专题05菱形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题05菱形同步讲义 【题型01 利用菱形的性质求角度】...................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】.................................6 【题型03 利用菱形的性质求面积】...................................10 【题型04 利用菱形的性质证明】.....................................12 【题型05 添条件使四边形是菱形】...................................15 【题型06 证明四边形是菱形】.......................................17 【题型07 菱形性质与判定综合:求角度】..............................20 【题型08 菱形性质与判定综合:求线段长】............................23 【题型09 菱形性质与判定综合:求面积】..............................28 【解答题6题】....................................................31 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言：在▱ABCD 中，若 AB=BC，则▱ABCD 是菱形。 本质：菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质，同时有自身独有特性。 知识点02:菱形的性质（已知是菱形 ⇒ 结论） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（满足条件 ⇒ 是菱形） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为_____． 【答案】/73度 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值_________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 【详解】解：过作于交于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 【跟踪专练2.】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，于点E，交于点F，则的长为____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，由勾股定理得，由菱形面积得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 解得． 【跟踪专练3】如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质．先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】菱形的两条对角线的长分别是和，则它的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的面积计算，菱形的面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，在菱形中，，， ∴菱形的面积为． 【跟踪专练2】边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 设与交于点，与交于点，根据菱形的性质得出，，，，确定是等边三角形，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 边长为的两个全等的菱形、菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 两个菱形重叠部分的面积四边形的面积， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】关于菱形的性质，下列描述错误的是（    ） A．菱形的对角线互相平分 B．菱形的对角相等 C．菱形的对角线相等 D．菱形的对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，依据菱形及平行四边形的性质判断各选项正误． 【详解】∵菱形是特殊的平行四边形 ∴菱形具备平行四边形的所有性质，即对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 ∴选项A、B、D的描述均正确 ∵菱形的对角线互相垂直但不一定相等，对角线相等的是矩形（正方形） ∴选项C的描述错误 故选：C 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【答案】4 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】菱形中，分别在和上，且是等边三角形，．则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质推出，，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程，求出方程的解即可求出答案． 【详解】    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴ 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键是熟练运用这些性质和定理． 【题型5.添条件使四边形是菱形】 【典例】如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． 【详解】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； B．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； C．添加，可判断平行四边形为矩形，符合题意； D．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 【跟踪专练3】在四边形中，，．如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形和矩形的判定；熟练掌握判定方法是解决问题的关键． 由且，可证四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，添加一组邻边相等即可推出菱形. 【详解】解：∵ ，，且四边形内角和为， ∴ ，即， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）， 又∵ ，且， ∴ ， ∴， ∴ 四边形是平行四边形. A、当时，平行四边形为矩形，不符合题意； B、当时，平行四边形为矩形，不符合题意； C、当时，不能保证菱形，不符合题意； D、当，则平行四边形中一组邻边相等，那么该平行四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如图，在中，若，则四边形是________． 【答案】菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握其判定方法是关键，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴根据邻边相等的平行四边形是菱形， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形 ． 【跟踪专练1】下列关于的叙述，正确的是（   ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，只需根据矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】解：∵已知四边形是平行四边形， 对于选项A：∵，可得，∴有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故A错误； 对于选项B：∵，∴对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故B错误； 对于选项C：∵，∴对角线相等的平行四边形是矩形，因此是矩形，故C正确； 对于选项D：若，无法推出平行四边形的邻边相等，也不能得到特殊平行四边形的判定条件，无法判定为菱形，故D错误． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，下列条件①；②；③平分；④，能判定四边形是菱形的有______填写序号 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； ②， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； ③， ， 平分， ， ， ， ，不能判定四边形是菱形； ④， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明四边形为平行四边形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图由12根完全相同的小棒拼接而成（图中所有的锐角与钝角互补），请你再添4根与前面完全相同的小棒，使拼接后的图形恰好有5个菱形，不同的添法共有（　　）    A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】根据菱形四边相等的性质，找不同位置进行添加，由图中已有3个菱形，且最终恰有5个，需要添加2个菱形，在已有一边的情况下单独添加一个菱形需要3个小棒，按照上下结构进行添加，计数即可． 【详解】解：将各种情况画出的图形如下：      不同的添法共有7种， 故选C． 【点睛】本题考查用相同长度线段构造菱形的做法，按照要求的个数，需要很强的逻辑分类和画图能力，严谨的画图是解题的关键． 【题型7.菱形性质与判定综合:求角度】 【典例】如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    【答案】 【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： . 故答案为： 【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 【答案】66 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，根据题意得出四边形是菱形是解题关键．由三角形中位线定理，推出四边形是菱形，得到，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出，即可求出的大小． 【详解】解：如图，令与的交点为， 、分别是、的中点，、分别是、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选：C. 【题型8.菱形性质与判定综合:求线段长】 【典例】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据题意可证明四边形是菱形，则，再证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质．先根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， ∵正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形，． 故选：． 【跟踪专练2】如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形．如果，那么这个四边形的周长为______cm． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长，证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 由勾股定理得， 由题意可知，，且， ∴四边形为平行四边形， 在和中， ∴， ∴， ∴为菱形， ∴四边形的周长为． 【跟踪专练3】.如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质．分别连接，结合四边形是平行四边形，可得，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴． 又∵G是的中点， ∴． 又∵与不一定相等， ∴①不正确． ∵E，F分别是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有②④． 故选：C． 【题型9.菱形性质与判定综合:求面积】 【典例】如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________．    【答案】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，   ，，， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分． 【跟踪专练1】如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D，F分别是的中点，，若，． （1）的长为____； （2）四边形的面积为_______． 【答案】 5 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：，得证； （2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答． 【详解】（1）∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，点D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形， ∵． 故答案为：5． （2）如图，连接交于点G． ∵点D，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 由（1）知四边形是菱形，， ∴， ∵， ∵， ∵菱形的面积为， 即四边形的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作，得到，证明四边形为菱形，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，    由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故选D． 【解答题】 1．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 2．如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）解：平行四边形； 证明：在菱形中，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：连接，交于点， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴，即为中点， 同理可得， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB的中点，连接OH．若，，求菱形ABCD的面积． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键． 由菱形的性质得，，，由直角三角形斜边上的中线性质求出，再根据勾股定理求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，． 又为的中点， ． 在中，． ∵四边形是菱形， ，， ． 4．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 5．如图，四边形是菱形，．求： (1)的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质平分，从而得到，再求得的度数； （2）由菱形的性质求得，在中，由，可得，再根据勾股定理求得的长度，再根据计算可得；根据计算可得. 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴垂直平分平分和平分和，， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵垂直平分， ∴是直角三角形， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】考查了菱形的性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定和性质等，解题关键是根据菱形的性质得到角与角之间的关系、线段与线段之间的关系. 6．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05菱形同步讲义 【题型01 利用菱形的性质求角度】...................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】.................................4 【题型03 利用菱形的性质求面积】...................................5 【题型04 利用菱形的性质证明】.....................................5 【题型05 添条件使四边形是菱形】...................................6 【题型06 证明四边形是菱形】.......................................7 【题型07 菱形性质与判定综合:求角度】..............................7 【题型08 菱形性质与判定综合:求线段长】............................9 【题型09 菱形性质与判定综合:求面积】..............................9 【解答题6题】....................................................10 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言：在▱ABCD 中，若 AB=BC，则▱ABCD 是菱形。 本质：菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质，同时有自身独有特性。 知识点02:菱形的性质（已知是菱形 ⇒ 结论） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（满足条件 ⇒ 是菱形） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为_____． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值_________． 【跟踪专练1】如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【跟踪专练2.】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，于点E，交于点F，则的长为____． 【跟踪专练3】如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】菱形的两条对角线的长分别是和，则它的面积为________． 【跟踪专练1】菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【跟踪专练2】边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】关于菱形的性质，下列描述错误的是（    ） A．菱形的对角线互相平分 B．菱形的对角相等 C．菱形的对角线相等 D．菱形的对边平行且相等 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【跟踪专练3】菱形中，分别在和上，且是等边三角形，．则等于（    ）      A． B． C． D． 【题型5.添条件使四边形是菱形】 【典例】如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是________． 【跟踪专练1】如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【跟踪专练3】在四边形中，，．如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如图，在中，若，则四边形是________． 【跟踪专练1】下列关于的叙述，正确的是（   ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，下列条件①；②；③平分；④，能判定四边形是菱形的有______填写序号 【跟踪专练3】如图由12根完全相同的小棒拼接而成（图中所有的锐角与钝角互补），请你再添4根与前面完全相同的小棒，使拼接后的图形恰好有5个菱形，不同的添法共有（　　）    A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【题型7.菱形性质与判定综合:求角度】 【典例】如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    【跟踪专练1】如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【题型8.菱形性质与判定综合:求线段长】 【典例】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为____． 【跟踪专练1】如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形．如果，那么这个四边形的周长为______cm． 【跟踪专练3】.如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型9.菱形性质与判定综合:求面积】 【典例】如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________．    【跟踪专练1】如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D，F分别是的中点，，若，． （1）的长为____； （2）四边形的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 2．如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求四边形的面积． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB的中点，连接OH．若，，求菱形ABCD的面积． 4．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 5．如图，四边形是菱形，．求： (1)的度数； (2)求菱形的面积． 6．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $