， 故该函数在上单调递增，B不符合题意； 对于C选项，函数的定义域为，， 函数为奇函数，且在上单调递增，C符合题意； 对于D选项，函数的定义域为，， 函数为奇函数，在区间上不是单调函数，D不符合题意. 5. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的. 【详解】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误. 故选：C. 6. 已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 又因为， 所以， ，得. A：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； B：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； C：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； D：令，显然该方程有整数解，本选项符合题意； 7. 已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出直线过定点，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出的值. 【详解】因为，所以直线过定点，圆可化为，则圆心，，由圆的对称性可知，当时，到直线距离的最大，则，. 故选：A 8. 设三个向量互不共线,则 “”是 “以为边长的三角形存在”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义即可判断． 【详解】因为三个向量互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设， 而互不共线，所以三点不共线． 当时，，因为三点不共线， ， 所以以为边长的三角形存在； 若以为边长的三角形存在，但是，，． 故“”是 “以为边长的三角形存在”的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题． 9. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 10. 已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果. 【详解】因为有且只有两个元素， 所以曲线与有且只有两个交点. 对于曲线变形可得， 表示的是双曲线在轴上及上方的所有点， 对于曲线， （1）当时，如图所示，表示的是一条直线， 与交于，两点，符合题意； （2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意； （3）当时，表示的是两条射线， ， ①当时， 表示的是 和两条射线， 与仅有一个交点， 如下图所示，所以不符合题意； ②当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的左右两支各有一个交点， 如下图所示，所以符合题意； ③当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示，所以符合题意； 综上，实数的取值范围为. 故选：D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准形式，写出的值，从而求出渐近线的方程得到斜率，再解关于的方程即可求解. 【详解】因为曲线为双曲线，所以， 将双曲线方程化为标准形式为，所以，， 所以双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线的斜率为2，所以，解得. 故答案为：. 12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；_________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】根据平面向量夹角的余弦公式和向量的数量积公式计算即可. 【详解】设水平向右的单位向量为，竖直向上的单位向量为，则. ①根据题意得，. ②. 13. 已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 【答案】 ①. 2； ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质及已知条件求解. 【详解】由题意，， 由 ，且在上恰好有一个最小值和一个最大值，得，则； 而的最大值为 ，最小值为 ， 由 ，得和中一个是最大值，另一个是最小值， 所以，， 当时，（答案不唯一）. 14. 如图，三棱锥的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过等体积法建立棱锥体积关系，将所求几何体拆分为两个棱锥，分别利用底面积比例和高的比例计算体积，最后求和得到结果. 【详解】设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则， 因为，点到平面的距离是点到平面距离的, 所以， 因为，点到的距离是点到距离的，所以， 又点到平面的距离是点到平面距离的， 所以 所以. 【点睛】一拆二算三求和，等积比例巧得果. 15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有 ④，使得当时，总有． 其中，所有正确结论的序号是_________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由得即可判断①正确；由，即可判断②正确；由，当时，，即可判断③正确；由，当时，，即可判断④错误. 【详解】因为，两式作差得，故为常数列， 即，故，①正确； 因为，又，为正实数数列，故，故，②正确； 由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，， 又，故，使得当时，总有，③正确； ，又，故，因为为常数， 为单增数列，故当时，，，故④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求c； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由平方关系得出的值，再由正弦定理即可求解的值； （2）若选①，可得和都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得及，进一步由求得高，并说明此时存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明存在，且可由等面积法求解边上的高. 【小问1详解】 因为，，所以， 由正弦定理有，解得. 【小问2详解】 如图所示，若存在，则边上的高为，    若选①，，因为，所以，因为，此时有两个钝角，故不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由正弦定理有，解得， 此时，， 而，，，， 所以，可以唯一确定， 此时、也可以唯一确定，故存在，且边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得， 进一步由余弦定理可得、也可以唯一确定，即、唯一确定， 此时存在，且边上的高满足：，即. 17. 如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）取中点G，连接，可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答； （2）（i）建立空间直角坐标系，即可求解平面的法向量，利用二面角夹角公式求解二面角余弦；（ii）由点到平面距离公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为，   则 ， 因为为锐角，所以； （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离 18. 某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号 正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． （1）正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； （2）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的分布列和数学期望； （3）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 . （3）他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 【解析】 【分析】（1）先根据给出的数据，求出居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率，可估计相关的概率. （2）先明确正式讲座前，垃圾分类水平为“一般”和 “良好”的人在试讲讲座后达到“优秀”的概率，再求对应的概率，可得的分布列，并求其期望. （3）利用条件概率求解判断. 【小问1详解】 正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：， 所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：. 【小问2详解】 由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：； 正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：. 由题意，的值可以为：0,1,2,3 且：， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【小问3详解】 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则. 因为，，. 所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据椭圆弦长公式，结合线段中点坐标公式、一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【小问1详解】 根据椭圆定义知周长为， 依题意有， 从而， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设：，，， 由， 因为 所以，， 所以 ， 设线段中点坐标为，则，， 即设线段中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，当时，与轴重合，不合题意； 当时，得，即点， 所以， 所以，即存在满足题设. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 20. 已知函数 （1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； （2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 【答案】（1） （2） （3）， 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴， 即成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得 【小问1详解】 因为，所以. 所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为， 所以，解得.. 【小问2详解】 f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数， 所以在（0，+∞）上恒成立. 即恒成立.，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 【小问3详解】 定义域为 当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意. 当时， 在（0，）上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在（1，）上存在一个零点（）. 当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 略 【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧. 21. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【答案】（1）， （2）最大值为31，最小值为11， 最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算； （2）根据新定义可得当集合中的数字由大于1的因子组成时，中元素个数最大，当集合中的数字构成等比数列时，中元素个数最小，然后求最值即可； （3）对集合和分类，得到，，然后分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题目解题策略： ①仔细阅读，理解新定义内涵； ②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2025-2026学年高三（下）开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（　 　） A. B. 1 C. D. i 3. 在的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设三个向量互不共线,则 “”是 “以为边长的三角形存在”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 10. 已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；_________． 13. 已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 14. 如图，三棱锥的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为________. 15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有 ④，使得当时，总有． 其中，所有正确结论的序号是_________ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求c； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 18. 某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号 正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． （1）正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； （2）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的分布列和数学期望； （3）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数 （1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； （2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 21. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $