精品解析：北京一零一中矿大分校2026届高三下学期开学考试数学试卷

北京一零一中2025-2026学年度第二学期高三数学统考三 一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知，且，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点关于轴的对称点为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 9. 在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段，且其长度为 B. 过三点的截面面积为18 C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D. 在棱上不存在点，使得平面 10. 数列的前项和为，若数列与函数满足： （1）的定义域为； （2）数列与函数均单调递减； （3）使成立， 则称数列与函数具有“D关系”．给出下列四个结论： ①与具有“D关系”； ②与具有“D关系”； ③与数列具有“D关系”的函数有有限个； ④与数列具有“D关系”的函数有无限个． 其中所有正确结论的序号为（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题共5小题． 11. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答） 12. 已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是______． 13. 已知函数若，则的零点为___________．记的零点个数为，则函数的值域为___________． 14. 已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 15. 美丽的丝带可看作图形，该图形可看作曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足横坐标小于3，到点的距离与到定直线的距离之积为9．有以下四个结论： ①； ②若点是曲线在第二象限上的点，则面积的最大值为2； ③曲线上存在点，满足； ④当点在上时，不等式恒成立． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，直线与函数两个相邻交点之间的距离为； （1）求在上的单调递增区间； （2）设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，在区间上若恒成立，求的取值范围． 条件①：的最大值为； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：为偶函数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，侧面底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）若平面，求证：点为线段中点； （2）如果直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 某科技公司推出“AI艺术创作”线下体验项目，运营团队统计了过去10天的运营数据，整理成如下图表： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 3 5 2 日固定收入（元） 4000 10000 22000 设备“故障”概率 0.1 0.2 0.4 ①设备“故障”分为“轻微故障”和“严重故障”，其中轻微故障的概率为，严重故障的概率为； ②轻微故障：当日收入不变，需支付维修费200元； ③严重故障：当日收入减半，需支付维修费1000元； 每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，由频率估计概率． （1）求该项目某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障的概率； （2）设该项目某一日的运营总损失为（单位：元），维修费+收入损失（若无故障，损失为0），求的分布列及； （3）项目团队计划引入“故障预警系统”，引入后可将各客流量等级下的故障概率均降低至原来的，但每日需额外支付系统使用费100元，判断是否值得引入该系统，并说明理由． 19. 已知椭圆的离心率是，点和点分别是椭圆的下顶点和右顶点，点是坐标原点，的面积为3． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点和（和不与椭圆顶点重合）．直线分别交轴于点，且满足．证明：直线过定点． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）函数，当时，求证：对任意的，且，有． 21. 设为正整数，集合，对于集合中的任意两个元素和，定义．若集合中的元素组成的序列满足，则称为序列． （1）若，求，并写出一个使得； （2）当时，是否存在一个序列，满足，，？若存在，请写出；若不存在，请证明； （3）给定，若，，为序列，且序列中元素两两不同，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2025-2026学年度第二学期高三数学统考三 一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，或， 因此或. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 3. 已知，且，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 4. 若点关于轴的对称点为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，利用和差角公式变形可得，从而求出的取值. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，即， 即， 所以，所以，，所以，， 故符合题意的只有C. 故选：C 5. 2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得. 【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点 设抛物线的方程为，则，解得， 抛物线的焦点，准线方程为，， 所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为. 故选：B 6. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，再利用面积公式求解. 【详解】， 解得，则， 所以. 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，由，得，不能判断的正负，所以不能判断,的大小，故不能确定是否递增数列；但由为递增数列，能得到进而即得. 【详解】由是等差数列，，得，所以， ，不能判断的正负，所以不能判断,的大小， 所以不能确定是否递增数列； 若为递增数列，则，即时， 所以，，所以， 所以是为递增数列的必要不充分条件. 故选：B 8. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再代入，求解即可. 【详解】根据题意可得， 则，， 则经过n年时，有， 即，则， 所以， 则. 故选：B. 9. 在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段，且其长度为 B. 过三点的截面面积为18 C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D. 在棱上不存在点，使得平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求，间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 根据中位线定理得， 又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 10. 数列的前项和为，若数列与函数满足： （1）的定义域为； （2）数列与函数均单调递减； （3）使成立， 则称数列与函数具有“D关系”．给出下列四个结论： ①与具有“D关系”； ②与具有“D关系”； ③与数列具有“D关系”的函数有有限个； ④与数列具有“D关系”的函数有无限个． 其中所有正确结论的序号为（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列与函数具有“D关系”的定义计算判断①②，设，结合题意计算判断③④. 【详解】对于①，是公差为的等差数列，单调递减， 函数是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 其前项和， 令，则，解得或（舍去） 所以使成立， 故与具有“D关系”， ①正确； 对于②，是以公比为且首项的等比数列，单调递减， 是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 其前项和， 令，则，解得， 所以使成立， 故与具有“D关系”， ②正确； 对于③，数列单调递减，设， 此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 数列的前项和为， 令，则，即， 所以取时，即可保证恒有解， 故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故③错误； 对于④，数列单调递减，设， 此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 数列的前项和为 令，则，即， 所以取时，即可保证恒有解， 故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故④正确； 综上所有正确结论的序号为①②④. 二、填空题共5小题． 11. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答） 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，进而可求出常数项. 【详解】因为在的展开式中，所有的二项式系数之和为64， 所以，得， 所以， 则其展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式的常数项为. 故答案为：6，. 12. 已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是______． 【答案】或（两者填其一即可） 【解析】 【分析】由双曲线方程可求出渐近线方程，再由两直线垂直可得斜率. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为， 由直线与双曲线的一条渐近线垂直，所以可得， 解得. 故答案为：或（两者填其一即可） 13. 已知函数若，则的零点为___________．记的零点个数为，则函数的值域为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把代入函数，令可得； 分类讨论的情况即可得; 【详解】当时，, 令，解，得,不满足，故舍去； 解，得或，符合题意， 故答案为0，2； 最多一个零点，最多两个零点； 当时，若，由，得，函数有两个零点， 时，若，则存在一个零点，若，则不存在零点； 所以时，的零点个数为或者个，所以或； 当时，，此时只有一个零点，即，； 当时，此时在时，无零点；，也无零点，； 综上，函数的值域为. 14. 已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由数量积公式求出，建立平面直角坐标系，由，得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，则，得进行求解． 【详解】由，且得，， 所以， 建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点， 由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆， 则， 得 ， 等号成立时，得，即， 故的最大值为： 15. 美丽的丝带可看作图形，该图形可看作曲线的一部分．已知过坐标原点，且上的点满足横坐标小于3，到点的距离与到定直线的距离之积为9．有以下四个结论： ①； ②若点是曲线在第二象限上的点，则面积的最大值为2； ③曲线上存在点，满足； ④当点在上时，不等式恒成立． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由题意，将原点坐标代入可得，可判断①；取，求得，可判断②；设点在上，通过放缩可得不等式，求出的取值范围，进而根据求解的值，可判断③；利用不等式的基本性质可判断④. 【详解】由题可知，坐标原点在曲线上，因此原点到点的距离与到定直线的距离之积为9， 即，又因为，故解得，故①正确； 对于②，在中，当时，化简得， 当点在第二象限时，取，则， 此时，因此，三角形的面积的最大值大于2，故②错； 对于③，由题意可知，曲线的方程为， 若点在上，则， 又因为，则， 故，若，则，解得，符合题意，故③对， 对于④，由， 可得：， 因为，所以，故， 整理可得，，故④对. 综上，所有正确结论的序号是：①③④ 三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，直线与函数两个相邻交点之间的距离为； （1）求在上的单调递增区间； （2）设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，在区间上若恒成立，求的取值范围． 条件①：的最大值为； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：为偶函数． 【答案】（1）和 （2）条件①：不符合题意；条件②：；条件③： 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数并求，再求正弦函数的单调递增区间即可； （2）选条件①，证明其不符合题意；选条件②，根据单调性求出，得到解析式再求其最小值即可；选条件③，根据是偶函数求出，得到解析式再求其最小值即可. 【小问1详解】  直线是的最小值线，相邻交点距离等于的周期，故， 由周期公式，得，因此： ， 正弦函数的单调递增区间满足：  ， 解得： 结合，取得， 取得， 所以 在上的单调递增区间为和； 【小问2详解】 由题意得：，， 选条件①：因为，其最大值为对任意均满足，函数不唯一，不符合题意， 选条件②：在上单调递增， 的递增区间，得递增区间 ，  由在区间上单调递增得时： ， 因此， 当时，，，故， 若恒成立，则，即的取值范围为， 选条件③：因为为偶函数， 所以，解得， 又，所以，解得， 因此,当时，，，故， 若恒成立，则，即的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，侧面底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）若平面，求证：点为线段中点； （2）如果直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息利用线面平行的性质得到，即可证明； （2）证明平面，，建立空间直角坐标系，设，求出和平面的法向量，利用向量法列方程，解出，即可得答案. 【小问1详解】 连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 又因为为线段的中点， 所以点为线段中点. 【小问2详解】 在中，因为，， 所以，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 连接，在中，，，， 所以， 即， 所以，所以， 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得， 所以. 18. 某科技公司推出“AI艺术创作”线下体验项目，运营团队统计了过去10天的运营数据，整理成如下图表： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 3 5 2 日固定收入（元） 4000 10000 22000 设备“故障”概率 0.1 0.2 0.4 ①设备“故障”分为“轻微故障”和“严重故障”，其中轻微故障的概率为，严重故障的概率为； ②轻微故障：当日收入不变，需支付维修费200元； ③严重故障：当日收入减半，需支付维修费1000元； 每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，由频率估计概率． （1）求该项目某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障的概率； （2）设该项目某一日的运营总损失为（单位：元），维修费+收入损失（若无故障，损失为0），求的分布列及； （3）项目团队计划引入“故障预警系统”，引入后可将各客流量等级下的故障概率均降低至原来的，但每日需额外支付系统使用费100元，判断是否值得引入该系统，并说明理由． 【答案】（1）； （2）分布列如下表，； 0 200 3000 6000 12000 （3）值得引入，因为期望总成本从578元降至389元【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式直接计算即可； （2）根据当日设备没有发生故障，发生轻微故障，发生严重故障且为小客流、中客流、大客流等情况依次讨论对应的取值及概率即可求解； （3）同（2），计算引入“故障预警系统”后，某一日的运营总损失（不含系统使用费100元），再结合系统使用费用比较大小即可判断. 【小问1详解】 由频率估计概率，根据表中数据，客流量等级为中客流（B）的概率为：， 记某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障为事件， 则其概率为 【小问2详解】 该项目某一日的运营总损失的可能取值为， 当时，当日设备没有发生故障，； 当时，当日设备发生轻微故障，； 当时，当日为小客流且发生严重故障，； 当时，当日为中客流且发生严重故障， 当时，当日为大客流且发生严重故障， 所以的分布列为： 0 200 3000 6000 12000 所以 【小问3详解】 由于引入“故障预警系统”后，各客流量等级下的故障概率降至原来的一半， 故当客流量等级为小客流（A）时，设备“故障”概率为0.05； 客流量等级为中客流（B）时，设备“故障”概率为0.1； 客流量等级为大客流（C）时，设备“故障”概率为0.2； 设引入“故障预警系统”后，某一日的运营总损失为（不含系统使用费100元） 则的可能取值仍为，对应的概率分别为： ； ； ；； ， 所以 所以引入系统后，每天的损失大约为， 因此引入系统后期望成本降低，值得引入. 19. 已知椭圆的离心率是，点和点分别是椭圆的下顶点和右顶点，点是坐标原点，的面积为3． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点和（和不与椭圆顶点重合）．直线分别交轴于点，且满足．证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出的方程，解出和即可求出椭圆方程； （2）将直线l方程的方程与椭圆C方程联立，利用韦达定理，结合向量线性运算的坐标表示求出m与k的关系即可. 【小问1详解】 由题意得，得. 又椭圆的离心率为，所以，即. 解得，，故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设直线l:，与椭圆C方程联立， 可得， 又直线与椭圆C交于不同的两点，则 设，，则， 因为点，所以直线AP方程为：， 令得点S的横坐标为，同理点T的横坐标为. 又，所以，即， 故，即，所以. 整理得. 化简得. 代入并乘以得：. . 化简得，又，所以， 即.所以， 故直线l过定点. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式即可求出切线方程; （2）利用和在上的单调性分析的单调性，结合端点导数值的正负确定的零点，进而划分原函数的增减区间，最终比较端点函数值得出最小值； （3）通过变量替换将双变量不等式转化为单变量函数问题，再构造新函数，利用导数分析其单调性来证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得， 因为在上单调递减，在上也单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为，； 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 从而函数的最小值在或上取到， 又因为，而， 所以在区间上的最小值为. 【小问3详解】 由，得. 对任意的，且，令，则 只需证明 设， 则 所以在单调递增，于是. 又因为，当时，，由此可得 ， 所以原不等式得证. 21. 设为正整数，集合，对于集合中的任意两个元素和，定义．若集合中的元素组成的序列满足，则称为序列． （1）若，求，并写出一个使得； （2）当时，是否存在一个序列，满足，，？若存在，请写出；若不存在，请证明； （3）给定，若，，为序列，且序列中元素两两不同，求的最大值． 【答案】（1）（答案不唯一，如、均正确）； （2）证明过程见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的定义，列举出合适的即可； （2）利用序列的定义进行证明，推出矛盾，进而得出结论； （3）通过序列的定义，利用归纳法，求出的最大值． 【小问1详解】 根据，， ，则， 满足的只需与有2个位置不同，例如（答案不唯一，如、均正确）. 【小问2详解】 不存在，证明如下： 记任意元素中1的个数为，由G序列定义， 说明仅改变一个位置的或， 因此，即奇偶性相方， 中1的个数，为奇数，应为偶数，但，是奇数，矛盾. 因此不存在满足条件的G序列. 【小问3详解】 集合中共有个不同元素，元素两两不同时， 下面用数学归纳法证明：存在，，为序列，且序列中元素两两不同. 证明：当时，取，，它们为序列， 当时，取，序列， 设当时，存在为序列，且序列中元素两两不同， 设， 令，，， 因为为为序列，故也为序列， 故时，存在为序列，且序列中元素两两不同， 由数学归纳法可得存在，，为序列，且序列中元素两两不同. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $