17.1 不等式（题型专练）数学新教材人教版五四制七年级下册

17.1 不等式 题型一、不等式的判定 1．下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二、根据数量关系列出不等式 5．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 6．若是不等式，则符号“□”不能是（   ） A． B． C． D． 7．与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 8．根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 9．用适当的式子表示与的和是负数： ． 10．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 11．用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 12．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 题型三、判断不等式的变形是否正确 13．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 14．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 15．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 18．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 19．下列几个变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 20．下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型四、判断不等式的解集 21．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 22．下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 23．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 24．下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 25．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 26．若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 27．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 28．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 题型五、列出实际问题的不等式 29．“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 30．如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 31．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 32．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 33．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 34．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 题型一、根据不等式的性质进行变形 35．把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 37．小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 38．如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 题型二、根据不等式的性质求字母范围 39．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．已知， 是两个有理数，，，对于下列三个结论：（1）且；（2）；（3）且．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 41．“若，则”是假命题，则的值可能是 ．（写出一个即可） 42．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 43．已知，且．求m的取值范围． 题型三、应用不等式的性质解决问题 44．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 45．若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 46．已知实数满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 47．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 48．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 49．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 50．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 51．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 52．下列说法正确的有（   ） ①已知，则； ②已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； ③已知，，是有理数，且，时，则的值为或； ④已知时，那么的最大值为，最小值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 53．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 54．一个四位自然数，若满足，则称这个数为“平方和数”．例如，四位数1052，∵，∴1052是“平方和数”，四位数6615，∵，∴6615也是“平方和数”．若是“平方和数”，那么 ；将“平方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个数，规定，已知一个四位数是“平方和数”，若能被9整除，则满足条件的N的最小值为 ． 55．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 56．阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 试卷第32页，共35页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1 不等式 题型一、不等式的判定 1．下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如、、、、）的式子是不等式，否则不是． 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式． 故选：D． 2．下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，正确理解不等式的定义是解题的关键．用不等号连接表示大小关系的式子，叫做不等式．根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：A、是代数式，不是不等式，所以选项A不符合题意； B、是方程，不是不等式，所以选项B不符合题意； C、是不等式，所以选项C符合题意； D、是等式，不是不等式，所以选项D不符合题意． 故选：C． 4．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 题型二、根据数量关系列出不等式 5．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 6．若是不等式，则符号“□”不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”或“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 【详解】解：∵，，，都是不等式， ∴选项A，B，C都不符合题意； ∵不是不等式， ∴选项D符合题意． 故选：D． 7．与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 8．根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论． 【详解】解：由图可知，， 故选：B． 9．用适当的式子表示与的和是负数： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可． 【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零， 所以表示为． 故答案为：． 10．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 11．用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示． （1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式； （2）“x比大”意味着x大于，即可列出不等式； （3）“m与n的差”表示为，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式； （4）“x与的差”表示为，即，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 12．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 题型三、判断不等式的变形是否正确 13．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故该选项不正确，不符合题意； B、 若，则，故该选项不正确，不符合题意； C、若，则，故该选项不正确，不符合题意； D、若，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 14．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， 两边同时乘以得，则不符合题意，不符合题意， 两边同时减去1得，则符合题意， 两边同时加上得，则不符合题意， 故选：． 15．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由，得到，原写法错误，不符合题意； B、由，得到，原写法正确，符合题意； C、由，得到，原写法错误，不符合题意； D、由，得到，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 16．若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，，不符合题意； 选项B：，，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，，符合题意； 故选：D． 17．如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 18．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除同一个正数，不等号方向不变；乘或除同一个负数，不等号方向改变，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴与的大小关系不确定，故该选项不符合题意； B、∵，∴，∴，故该选项符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故该选项不符合题意； 故选：B 19．下列几个变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查不等式性质，解题的关键在于正确掌握不等式性质． 根据“不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除除以同一个负数，不等号方向改变；”逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、如果，当，时，，故A选项不符合题意； B、如果，当，时，，故B选项不符合题意； C、如果，，那么，故C选项符合题意； D、如果，当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 20．下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； B、当时，，则， 当时，， ∴若，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不一定成立，符合题意； C、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； D、若，则（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； 故选：B． 题型四、判断不等式的解集 21．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 22．下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 23．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 24．下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，理解不等式的解集的含义是解决问题的关键． 由得出为负数，即可得出答案． 【详解】解：， 为负数， 故选：A． 25．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 26．若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【答案】A 【分析】本题主要考查的是不等式的定义，含有不等号的式子为不等式，直接根据定义进行判断即可． 【详解】解：是不等式， 则“”代表的符号可以是， 故选：A． 27．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 28．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 题型五、列出实际问题的不等式 29．“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 故选：A． 30．如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意． 根据图形就可以得到药品A的质量的范围． 【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克． 故选：C． 31．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 32．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 33．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 34．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 题型一、根据不等式的性质进行变形 35．把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 36．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边除以同一个数时，需考虑数的正负性），熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 分析每一步推理是否遵循不等式两边除以一个数时“除数不能为0且需考虑正负对不等号方向的影响”这一基本法则． 【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 37．小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握不等式的基本性质． （1）根据不等式的基本性质求解； （2）利用不等式的基本性质求解． 【详解】（1）解：根据不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：∵， ∴． ∴． 38．如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)，， ， (2)②④，证明见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质填空； （2）根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴ ． ∴ ． 故答案为：，， ，； （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：②④． 题型二、根据不等式的性质求字母范围 39．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式的基本性质，注意系数正负对不等号方向的影响．根据不等式解集的形式，可知除系数时不等号方向不变，因此系数必须为正数，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴除以后不等号方向不变， ∴， ∴， 故选：C． 40．已知， 是两个有理数，，，对于下列三个结论：（1）且；（2）；（3）且．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及有理数的乘法法则，解题的关键是掌握不等式的基本性质与有理数的运算法则．根据给定不等式和，推导和的符号关系，并逐一判断三个结论的正确性即可解答． 【详解】解：（1），当时，；当时，，故此结论错误； （2）若，则、异号，当时，，则，与条件矛盾，故此结论错误； （3），若，则不成立，故，，，若，则，把代入，得，与矛盾，故，故此结论正确； 综上，仅结论（3）正确，正确个数为， 故选：． 41．“若，则”是假命题，则的值可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质，当时，不成立，从而使原命题为假命题． 【详解】解：由不等式性质可知，若，则成立的条件是； 当时，，不等式不成立； 当时，不等号方向改变，即，不等式不成立． 因此，当时，命题为假命题， 故的值可能为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 42．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 43．已知，且．求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向会改变，据此求解即可． 【详解】解：∵，且（不等号方向发生了改变）， ∴是负数， ∴． 题型三、应用不等式的性质解决问题 44．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，最值的意义，熟练掌握绝对值的非负性，不等式的性质是解题的关键． 根据为有理数，，于是，故，解答即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴， ∴式子存在最大值，且当时，最大值为2025． 故选：D． 45．若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式比较大小，解题的关键在于代数式比较大小的掌握． 通过作差法来比较与的大小，即计算，然后判断其结果的正负性． 【详解】解：已知，， 将其代入可得：， 因为． 所以，也就是． 因为，移项可得． 故选：A． 46．已知实数满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减、一元一次方程的求解和一元一次不等式的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据已知方程联立求解，得到和，再结合判断各选项正误即可． 【详解】解：∵，， 得： 解得， 将代入①得：， ∴， ∵，且，， ∴，即，， ∴选项A、B、D正确； C、，但，， ∴，该选项错误，符合题意． 故选C． 47．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 48．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 49．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 50．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 51．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)①② (2)； (3) 【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据表格填空即可； （2）观察表格规律可得答案； （3）求出，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 52．下列说法正确的有（   ） ①已知，则； ②已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； ③已知，，是有理数，且，时，则的值为或； ④已知时，那么的最大值为，最小值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的加减运算，合并同类项等知识点．①由题意得，则；②当时，则，分两种情况：一是，，，二是，，，分别讨论即可；③当且时，，，，且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设，，，化简求解即可；④当时，分两种情况：当时与当时，分别化简求值即可；综上，即可得出答案． 【详解】解：①由题意得，则；故①说法错误； ②当时，则， 此时有两种情况： 一是，，， 则， 二是，，， 则，故②说法正确； ③当且时， ，，， 且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数， 不妨设，，， 则 ，故③说法错误； ④当时，分两种情况： 第一种情况： 当时， ，， ， ， ； 第二种情况： 当时， ，， ； 综上所述，当时，的最大值为，最小值为， 故④说法正确； 综上，②④正确． 故选：A． 53．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)8，6 (2)点M表示的数是 (3)机器人M变成彩色的总时长为8秒 (4)t的值为4或10.4或8或20或 【分析】此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． （1）本问考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本问根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长； （4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 54．一个四位自然数，若满足，则称这个数为“平方和数”．例如，四位数1052，∵，∴1052是“平方和数”，四位数6615，∵，∴6615也是“平方和数”．若是“平方和数”，那么 ；将“平方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个数，规定，已知一个四位数是“平方和数”，若能被9整除，则满足条件的N的最小值为 ． 【答案】 4或8 2133 【分析】本题考查新定义“平方和数”的应用及代数式的运算、数的整除性，解题的关键是根据“平方和数”的定义列出等式，结合数字的取值范围分析求解． ①根据“平方和数”的定义，对列出等式，结合，是数字的条件求解； ②先根据“平方和数”的定义确定中的关系，再结合的定义化简表达式，最后根据整除条件找出最小的． 【详解】解：①是“平方和数”，根据定义（这里）， 化简得：即 是数字，且是10的倍数， 需是10的倍数，即的个位为9， 满足条件的为3或7： 当时，，得， 当时，，得， 故答案为：4或8； ②是“平方和数”，根据定义（这里）， ，即， 结合，得． 又， 的可能取值：， 再根据（是千位与百位对调后的数），， ， ， 代入，得： 分别验证各可能取值： 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 其余取值计算后均不能被9整除， 比铰，和，最小的为2133． 故答案为：2133． 55．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：若，当时，，∴①说法错误； 若，根据不等式的性质1，得，则，∴②说法正确； 若，当时，根据不等式的性质3，得，∴③说法错误； 若，可知，故，根据不等式的性质2，得，∴④说法正确． 故答案为：②④． 56．阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用平方根的含义解方程，解题的关键是运用题中，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号． （1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可． （2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算． （3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， 当时，式子的最小值为． （3）解：设，， 则，欲使最小， ， ， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 试卷第32页，共35页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1 不等式（答案版） 题型一、不等式的判定 1．D． 2．C． 3．C． 4．C． 题型二、根据数量关系列出不等式 5．B． 6．D． 7．C． 8．B． 9．． 10．【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 11．【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 12．【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 题型三、判断不等式的变形是否正确 13．D． 14．． 15．B． 16．D． 17．C． 18．B 19．C． 20．B． 题型四、判断不等式的解集 21．D． 22．A． 23．C． 24．A． 25．B． 26．A． 27．C． 28．． 题型五、列出实际问题的不等式 29．A． 30．C． 31．C． 32．（答案不唯一）． 33．【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 34．【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 题型一、根据不等式的性质进行变形 35．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 36．【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 37．【详解】（1）解：根据不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：∵， ∴． ∴． 38．【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴ ． ∴ ． 故答案为：，， ，； （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：②④． 题型二、根据不等式的性质求字母范围 39．C． 40．． 41．（答案不唯一）． 42．． 43．． 题型三、应用不等式的性质解决问题 44．D． 45．A． 46．C． 47．【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 48．【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 49．【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 50．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 51． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 52．A． 53．【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 54．【详解】解：①是“平方和数”，根据定义（这里）， 化简得：即 是数字，且是10的倍数， 需是10的倍数，即的个位为9， 满足条件的为3或7： 当时，，得， 当时，，得， 故答案为：4或8； ②是“平方和数”，根据定义（这里）， ，即， 结合，得． 又， 的可能取值：， 再根据（是千位与百位对调后的数），， ， ， 代入，得： 分别验证各可能取值： 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 其余取值计算后均不能被9整除， 比铰，和，最小的为2133． 故答案为：2133． 55．②④． 56．【详解】（1）解：∵， ∴，的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， 当时，式子的最小值为． （3）解：设，， 则，欲使最小， ， ， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 试卷第32页，共35页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $