北京市通州区潞河中学2025-2026学年高三下学期开学定位测试数学试题

潞河中学2025-2026-02开学定位测试 高三数学 命题人刘进 审题人陈丽红 做题人周吴 一、选择题（共10题，每题4分，共40分.） 1.已知全集U=R,集合A={xx22,B={xx2-4x+3<0,则(CvA)nB=(）· A.(1,2] B.(12) C.[2,3) D.(2,3) 2.若复数z满足(2-2)z=5+i,则z在复平面内对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在平面直角坐标系x0y中，已知两圆相交于两点A1,3),B(:,-1),且圆心都在直线x-2y+c=0上，则 t+c的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 4.若(2x-3)=ax+ax3+a2x2+4x+a,则a+a2+a4=（） A.-313 B.-312 C.312 D.313 5.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x,则下列说法中正确的是（) A.f(x)的图象关于直线x= 对称 日.的图象关于点（钙0对称 c.若f(5)-f)=4,则-的最小值为 D.若f)+f)=2(3≠3)，则k+的最小值为君 6.已知等差数列{an},正项等比数列{b,},则“b<b2是“存在正整数N。,当n>N。时，b>an”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.抛物线y2=4x的焦点为F,直线1过点F与抛物线交于A、B两点，若AF=3BF,则AB=（) A.4 B号 e号 D曾 8.矩形ABCD中，AB=4,4AD=3,M、N分别为边BC、CD上的动点，且MN=2.则M+AW的最 小值为() A.4 B.2W13 C.8 D.45 9.经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究 人员在室温下，每隔lmi血测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 茶水温度℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 为了描述茶水温度y℃与放置时间xmi血的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①y=ka+25(keR,0<a<l,x20),②y=c+b(k,beR,x≥0). 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为() (参考数据：g2≈0.301,1g3≈0.477) A.6min B.6.5min C.7min D.7.5min 10.如图，正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为2，E为CD的中点，F为线段'C 上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点F,使得A,B,E,F四点共面；②EF+D'F的最小值为2W5; ③存在点F,使得AF⊥DE; ④有且仅有一个点F,使得平面AEF截正方体ABCD-AB'C'D所得截面的面 积为25. 其中正确结论是（) A.①② B.①③ C.②④ D.①③④ 二、填空题（共5题，每题5分，共25分.） 1函数ye++v4-子的定义城为 1 12.已知a>0,b>0,且a+b=3,则2°+2°的最小值为 1B.已知驭曲线兰-长=1a>06>0的离心率为2 ,则双曲线两条渐近线的夹角的大小为 14.如图1，取边长为6的正方形纸板ABCD,E,F,G分别为三边AB,CD,AD的中点，先将等腰直角三角 形FDG沿虚线段FG裁去，再将剩下的五边形ABCFG沿 线段EF折起，连接AB,CG,就得到了一个《九章算术》 中所载的“刍甍五面体（如图2）.若棱CG的长为5，则 E 该五面体的体积为 图 图2 2 15.设函数f(x)= [Vx-2+a,x22 la2-2l,x<2 (a>0且a≠1).给出下列四个结论： ①当a=2时，存在t,方程f(x)=t有唯一解；②当ae(0,)时，存在t,'方程f()=t有三个解， ③对任意实数a(a>0且a≠1)，f(x)的值城为[0，+∞)： ④存在实数a,使得f(x)在区间(a,+∞)上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共6题，共85分.）》 16.在△ABC中，2 ccosA=2b-a. (1)求∠C的大小 (2)若c=√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC存在，求AC边 上中线的长 条件0：△ABC的面积为2x5;条件@：b-a=1;条件®：血B-i血A=2 17.已知底面ABCD是平行四边形，PA1平面ABCD,PA∥D0,PA=3D2=3,AD=2AB=2,且 ∠ABC=60°. (I)求证：平面PAC⊥平面CD2; (②)线段PC上是否存在点M,使得直线AM与平面PC2所成角的正弦值是 若存在，求出兴的值：若不存在，说明理由 5 18.为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号 后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： A软件 B软件 试题类别 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计B软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题，其中函数2道，几何1道；使用A软件解答2道函数试题， 使用B软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答 相互独立.用X表示3道类似试题被正确解答的个数，求X的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但 该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为 几何题的概率为分· 2 假设用频率估计概率， 试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 19已蜘椭圆等+茶=6>b>0的左顶点为儿上顶点为，下顶点为C若椭圆的e: y ,三角形ABC 2 的面积为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点D(O,2),直线AD交椭圆于点E,过点D的直线交椭圆于M,N两点，若直线CM与x轴交 于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求PC的值 IPOl 1 20.已知函数f(x)=二-x+alnx. (1)求f(x)在(1，f(1)处的切线方程（用含a的式子表示） (2)讨论f(x)的单调性； (3)若∫（似）存在两个极值点为，五2，证明： f(x)-f()<a-2 为-x2 21.已知无穷数列{a}满足口1-a=1,其中n=1,2,3,对于数列{a}中的一项ak,若包含4.的连 续jj≥2)项a,a,,a4H(i≤k≤i+j-2)满足a,<a<<a+H或a>a1>…>a4l,则称a, a+1,,4+为包含a,的长度为j的“单调片段”. (渚a,=血受，写出所有包含马的长度为3的单调片段 (2)若Vk∈N,包含a,的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且a=9,求{an}的通项公式： (3)若Vk∈N,②2，都存在包含a:的长度为k的“单调片段”，求证：存在N。∈N,使得n≥N。时，都有 a-aN =n-No. 4