北京市北京师范大学附属中学2026届高三下学期开学考试数学试题

北京师大附中2025-2026学年高三（下）开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（　 　） A. B. 1 C. D. i 3. 在的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设三个向量互不共线,则 “”是 “以为边长的三角形存在”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 10. 已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；_________． 13. 已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 14. 如图，三棱锥的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为________. 15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有 ④，使得当时，总有． 其中，所有正确结论的序号是_________ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求c； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 18. 某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号 正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． （1）正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； （2）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的分布列和数学期望； （3）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数 （1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； （2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 21. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 北京师大附中2025-2026学年高三（下）开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 0 【13题答案】 【答案】 ①. 2； ②. （答案不唯一） 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【17题答案】 【答案】（1） 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）（i）（ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 . （3）他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 【19题答案】 【答案】（1） （2）存在； 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）， 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴， 即成立， 所以成立. 【21题答案】 【答案】（1）， （2）最大值为31，最小值为11， 最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $