20.2 整式的乘法（题型专练）数学新教材人教版五四制七年级下册

20.2 整式的乘法 题型一 同底数幂的除法及逆用 1．（24-25八年级上·天津·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先算乘方，再按照同底数幂除法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法；根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂运算的运用．先利用幂的乘方法则求出的值，再根据同底数幂的除法法则计算的值． 【详解】解：，， 4．（20-21八年级上·云南昆明·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 题型二 单项式乘单项式 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则（积的乘方：；两个单项式相乘时，​​把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式​​． 先根据积的乘方法则计算，得到系数和字母的乘方结果；再将所得结果与进行单项式乘法运算． 【详解】解： 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘单项式，根据积的乘方，单项式乘单项式的运算法计算即可． 【详解】解： 故答案为： 题型三 单项式乘多项式 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，按照单项式乘以多项式运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 2．（23-24八年级上·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式的乘法运算运算即可． 【详解】解： 3．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． 先计算单项式乘多项式，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解：， 将代入得，原式． 题型四 多项式乘多项式 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，积的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键． （1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·北京·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算积的乘方，然后通过单项式乘以单项式乘法法则即可求解； （）根据多项式乘以多项式运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算得到答案，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型五 单项式除以单项式 1．（24-25八年级上·青海西宁·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，单项式除以单项式，先进行积的乘方运算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）计算 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算（包括积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式），解题的关键是熟练运用幂的运算法则（同底数幂相乘除，底数不变指数相加减；积的乘方，各因式分别乘方再相乘）． 计算积的乘方化简；按法则进行单项式乘法运算；按法则进行单项式除法运算，分步处理系数和同底数幂的指数． 【详解】解：按整式混合运算顺序计算： 故答案为：． 4．（21-22八年级上·甘肃天水·期中）计算的结果是： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算、单项式除以单项式，熟记运算法则是解本题的关键．先计算积的乘方运算，再计算单项式除以单项式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： ． 题型六 多项式除以单项式 1．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多项式除以单项式的计算方法求解即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则．根据多项式除以单项式法则计算． 【详解】解：原式 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 运用多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键； 利用多项式除以单项式法则化简，然后把x与y的值代入计算即可解答． 【详解】解： ； 当，时， ． 题型七 整式四则混合运算 1．（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先运用多项式乘多项式，单项式除以单项式进行计算，再合并同类项即可； （2）先运用平方差公式，完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确的去括号是解题的关键．先去括号，再根据合并同类项化简，最后将代入到化简后的结果进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·开学考试）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，化简后再代入x，y求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）先化简．再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】先计算括号内的整式的乘法，合并同类项，再计算多项式除以单项式，再把，代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查的是整式的四则混合运算，化简求值，二次根式的加减运算，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键． 题型一 单项式乘多项式的应用 1．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 【详解】解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答． （2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】小聪说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式的乘法和合并同类项，根据题意将代数式展开，将同类项合并即可知小聪说的有道理． 【详解】解：小聪说得有道理． 则此题的结果与a、b无关． 故小聪说得有道理． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）某市的环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，正方体贮水池的棱长为分米． 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式以及积的乘方的计算方法是解题的关键，根据单项式乘以单项式以及积的乘方法则计算即可得到答案． 【详解】解：存在．理由如下： ∵长方体废水池的容积为立方分米， ∴该正方体贮水池的棱长为分米． 题型二 多项式乘积不含某项求字母的值 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若与的乘积中不含有x的一次项，求m． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，可得，再根据乘积中不含有x的一次项，得到，即可求解． 【详解】解：， ∵不含有x的一次项， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的结果中不含某项，先计算多项式的乘法，合并同类项，再根据不含某项建立方程求解即可. 【详解】解：原式， 的展开式中不含x的二次项和一次项， ， 解得． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）若与的乘积中不含和的项，求m、n的值． 【答案】的值为6，的值为3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含和的项的系数都等于0，据此求解即可得． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含和的项， ∴， 解得， 所以的值为6，的值为3． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项的问题，先列式求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项，得到一次项的系数为，据此即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴． 题型三 多项式乘法中的规律问题 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五；六；32 (2)；64 (3) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）把，代入，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得：， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五；六；32． （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：；64． （3）解：把，代入， 得：， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 【答案】（1），；（2）；；；；（3）①；；②． 【分析】本题考查了规律的探究，整式的运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式的乘法运算法则，仿照示例，可得到规律，根据所得到规律得； （2）根据（1）中的规律，即可求解； （3）①根据所得到的规律逆向运算，得到因式分解的结果， ②根据规律，分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， 类似地，， 故答案为：，； （2）， ， ， ， 故答案为：；；；； （3）①； ； 故答案为：；； ② ． 3．（21-22八年级上·四川内江·期中）探索题： …… (1)根据规律可得 （其中为正整数）； (2)仿照上面等式分解因式： ； (3)根据规律可得 （其中n为正整数）； (4)计算： ； (5)计算：①； ②． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)①；② 【分析】本题考查整式运算规律，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． （1）由题中所给的式子即可得到规律，从而确定答案； （2）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案； （3）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案； （4）由（3）中所得的规律直接求解即可得到答案； （5）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可知， ， 故答案为：； （3）解：由（1）中规律可知， ， 故答案为：； （4）解：由（3）中规律可知，， ， 故答案为：； （5）解：① ； ②设， 令， ； ， 由①知，； ． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 【答案】(1)； (2)①；②；③； (3)． 【分析】本题考查了数字的变化，有理数的混合运算，多项式的乘法，解题的关键是掌握数字的变化规律，有理数的混合运算法则，多项式的乘法法则． （1）读懂题意，寻找数字变化规律； （2）利用（1）发现的规律解决问题； （3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：（n为正整数）； 故答案为：； （2）① ； ②设，（n为正整数） ， ∴， ③ ； （3）原式 ． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)①见解析，②a，b，c的值分别为10，3，2． 【分析】（1）利用3个小正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积，列式即可； （2）①由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断； ②由，，可得，结合可得，推出或或，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）①证明：由题意得，， 所以， 整理得：， 即， 所以， 所以 因为， 所以， 故，即， 所以a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． ②解：由①得， 又， 所以， 又因为， 所以， 又为整数 即或或， 当时，， 则， 故， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，， 此时， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，，符合； 综上，a，b，c的值分别为10，3，2． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；. (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二,再过7天还是星期二，则再过天是星期 ． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)三 (3)能，++++………++++－，过程见解析 (4)能，的值为－1，过程见解析 【分析】本题考查本题考查了规律探究，已知字母的值求代数式的值，幂的乘方运算； （1）根据题干和图形规律求解即可； （2），再根据题干规律得到除以余数为，即可求解； （3）分别把，代入计算即可； （4）把代入，再结合（3）中式子计算即可． 【详解】（1）解：由已知可得， 由规律可得的系数分别为，，，，，， ∴； （2）解∵，而， ∴除以余数为， ∴今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三， 故答案为：三； （3）解：∵， ∴当时，，即， 当时，， ∴， ∴； （4）解：当时，， ∴ ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【答案】(1)级等比数列为：，，， 级等比数列为：，，， (2) ① ②证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，整式乘法混合运算等知识点，理解材料提示的计算方法，掌握数字规律的计算及整式乘法混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法求解即可； （2）①根据题意可得，，两室相减即可得解；②根据题意，设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，，分别计算出，，的值，然后按照同底数幂的乘法、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用、整式乘法混合运算法则计算即可得出结论． 【详解】（1）解：等比数列1，2，4，8的公比为， ∴级等比数列为：，，，； 设3级等比数列为：， ∵， ∴，，，， ∴级等比数列为：，，，； （2）①解：若等比数列：，，，，， ∵，， ∴， 即：； ②证明：根据题意，若数列满足（为非零常数），数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数， ∴设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，， ∴，，， ∴，，，， ，，，， ，，，， 又∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2 整式的乘法 题型一 同底数幂的除法及逆用 1．（24-25八年级上·天津·期末）计算： ． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： 3．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若，，则的值为 ． 4．（20-21八年级上·云南昆明·期中）若，则 ． 题型二 单项式乘单项式 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： ． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）计算 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 4．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）计算：的结果是 ． 题型三 单项式乘多项式 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：． 2．（23-24八年级上·吉林松原·期中）计算：． 3．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 题型四 多项式乘多项式 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·北京·开学考试）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 题型五 单项式除以单项式 1．（24-25八年级上·青海西宁·期末）计算的结果是 ． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算： ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）计算 4．（21-22八年级上·甘肃天水·期中）计算的结果是： ． 题型六 多项式除以单项式 1．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）计算：． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 题型七 整式四则混合运算 1．（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·开学考试）先化简，再求值：，其中 4．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）先化简．再求值：，其中，． 题型一 单项式乘多项式的应用 1．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）某市的环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由． 题型二 多项式乘积不含某项求字母的值 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若与的乘积中不含有x的一次项，求m． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）若与的乘积中不含和的项，求m、n的值． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 题型三 多项式乘法中的规律问题 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 3．（21-22八年级上·四川内江·期中）探索题： …… (1)根据规律可得 （其中为正整数）； (2)仿照上面等式分解因式： ； (3)根据规律可得 （其中n为正整数）； (4)计算： ； (5)计算：①； ②． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 2．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；. (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二,再过7天还是星期二，则再过天是星期 ． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 4．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $