16.2 消元法—解二元一次方程组（题型专练）数学新教材人教版五四制七年级下册

16.2 消元法—解二元一次方程组 题型一、代入法的变形过程判断 1．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为， 故选：B． 2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【详解】解：A、由得，，该选项正确，不符合题意； B、由得，，该选项错误，符合题意； C、由得，，该选项正确，不符合题意； D、由得，，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．对于二元一次方程组将①代入②，消去可得，则方程①是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法，将消去的方程转化为，得到，即可得出结果． 【详解】解：将①代入②，消去可得， 即， ∴， 故方程①为； 故选B． 4．解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 通过对方程组进行变形，判断每个选项的表达式是否正确即可． 【详解】解：由②可得， 代入①可消去， 则选项D错误， 由①得， 则选项A、选项B错误； 故选：C． 5．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 6．将方程变形：若用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键；把看作已知数，根据等式的性质求出即可． 【详解】解：由原方程， 移项得， 两边同时除以5，得，即； 故答案为． 题型二、用代入法解二元一次方程组 7．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解法：代入法，根据代入法分析即可得到答案，正确掌握解法并根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键． 【详解】解：根据方程组的特点，②中的系数为1，故将②变形为用的代数式表示，再代入①计算更简便． 故选：． 8．已知，则用含的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另一个未知数． 根据，把用表示出来，然后再把代入进行化简即可． 【详解】， 将①变形为③， 将③代入②中， 即， 所以， 故答案为：． 9．用代入法解方程组： 【答案】原方程组的解为 【分析】将一个方程中的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求解 ． 【详解】解： 代入消元：将①代入②得： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 系数化为得： ． 将代入①式，得 ． ∴方程组的解为 ． 【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握代入消元的步骤，确保每一步的运算准确 ． 10．阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 【答案】（1）A；（2）二，；（3） 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 故选A； （2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为； 故答案为二，； （3）． 由①，得，③ 把③代入②，得， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 故答案为． 11．用代入消元法解下列方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将①代入②，即可消去，求出值，再把值代入①，求出即可得解；(2)将②变形得到．③代入①消去，求出的值，然后把值代入③求出值，即可得解． 【详解】（1）解：（1）把①代入②，得 ， 解得：． 把代入①， 得：． 故原方程组的解是 （2）解：（2）由②，得 ③ 把③代入①得 ， 解得． 把代入③，得 ． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组．解题关键是掌握运用代入法解二元一次方程组的方法． 题型三、用加减消元法的变形过程判断 12．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去x，可以将①② B．要消去y，可以将①② C．要消去x，可以将①② D．要消去y，可以将①② 【答案】D 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．通过加减消元法，消去y需要使y的系数互为相反数，和可使y的系数分别为6和，相加即可消去y． 【详解】∵要消去y，需使y的系数绝对值相等且符号相反． ①中y系数为2，②中y系数为，最小公倍数为6． ∴得：， 得：， 两式相加：， ∴，y被消去． 故选项D正确． 故选：D． 13．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过加减消元法消去未知数x，将两个方程相减即可． 【详解】解：得： 即   ∴．   故选：B． 14．在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和（   ） A．互为倒数 B．大小相等 C．互为相反数 D．都等于0 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，由加减消元法求出的结果，要使直接消去y，需y的系数在相减后为零，据此可得答案． 【详解】解：得， ∵可直接消去未知数， ∴， ∴，即和大小相等， 故选：B． 15．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 题型四、用加减法解二元一次方程组 16．解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 【答案】他的解法不正确．正确解法见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据加减消元法解方程组进行判断，然后再写出正确的解法． 【详解】解：他的解法不正确．正确解法如下： 方程①去分母，得， 即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 17．下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 【答案】(1)加减，等式的基本性质 (2)二， (3) 【分析】（1）根据题中的求解通过将两个方程相加或相减消去一个未知数的方法可判断出该方法是加减消元法，方程①两边同时乘以2，是根据等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； （2）观察题中的解题步骤发现在第二步“得”出现错误，由于合并同类项错误导致计算问题，正确结果应为； （3）根据上述分析从第二步开始重新计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到， 故答案为：加减，等式的基本性质． （2）解：∵得， ∴第二步错误，正确结果应为， 故答案为：二，． （3）解：， 由得，， 得，， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 18．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 19．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2），得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 20．（1）解方程组：； （2）小明在解方程组，具体解法如下： 解： 得：③（第一步） 得：④（第二步） 得：（第三步） 所以： 将代入①得：（第四步） 所以这个方程组的解是． 任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做___________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是___________； 任务2：以上解答过程从第___________步开始出现错误，具体错误是___________； 任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是___________． 【答案】（1） （2）任务1：加减消元法，等式的性质 任务2：三，时合并同类项计算出错 任务3： 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可． 【详解】解：（1） ，得 ， ，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． （2）任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； 任务2： 第三步出现错误，原因是时，合并同类项计算出错； 故答案为：三；时合并同类项计算出错． 任务3： 得：③ 得：④ 得： 所以： 将代入①，得 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 题型一、二元一次方程组的同解问题 21．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 22．已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、算术平方根与立方根的定义，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 先求出两个方程组的公共解，再代入含、的方程求出、的值，最后计算的算术平方根和的立方根，进而求出． 【详解】解：解方程组得 ，． 将，代入得． 将，代入得． ∴， 解得 ， ∴ ，其算术平方根． ∵ ， ∴ ，其立方根． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 23．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程，正确解方程组是解题的关键．先解方程组，然后再将求得的值代入到方程组中，将其转化为只含有的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：解方程组， ，得，解得， ，得，解得：， 此方程的解为； 将代入得： ，解得：． ． 24．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组，二元一次方程组解法，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入得，再解方程组得，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴ 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∴这两个方程组的解； （2）解：∵这两个方程组的解， ∴，整理得：， 解得， ∴， ∴的值． 题型二、构造二元一次方程组求解 25．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 26．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 27．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，根据无论取何值，方程总成立的条件是方程中不含的部分和含的部分同时为零．因此，需解联立方程组：，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 28．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可；结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 满足条件的x和y的非负整数解有或或，共3组， 即不论m，n取何值，的值一定为4，且满足条件的x和y的非负整数解有3组，故结论Ⅱ正确， 故选：D． 29．已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 30．已知代数式． (1)当时，代数式的值是5，请用含c的代数式表示b． (2)当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是15，求b，c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）解：根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 题型三、二元一次方程组的特殊解法 31．已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 通过将第二个方程减去第一个方程，直接得到的值． 【详解】解：由方程组， 由②①得： ， ， ， ． 故答案为． 32．对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 【答案】，． 【分析】此题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解本题的关键．根据设出的与，将方程组变形，求出解确定出与的值，进而求出与的值． 【详解】解：∵设，， ∴整理成， 将各个式子去分母化简为：， 由由得： ， ， ， ， 将代入①中得：，即， ∴综上． ∵将代入，中， 整理得， 由③④得： ， ， ， 将代入③中得：，即， ∴综上． 33．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 34．观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 35．阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【答案】(1)，9 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、一元一次方程，正确理解克莱姆法则是解题关键． （1）根据二阶行列式的法则即可得，再建立一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据克莱姆法则分别求出，，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ∵的值为3， ∴， 解得， 故答案为：，9． （2）解：， 系数行列式， ，， 则方程组的解为，， 即方程组的解为． 36．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． 37．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【答案】(1) 原方程组的解是； (2) 原方程组的解是； (3) 原方程组的解是． 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴， ，得， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 题型四、含有字母参数二元一次方程组 38．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到． ，根据方程组的解满足、互为相反数得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的解满足、互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 39．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组的解，熟练掌握解二元一次方程（组的方法是解题的关键．①把代入方程组，求出方程组的解，即可得出的值，然后把代入方程中得出的值，比较即可；②解方程组得到、的值，然后求出的值，如果的值为0，则，互为相反数，否则不是；③根据②中即可得出方程组的非负整数解，从而判断即可；④根据②的证明可知，得到，结合即可求出的值． 【详解】解：①.当时，关于，的方程组为， 解得， ， 当时，， 当时，方程组的解也是的解，正确； ②.， 得，， 解得， 把代入得，， ， 无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确； ③.由②得， 原方程组的非负整数解是，，，，共4对，错误； ④.得，， ， ， 解得，正确； 正确的有①②④， 故选：C． 40．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解法一：联立方程和解出，，再代入求出的值即可． 解法二：两个方程相加，再建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解法一：联立方程组， 解得， 将，代入， 得， 解得， 解法二： ，得 ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：5． 41．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键． 通过解二元一次方程组，用k表示x和y，再将解代入二元一次方程中求解k的值即可． 【详解】解：解方程组得． 将解代入得，即， ， 解得． 故答案为2． 42．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键 先通过加减消元法解方程组，得到，再分别验证各结论是否正确即可得到答案． 【详解】解：， 由①②得， 解得； 代入②得， 解得； 即方程组的解为． 方程组的解的值互为相反数， ， 即， 解得，故①正确； 当时，， ，故②错误； 由方程组的解为可知，故③正确； 将方程组的解代入， 则， 即的值与的取值无关， 无论取什么实数，的值为常数，始终不变，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 43．已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为 ； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为 ． 【答案】 6 且 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 44．小明准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成2，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2)－3． 【分析】（1）利用代入法解方程即可； （2）根据题意，与是一对相反数，得到，构成方程组，求出方程的解，代入第二个方程中，求出结果． 【详解】（1）解： 由①，得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得． ∴方程组的解是 （2）解：设“□”为． ∵，是一对相反数， ∴． 把代入，得，解得，则， ∴原题中方程组的解是 将其代入，得，解得， ∴原题中“□”是－3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法、加减消元法解方程组是解决本题的关键． 题型五、二元一次方程组的错解复原问题 45．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得：， ∴一元一次方程可化为， 解得：． 故选：A． 46．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求a，b的值及原方程组的解． 【答案】，，． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将甲得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到原方程组的解． 【详解】解：将代入②，得，解得：； 将代入①，得，解得：； 把，代入方程组，得 ，得， 解得； 将代入①，得， 解得：； 则原方程组的解为． 47．甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入得到，将代入得到，求解方程组即可． 【详解】解：将代入得到， 乙将a与b的位置看错了，得出一组解为， 则将代入得到， 可得， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 48．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 49．已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，整体的思想，熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键． （1）将代入②求出，将代入①求出； （2）先将的值代入方程组，用加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，，再解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入②得：， 解得； 将代入①得：， 解得， ，； （2）解：把，代入得： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 原方程组的解为； （3）解：把，代入关于的二元一次方程组得： 由（2）可知， ①②得， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 题型六、自定义背景下的解二元一次方程组 50．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 51．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 52．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时， ． （2）若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 53．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 54．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 55．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 56．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 57．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 58．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和换元法是解题的关键． 设，易得，再结合已知条件可得，即；再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：设， 则关于a、b的二元一次方程组可化为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴， ①②可得，解得：， 将代入得：， 解得：， 所以． 故答案为：． 59．已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 2 … 则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过解二元一次方程组．从两个表格中找到二元一次方程和的公共解，从而确定和的值． 【详解】解：从表格中可知，当，时，同时满足方程和． 设，， 则原方程组化为． 因此，， 即． 解方程组： ，得，所以； ，得，所以． 故答案为：． 60．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则 ， ． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 61．阅读与思考下面是小明同学研究二元一次方程组时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】关于x，y的二元一次方程，若将的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． 【问题解决】（1）的“对称方程”为_____①____，并直接写出由它们组成的方程组的解：__②____． （2）若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，  求的平方根． 任务： (1)问题解决（1）中的①为_____，②应填_____． (2)问题解决（2）中的的平方根为_____． (3)由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组的解为，求和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知方程组的解求参数． （1）根据“对称方程”的定义得到的“对称方程”，得到方程组，求解即可； （2）根据“对称方程”的定义得到的“对称方程”，得到方程组，将代入方程组得到新的方程组，求出m的值，即可求出的值，求其平方根即可； （3）根据题意得到方程组，将代入方程组得到新的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为，由它们组成的方程组为， 解得：， 故答案为：，； （2）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为， 由它们组成的方程组为， ∵解为， ∴ 得：，即， 将代入①得：， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：； （3）解：由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组为， ∵解为， ∴， 解得：． 62．定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 63．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 64．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 65．【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值（），数的绝对值记为，读作“的绝对值”．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． （）若数轴上的点表示的数分别为、、，则表示 之间的距离． （）若，，则 ． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和新城学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现：，，，． （）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当满足 时，；当满足 时，． 【拓展应用】 （）若，，则的值为 ． （）当成立时，应满足的条件是 （填写所有正确选项的序号）． ①个正数，个负数；②个正数，个负数；③个正数；④个负数；⑤个，个正数；⑥个，个负数；⑦个，个正数，个负数． 【答案】（）；（）；（）同号或者中有一个为；异号；（）或；（）①②⑦ 【分析】（）根据绝对值的几何意义即可求解； （）由已知可得当或时，，或当或时，，，再根据绝对值的性质解答即可求解； （）根据材料写出答案即可； （）由可得异号， 再分两种情况解答即可求解； （）根据（）的结论判断即可求解； 本题考查了绝对值的几何意义，绝对值的性质，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴表示之间的距离， 故答案为：； （）∵, 且， ∴当或时，，， ， ∴， ∴； 当或时，，， ， ∴， ∴； 综上所得，， 故答案为：； （）根据题意可得，当满足同号或者中有一个为时，；当满足异号时，， 故答案为：同号或者中有一个为；异号； （）∵，|， ∴， ∴异号， 当，时，，或， ∴或， 解得或； 当，时，，或， ∴或， 解得或； 综上所得，的值为或， 故答案为：或； （）由（）同理可得，当中存在两数异号时，， 当应满足的条件是①②⑦时，， 故答案为：①②⑦． 试卷第2页，共60页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 消元法—解二元一次方程组（答案版） 题型一、代入法的变形过程判断 1．B． 2．B． 3．B． 4．C． 5．． 6．． 题型二、用代入法解二元一次方程组 7．． 8．． 9． ． 10．【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 故选A； （2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为； 故答案为二，； （3）． 由①，得，③ 把③代入②，得， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 故答案为． 11． 【详解】（1）解：（1）把①代入②，得 ， 解得：． 把代入①， 得：． 故原方程组的解是 （2）解：（2）由②，得 ③ 把③代入①得 ， 解得． 把代入③，得 ． 故原方程组的解是 题型三、用加减消元法的变形过程判断 12．D． 13．B． 14．B． 15．C 题型四、用加减法解二元一次方程组 16．【详解】解：他的解法不正确．正确解法如下： 方程①去分母，得， 即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 17．【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到， 故答案为：加减，等式的基本性质． （2）解：∵得， ∴第二步错误，正确结果应为， 故答案为：二，． （3）解：， 由得，， 得，， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 18．【详解】（1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 19．【详解】（1）解：，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2），得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 20．【详解】解：（1） ，得 ， ，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． （2）任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； 任务2： 第三步出现错误，原因是时，合并同类项计算出错； 故答案为：三；时合并同类项计算出错． 任务3： 得：③ 得：④ 得： 所以： 将代入①，得 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 题型一、二元一次方程组的同解问题 21．． 22．． 23．【详解】解：解方程组， ，得，解得， ，得，解得：， 此方程的解为； 将代入得： ，解得：． ． 24．【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴ 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∴这两个方程组的解； （2）解：∵这两个方程组的解， ∴，整理得：， 解得， ∴， ∴的值． 题型二、构造二元一次方程组求解 25．A． 26．A． 27．B． 28．D． 29．【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 30．【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）解：根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 题型三、二元一次方程组的特殊解法 31．． 32．【详解】解：∵设，， ∴整理成， 将各个式子去分母化简为：， 由由得： ， ， ， ， 将代入①中得：，即， ∴综上． ∵将代入，中， 整理得， 由③④得： ， ， ， 将代入③中得：，即， ∴综上． 33．【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 34．【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 35．【详解】（1）解：， ∵的值为3， ∴， 解得， 故答案为：，9． （2）解：， 系数行列式， ，， 则方程组的解为，， 即方程组的解为． 36．【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． 37． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴， ，得， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 题型四、含有字母参数二元一次方程组 38．A． 39．C． 40．5． 41．2． 42．①③④． 43．【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 44．【详解】（1）解： 由①，得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得． ∴方程组的解是 （2）解：设“□”为． ∵，是一对相反数， ∴． 把代入，得，解得，则， ∴原题中方程组的解是 将其代入，得，解得， ∴原题中“□”是－3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法、加减消元法解方程组是解决本题的关键． 题型五、二元一次方程组的错解复原问题 45．A． 46．【详解】解：将代入②，得，解得：； 将代入①，得，解得：； 把，代入方程组，得 ，得， 解得； 将代入①，得， 解得：； 则原方程组的解为． 47．【详解】解：将代入得到， 乙将a与b的位置看错了，得出一组解为， 则将代入得到， 可得， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 48．【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 49．【详解】（1）解：将代入②得：， 解得； 将代入①得：， 解得， ，； （2）解：把，代入得： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 原方程组的解为； （3）解：把，代入关于的二元一次方程组得： 由（2）可知， ①②得， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 题型六、自定义背景下的解二元一次方程组 50．C． 51．17． 52．【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 53． 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 54．【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 55．【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 56．【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 57．【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 58．． 59．． 60．，． 61．【详解】（1）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为，由它们组成的方程组为， 解得：， 故答案为：，； （2）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为， 由它们组成的方程组为， ∵解为， ∴ 得：，即， 将代入①得：， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：； （3）解：由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组为， ∵解为， ∴， 解得：． 62．【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 63．【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 64．【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 65．【详解】解：（）∵， ∴表示之间的距离， 故答案为：； （）∵, 且， ∴当或时，，， ， ∴， ∴； 当或时，，， ， ∴， ∴； 综上所得，， 故答案为：； （）根据题意可得，当满足同号或者中有一个为时，；当满足异号时，， 故答案为：同号或者中有一个为；异号； （）∵，|， ∴， ∴异号， 当，时，，或， ∴或， 解得或； 当，时，，或， ∴或， 解得或； 综上所得，的值为或， 故答案为：或； （）由（）同理可得，当中存在两数异号时，， 当应满足的条件是①②⑦时，， 故答案为：①②⑦． 试卷第2页，共60页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 消元法—解二元一次方程组 题型一、代入法的变形过程判断 1．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 3．对于二元一次方程组将①代入②，消去可得，则方程①是（   ） A． B． C． D． 4．解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 5．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．将方程变形：若用含y的式子表示x，则 ． 题型二、用代入法解二元一次方程组 7．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形 8．已知，则用含的式子表示为 ． 9．用代入法解方程组： 10．阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 11．用代入消元法解下列方程组： (1) (2)． 题型三、用加减消元法的变形过程判断 12．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去x，可以将①② B．要消去y，可以将①② C．要消去x，可以将①② D．要消去y，可以将①② 13．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 14．在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和（   ） A．互为倒数 B．大小相等 C．互为相反数 D．都等于0 15．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 题型四、用加减法解二元一次方程组 16．解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 17．下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 18．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 19．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 20．（1）解方程组：； （2）小明在解方程组，具体解法如下： 解： 得：③（第一步） 得：④（第二步） 得：（第三步） 所以： 将代入①得：（第四步） 所以这个方程组的解是． 任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做___________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是___________； 任务2：以上解答过程从第___________步开始出现错误，具体错误是___________； 任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是___________． 题型一、二元一次方程组的同解问题 21．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 22．已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 23．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． 24．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 题型二、构造二元一次方程组求解 25．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 26．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 27．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 28．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 29．已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 30．已知代数式． (1)当时，代数式的值是5，请用含c的代数式表示b． (2)当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是15，求b，c的值． 题型三、二元一次方程组的特殊解法 31．已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 32．对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 33．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 34．观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 35．阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 36．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 37．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 题型四、含有字母参数二元一次方程组 38．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 39．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 40．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 41．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是 ． 42．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号） 43．已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为 ； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为 ． 44．小明准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成2，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请通过计算说明原题中“□”是几． 题型五、二元一次方程组的错解复原问题 45．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 46．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求a，b的值及原方程组的解． 47．甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 48．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 49．已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 题型六、自定义背景下的解二元一次方程组 50．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 51．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 52．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时， ． （2）若，则 ， ． 53．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 54．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 55．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 56．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 57．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 58．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 ． 59．已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 2 … 则关于的二元一次方程组的解是 ． 60．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则 ， ． 61．阅读与思考下面是小明同学研究二元一次方程组时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】关于x，y的二元一次方程，若将的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． 【问题解决】（1）的“对称方程”为_____①____，并直接写出由它们组成的方程组的解：__②____． （2）若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，  求的平方根． 任务： (1)问题解决（1）中的①为_____，②应填_____． (2)问题解决（2）中的的平方根为_____． (3)由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组的解为，求和的值． 62．定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 63．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 64．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 65．【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值（），数的绝对值记为，读作“的绝对值”．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． （）若数轴上的点表示的数分别为、、，则表示 之间的距离． （）若，，则 ． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和新城学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现：，，，． （）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当满足 时，；当满足 时，． 【拓展应用】 （）若，，则的值为 ． （）当成立时，应满足的条件是 （填写所有正确选项的序号）． 试卷第2页，共60页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $