2026届四川省德阳市市中考数学自编模拟卷（1）

2026届四川省德阳市市中考数学自编模拟卷（1） 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的) 1．在、0、1、这四个数中，最大的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一个几何体的展开图如图所示，则它是下列几何体中的（   ） A． B． C． D． 4．我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为（ ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的弦，点，都在上，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点D是的中点，E是的中点，F是的中点，已知的周长为12，则的周长为（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 8．关于的方程无解，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．不能确定 9．如图，点是等边内一点，，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线L：沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t(秒)，m与t的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 11．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 12．如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上) 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 14．因式分解：_______． 15．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________． 16．“德阳坝坝宴”火了！如图，广汉的小李乘坐高铁由广汉去德阳吃坝坝宴时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由广汉开往德阳的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是______米/秒． 17．如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到，过B点作，分别交于点P、Q，若则______． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，是反比例函数位于第一象限内的图象上的点，作射线交轴于点，连接，，若，的面积为18，则_____． 第II卷(非选择题，共90分) 三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.) 19．（7分）（1）计算：． （2）（7分）解方程组： 20．（11分）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 21．（11分）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类--接种了只需要注射一针的疫苗；B类--接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类--接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类--还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．请根据统计图回答下列问题： (1)此次抽样调查的人数是___________人． (2)接种B类疫苗的人数在扇形统计图中所占圆心角___________ (3)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？ 22．（12分）德阳某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元／件），与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)德阳市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过，求每天的利润与销售单价之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标． 24．（14分）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 25．（15分）在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F． (1)求抛物线的对称轴方程； (2)如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标； (3)如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标． 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届四川省德阳市市中考数学自编模拟卷（1） 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的) 1．在、0、1、这四个数中，最大的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查有理数比较大小，根据正数大于0,0大于负数即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴最大的数是1， 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、分式乘方 【分析】根据同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，分式的乘方运算逐一分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，分式的乘方运算，熟记相应的运算法则是解本题的关键． 3．已知一个几何体的展开图如图所示，则它是下列几何体中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查几何体的展开图，根据棱柱的展开图特点解题即可． 【详解】由题可知，几何体为三棱柱， 故选：C． 4．我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占、面试占计算加权平均数作为总成绩应试者李老师的笔试成绩为分，面试成绩为分，则李老师的总成绩为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求加权平均数 【分析】根据题意和加权平均数的计算方法可以解答本题． 本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 【详解】解：由题意可得， 李老师的总成绩是：分， 故选：C． 5．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 6．如图，是的弦，点，都在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，点D是的中点，E是的中点，F是的中点，已知的周长为12，则的周长为（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半． 【详解】解：点、、分别是、、的中点， ，，， 的周长． 故选：B 8．关于的方程无解，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．先去分母把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，当时，当时，即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以：， ∴， ∴， 当时， 方程无解，此时 当时， ∵方程无解， ∴ 解得： ∴的值为：或． 故选：A． 9．如图，点是等边内一点，，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】将绕点顺时针旋转得，连接，可得是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，得到，过作交的延长线于点，然后利用勾股定理和直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 如图，过作交的延长线于点， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 如图，过点作交于点， ， ， 由勾股定理得， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 10．如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线L：沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t(秒)，m与t的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】设直线L与x轴交于点M，由图2可知线段，则正方形ABCD的边长为6；从图2看，，则点A（2，0），故点D的坐标为（-4，0），当直线L过点C时，设直线L′交x轴与点N，对应的时间为a，求出N（-10，0），故，即可求解． 【详解】解：设直线L与x轴交于点M， 令，解得，即点M（3，0）， 由图2，线段，则正方形ABCD的边长为6， 从图2看，，则点A（2，0），故点D的坐标为（-4，0）， 当直线L过点C时，设直线交x轴与点N，对应的时间为a， 由直线L和x轴坐标轴的夹角为45°，则当直线L在L′的位置时，， 点N（-10，0）， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形和一次函数的性质，此类问题关键是弄清楚不同时间段图象和图形的对应关系，进而求解． 11．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、归纳与类比 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 12．如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则，则，，可证明，当且仅当点三点共线时，取得最小值，此时，即点共圆时，取得最小值，过点作于点，可证明，则，故，在中，由勾股定理得，故，则，由对称性可知：当点在右侧时，此时， 则． 【详解】解：取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴由①+②得：， 当且仅当点三点共线时，取得最小值， ∴此时，即点共圆时，取得最小值， 过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在等腰中，由勾股定理得， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴ ∴， ∴， 由对称性可知：当点在右侧时，此时，如图： 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆的判定，勾股定理等知识点，难度大，正确构造相似三角形是解题的关键． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上) 13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 14．因式分解：_______． 【答案】/ 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 15．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________． 【答案】丁 【知识点】运用方差做决策、利用平均数做决策 【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差的定义，结合表中数据即可获得答案． 【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光合作用速率， 而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用速率的稳定性强， ∴这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是丁． 故答案为：丁． 16．“德阳坝坝宴”火了！如图，广汉的小李乘坐高铁由广汉去德阳吃坝坝宴时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由广汉开往德阳的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是______米/秒． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：作于点． 在中，， ∴ （米），（米）， 同理，（米）． 则（米）． 则平均速度是（米秒）， 故答案为：． 17．如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到，过B点作，分别交于点P、Q，若则______． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】延长交于F，通过折叠的性质证明出，则，继而垂直平分，故，那么，由折叠的性质可得，继而，再解直角三角形即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴ ∵，， ∴， 延长交于F，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，把握折叠的性质证明出角是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，是反比例函数位于第一象限内的图象上的点，作射线交轴于点，连接，，若，的面积为18，则_____． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算 【分析】此题重点考查正比例函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形．作轴于点，轴，交的延长线于点，作于点，设交轴于点，设，则，，设点的横坐标为，则，可证明，则，即可推导出，则，所以，则，所以，，由，得，则，于是得，则，所以． 【详解】解：作轴于点，轴，交的延长线于点，作于点，设交轴于点， 直线经过原点，且与双曲线交于，两点， 点与点关于原点对称， 设，则，， 设点的横坐标为，则，， ，， ， ， ∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 第II卷(非选择题，共90分) 三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.) 19．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方和绝对值，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． （2）（7分）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 整理②得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 20．已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【详解】（1）∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 21．“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类--接种了只需要注射一针的疫苗；B类--接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类--接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类--还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．请根据统计图回答下列问题： (1)此次抽样调查的人数是___________人． (2)接种B类疫苗的人数在扇形统计图中所占圆心角___________ (3)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？ 【答案】(1)200人 (2) (3) 【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据A类型人数除以所占比例得到总人数即可； （2）根据B类型人数和总人数得到百分比，再乘以即可； （3）利用列表法列出所有可能的结果数，再用概率公式求得一男一女的概率． 【详解】（1）解：A类型人数为人，占样本的， 所以此次抽样调查的人数是：（人）． 故答案为： （2）解：B类型人数为80人， ∴B类疫苗的人数的百分比是：， ∴接种B类疫苗的人数在扇形统计图中所占圆心角为 故答案为： （3）解：列表如下： 男 男 男 女 女 男 男男 男男 男女 男女 男 男男 男男 男女 男女 男 男男 男男 男女 男女 女 女男 女男 女男 女女 女 女男 女男 女男 女女 从表中可以看出，共有20种等情况数，选中一男和一女的情况数共12种， ∴P（恰好选中一男一女）=． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键比． 22．德阳某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元／件），与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)德阳市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过，求每天的利润与销售单价之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为140元／件时，每天最大利润元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式； （2）根据利润=（售价－单价）×销售量，由题意可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）设与之间的函数关系式为， 由函数图象得， 解得：， 故与的函数关系式为； （2），所以 ， ， 当时，， 售价定为140元／件时，每天最大利润元． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标． 【答案】(1) (2)P点坐标 【知识点】求反比例函数解析式、等腰三角形的性质和判定、 求矩形在坐标系中的坐标 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴ 把代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）∵点D是CB中点， ∴B（8,3） 当x=8时 ∴E（8，） 当AEP构成等腰三角形时，只能是PA=EA= P点可位于E点左边或右边 当P点位于E点左边时： P的横坐标x=8-= 当P点位于E点右边时： P的横坐标为x=8+= 故P点坐标 【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数表达式、矩形性质在求坐标中的应用，等腰三角形性质，掌握这些才能解出此题． 24．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】根据：是直径，可知，根据等腰三角形的三线合一定理可证、，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证四边形是平行四边形，从而可得四边形是菱形； 连接，可得，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式可以求出菱形的面积． 【详解】（1）解：是直径， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形； （2）解：如下图所示，连接， 为直径， ， 在菱形中，设， 则，， ， 在中， 在中，， ， ， 解得或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆、菱形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理求出边的长度． 25．在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F． (1)求抛物线的对称轴方程； (2)如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标； (3)如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)直线恒过定点． 【知识点】角度问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】（1）根据，坐标以及对称性可求对称轴； （2）由对称轴得到，所以抛物线，再代入点A坐标，即可得，最后可得抛物线解析式为，再求出的解析式为，与抛物线联立可得．根据已知条件可转化为证明，求得．再由待定系数法可得直线的解析式，与抛物线解析式联立可解得P点坐标为； （3）设，，利用待定系数法可得直线，和的解析式，求得，，根据可列式化简整理可得，进而可得①，把①式代入直线的解析式中，化简后可得：，令，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴抛物线的对称轴方程为直线； （2）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴抛物线，代入点， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∵点C为抛物线对称轴与x轴的交点， ∴， 又∵， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， 由待定系数法可知直线的解析式为， 联立与， 得， 解得或0（舍去）， 即． 如图1所示，设交y轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故， 同理，由待定系数法可得直线的解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式可得， 解得或， 故P点坐标为； （3）证明：如图2所示， 设，， 故由待定系数法可得直线的解析式为． ∵，再由抛物线对称性可知， 同理可得直线的解析式为， 则， 同理可得直线的解析式为， 则， ∵，即， 化简整理可得， 进而可得①， 把①式代入直线的解析式中，得： ， 令， 解得，此时， 故直线恒过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数与方程的转化，函数恒过定点问题，难度较大，对运算变形能力要求高，熟练掌握以上内容是解题关键． 第 2 页 共 29 页 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $