专题05菱形易错必刷题型专项训练(16大题型共计48道题)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形高频易错点，以16类题型为载体，通过典题特征与易错点双维度提炼，构建性质-判定-综合应用的完整解题体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|4题型，每题型3题|结合邻角互补、对角线垂直平分，用勾股定理、特殊三角形求解角度、线段、面积|从菱形边、角、对角线基本性质出发，逐步拓展至性质证明| |判定应用|2题型，每题型3题|添条件需先证平行四边形，证明需证邻边相等或对角线垂直|衔接性质，形成“性质推导判定，判定验证性质”的闭环| |性质与判定综合|3题型，每题型3题|先判定菱形再用性质计算，或结合角度、线段反推判定条件|整合性质与判定，提升综合推理能力| |综合拓展|7题型，每题型3题|动点问题用对称性，最值问题用垂线段最短，坐标系结合坐标公式|关联折叠、分类讨论等中考热点，强化知识迁移与应用意识|

专题05菱形易错必刷题型专项训练 本专题汇总菱形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形中的动点问题 题型11.菱形中的最值问题 题型12.菱形与坐标系综合 题型13.菱形中的折叠问题 题型14.菱形的多结论判断问题 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形的分类讨论问题 易错必刷题型01.菱形的性质求角度 典题特征：以菱形为载体，结合邻角互补、对角线平分内角等性质计算角度，常与特殊三角形、平行线性质综合考查。 易错点：①混淆菱形对角线与边的夹角关系，误将对角线夹角当作内角计算；②忽略菱形邻角互补、对角相等的性质，直接套用三角形内角和计算；③未利用菱形对角线平分内角的性质，导致角度拆分错误。 1．如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 3．如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，可利用即可证明； （2）结合菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型02.菱形的性质求线段长 典题特征：利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理、特殊三角形求边长或对角线长。 易错点：①误将菱形对角线直接当作边长计算，忽略对角线互相垂直平分的性质；②计算对角线长度时，未将对角线平分后的线段代入勾股定理；③混淆菱形对角线与边的数量关系，误用特殊三角形边长比计算。 4．菱形的两条对角线长分别为10和14，则该菱形的边长为（    ） A．70 B．71 C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可计算出菱形的边长． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴两条对角线的一半长分别为 5，7， 菱形的边长为以这两段为直角边的直角三角形的斜边， 根据勾股定理，可得边长为． 5．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 【答案】 【分析】由菱形的面积公式可得的长，由菱形的性质可得为的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 6．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为平分和，推出，同一个三角形中，等角对等边求得，再证明三角形全等，得到，证四边形是平行四边形，最后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明结果． （2）利用菱形的性质知，在利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 设， ∵, ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即菱形的边长为2． 易错必刷题型03.菱形的性质求面积 典题特征：利用菱形面积公式（底×高、对角线乘积的一半），结合边长、对角线或高计算面积，常与直角三角形面积公式综合考查。 易错点：①误用“对角线和的一半”计算面积，混淆对角线乘积与和的关系；②未结合菱形对角线垂直的性质，直接用对角线长度计算面积；③忽略菱形高与边长的对应关系，导致底和高不匹配。 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A．60 B．78 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点H是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为____． 【答案】24 【分析】证明出四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，得到，然后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是菱形 ∴，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 9．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过对角线互相平分证四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证该平行四边形有一个直角，从而得矩形； （2）由矩形性质得菱形边长，结合菱形内角条件，用直角三角形性质和勾股定理求对角线长，再用菱形面积公式计算． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知：四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∴，， ∴菱形的面积为：． 易错必刷题型04.菱形的性质证明 典题特征：以菱形为背景，结合边、角、对角线性质，证明线段相等、角相等或三角形全等。 易错点：①证明过程中遗漏菱形的核心性质，导致证明逻辑不完整；②混淆菱形与其他特殊平行四边形的性质，误用矩形对角线相等的性质；③证明三角形全等时，未结合菱形的对边平行、相等推导条件。 10．如图，在菱形中，连接、相交于点O，若，，则菱形的边长为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∵， ∴在中，， 即菱形的边长为13， 故选：C． 11．如图，在菱形中，对角线、相交于点，平分，交、于点、，连接，当，时，点到的距离为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，再根据角平分线的性质得到为直角三角形，再根据，得到，根据含角的直角三角形的性质得出，得出为等边三角形，过点C作，过点作，交延长线于，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用面积法得出的长即可得答案． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【详解】∵四边形为菱形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平方， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，， ∵平分，为等边三角形， ∴为中点，， 过点C作，过点作，交延长线于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 12．如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)平分．理由见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，邻边相等，结合条件，得到等边三角形，根据等边三角形性质，每个角都是，再结合夹着的两组对边分别相等，利用判定三角形全等； （2）过点作于点，作交的延长线于点，根据三角形内角和，求出，根据四边形内角和，求出，再根据邻补角互补得一组相等角，利用判定三角形全等，根据全等三角形性质得，最后根据角平分线的判定定理证明结论． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中，， ． （2）答：平分． 理由如下：过点作于点，作交的延长线于点， 四边形为菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 平分． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和、四边形内角和、邻补角互补、角平分线的判定定理．解决本题的关键的辅助线的构造和全等三角形的判定． 易错必刷题型05.添条件使四边形是菱形 典题特征：已知四边形为平行四边形或基础图形，添加条件使其成为菱形，常以开放型题目考查。 易错点：①直接给普通四边形添加条件，未先证明其为平行四边形；②添加的条件不满足菱形的判定定理（如对角线相等）；③忽略菱形判定的前提条件，混淆不同判定定理的适用场景。 13．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 当时，可以判定为矩形，不能判定为菱形，选项A符合要求； 当时，由平行四边形对边平行得与平行，可得，因此，推出，可判定为菱形，B不符合要求； 当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形，C不符合要求； 当，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定为菱形，D不符合要求． 14．如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为________．（只写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定及菱形的判定是解题的关键． 由菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一） 15．如图1，为等腰三角形，，P点是底边上的一个动点．，． (1)四边形的周长为________． (2)点P运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由； (3)如果不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)当点P运动到中点时，四边形是菱形．理由见解析 (3)点P运动到的平分线上时，四边形是菱形．理由见解析 【分析】（1）由题意可得四边形为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求四边形的周长； （2）当P为中点时，四边形是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，则平行四边形是菱形； （3）P运动到的平分线上时，四边形是菱形，首先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质可得，从而可证出，进而可得，然后可得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （2）解：当点P运动到中点时，四边形是菱形．理由如下： 连结，如图， ，， 四边形是平行四边形． ，P为的中点， ． ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）解：点P运动到的平分线上时，四边形ADPE是菱形，理由如下： 连结． ，， 四边形是平行四边形， 平分， ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 易错必刷题型06.证明四边形是菱形 典题特征：以普通四边形或平行四边形为背景，证明邻边相等、对角线垂直或四条边相等，判定其为菱形，常与全等三角形综合考查。 易错点：①证明菱形时，未先证明四边形为平行四边形，直接用邻边相等判定；②误用“对角线相等”证明菱形，混淆菱形与矩形的判定条件；③证明四条边相等时，未结合图形性质推导所有边相等，仅证明两条邻边相等。 16．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】16 【分析】证明，得到，，证明四边形是菱形，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 17．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，所以，可推出，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，的周长为18， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 18．矩形的对角线，相交于点O，且，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，过点O作，交于点F，交于点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形的面积的． 【答案】(1)见详解 (2)，，，的面积都等于四边形的面积的． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出四边形是菱形． （2）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步得出，设，，根据勾股定理求出，连接交于点K，利用菱形的性质得出，进而可得出，先求出，根据同高等底可知，再证明，，由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，， ∴， 连接交于点K， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∴， 根据同高等底可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 综上，，，，的面积都等于四边形的面积的． 易错必刷题型07.由菱形的性质与判定求角度 典题特征：先判定四边形为菱形，再结合性质计算角度；或已知角度反推判定菱形的条件，常与等腰三角形、平行线性质综合考查。 易错点：①未先判定四边形为菱形，直接套用菱形的性质计算角度；②混淆菱形对角线平分内角的性质，误将对角线夹角当作内角计算；③反推条件时，忽略菱形邻角互补的性质，导致条件推导错误。 19．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】/66度 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20．如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形，证明出，得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，连接， ∵点恰好在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 故选：B ． 21．如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， （1）根据平分，得到，结合四边形是平行四边形，证出，，得出四边形是菱形，即可得． （2）根据四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得出，设，则，即可求解； 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ， ， 设，则， 解得：， ． 易错必刷题型08.由菱形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为菱形，再利用性质结合勾股定理求线段长；或已知线段长度反推判定菱形的条件。 易错点：①未先判定四边形为菱形，直接用菱形四边相等的性质计算线段长；②计算对角线长度时，未利用对角线互相垂直平分的性质，直接套用勾股定理；③反推条件时，忽略菱形对角线与边长的数量关系，导致条件推导错误。 22．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 【答案】24 【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形是菱形，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，于点N， 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 23．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； （2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）得四边形为菱形， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， 即， 在中，． 易错必刷题型09.由菱形的性质与判定求面积 典题特征：先判定四边形为菱形，再利用面积公式计算面积；或已知面积反推判定菱形的条件，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未先判定四边形为菱形，直接用菱形的面积公式计算；②误用“对角线和的一半”计算菱形面积；③反推条件时，忽略菱形对角线垂直的性质，导致条件推导错误。 25．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】过点作于点E，于点，    根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线． 26．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 27．如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，再根据角平分线的定义得到，推出，即可证明结论； （2）设，则，结合（1）中，可得，再求出，由，利用勾股定理得到建立方程求解即可； （3）①证明，推出，结合，得到，进而求出，即可证明；②由①知四边形是平行四边形，易证四边形是平行四边形，再根据，易证四边形是菱形，求出菱形的面积，连接交于点，求出，得到，证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵，即 在中，，， ∴， 解得， ∴； （3）①证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，即， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②解：由①知四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴， 连接交于点，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴或， ∴（负值舍去）或（负值舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则，，，符合题意， 当时，则，，，不符合题意， ∴， 由①， ∴， 又， ∴， ∴． 易错必刷题型10.菱形中的动点问题 典题特征：以菱形为背景，结合点的运动，探究线段长度、图形形状的变化，常与菱形判定综合考查。 易错点：①未结合菱形的性质建立动点的线段长度表达式；②忽略动点的运动范围，导致求出的解超出定义域；③未利用菱形的对称性简化问题，直接分析动点的所有位置。 28．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点M在线段上，且，点P为线段上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，能够找到最小值时的P点是解题关键．过P点作于H，过M点作于N，如图，根据菱形的性质得到，平分，，再判断为等边三角形得到，则，所以，则，所以的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：过P点作于H，过M点作于N，如图， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当M、P、H共线时，的值最小，即的最小值为的长， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 29．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 30．如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点E、F分别在菱形的边上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)证明：不论E、F在上如何滑动，总有； (2)当点E、F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】(1)见解析 (2)不变， 【分析】（1）连接，证明即可； （2）可得，作于H点，由勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】（1）证明：连接． 菱形中，， ， ， 为正三角形， ， ， ∵菱形，， 、为等边三角形， ，， ， ； （2）解：四边形的面积不变． 理由：由（1）得， 则，故，是定值， 作于H点， ∵是等边三角形， 则， ∴， ． 易错必刷题型11.菱形中的最值问题 典题特征：以菱形为背景，利用对称性、垂线段最短或将军饮马模型，求线段和差的最值。 易错点：①未利用菱形的对称性转化线段，直接分析最值；②忽略垂线段最短的适用条件，误用其他模型求最值；③混淆菱形的对称轴，导致线段转化错误。 31．如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】（1）在上截取，如图1，先根据菱形的性质得到，，则，再证明得到，利用两点之间线段最短得到（当且仅当A、M、E共线时取等号），据此求解即可； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2，利用菱形的性质和角平分线的性质得到，所以，根据垂线段最短可得到的最小值为的长，然后由（1）得到即可． 【详解】解：（1）在上截取，如图1， ∵四边形是边长为8的菱形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵（当且仅当A、M、E共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 即最小值为的长， 过A点作于H点，如图1， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； 故答案为：； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， 即的最小值为的长， 由（1）得到， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理． 32．如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】解：菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值， 当时，最小， 当时， 为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 33．如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答； （2）如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算； （3）如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）解：如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． （3）解：如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． 易错必刷题型12.菱形与坐标系综合 典题特征：以平面直角坐标系为背景，结合菱形性质求顶点坐标或线段长度，常与勾股定理、一次函数综合考查。 易错点：①未利用菱形对角线互相垂直平分的性质，直接求顶点坐标；②忽略坐标系中象限的符号，导致坐标计算错误；③混淆菱形的边与对角线的坐标关系，误用坐标公式计算。 34．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 35．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为(　　)    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据翻折的对称性，显然直线OC是满足条件的直线l．另外考虑到过平行四边形的中心任作一条直线都可以把这个四边形分为面积相等的两部分，故过两个平行四边形的中心的直线也是满足条件的直线l，仿照这两条思路问题不难得解． 【详解】分两种情况讨论： ①如下图，    因为平行四边形的对边相等， ∴，因点B的横坐标为6， ∴C点的横坐标为． 即：C点的坐标为． 设直线的解析式为：， 则：． 故的解析式为：． 因是对称轴，故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即为满足条件的直线l． ②自点B作x轴的垂线，垂足为点E，取的中点I，连接EI，如下图．    ∵ A的坐标为，点B的坐标为 ∴，， 由勾股定理得：． 因， ∴． ∴平行四边形是菱形． 因是直角斜边AB上的中线，所有， ∵， 所以． 则△IAE是等边三角形． ∴． ∴， ∴四边形是含内角的菱形． 由翻折性知，四边形也是菱形，且． ∴平分， 则：， ∴． ∴在y轴上． 连接，交y轴于点，则，即垂直于y轴． 因也垂直于y轴， 所以，点位于同一条直线上， ∴点的坐标为． 设与相交于点M，自M点作垂直于x轴，垂足为点D． 则为的中位线， ∴，， ∴点M的坐标为． 因为点的坐标是、， 设直线的解析式为：， ∴ 求得：． ∴直线的解析式为：． 因点是菱形与菱形的中心， 故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即就是满足的条件的直线l． 综合①②两种情况，直线l的解析式为：或， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形、一次函数的解析式、直角三角形中线性质、三角形中位线性质等知识点，解题的关键是根据对称特性作出正确的辅助线． 36．如下图，菱形中，O为坐标原点，点B在x轴上，，． (1)直接写出点B和点A的坐标； (2)P是对角线上一点，以为一边作，与的延长线相交于点D，判断的形状，并给予证明； (3)在（2）的条件下，以、为邻边作，如果点E在第一象限的角平分线上，求的长． 【答案】(1)，； (2)为等边三角形．理由见解析； (3)． 【分析】（1）由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，则可得出点B的坐标，根据30度角的性质和勾股定理可知点A的坐标； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论； （3）过作轴的垂线，交轴于点．设，证明，求出，，可得出方程，解方程求出可得出答案． 【详解】（1）解：四边形为菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作轴交轴于点G， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：为等边三角形． 证明：菱形，且， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 为等边三角形； （3）解：过作轴的垂线，交轴于点． 设， ∵， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ， ∴， 即， 四边形是平行四边形， ，， ∴P到D的平移方式和A到E的平移方式相同， ，， ∴P到D的平移方式为先向右个单位，再向上个单位， ∵ ∴ 点在第一象限的角平分线上 点的横纵坐标相同，即有， 解得， 即． 易错必刷题型13.菱形中的折叠问题 典题特征：以菱形为背景，结合折叠性质（对应边、角相等），求线段长度、角度或判定图形形状，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未利用折叠的性质转化边或角，直接套用菱形的性质；②忽略折叠前后的对应关系，导致线段或角度的等量关系错误；③计算线段长度时，未结合勾股定理建立方程求解。 37．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 【答案】 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点M作于点F， ∵在边长为2的菱形中，，M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，圆外一点到圆上一点距离的最值，含角直角三角形的性质，勾股定理等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 38．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误． 【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线． 又， ， 故选项A正确． B.又点与点关于对称， ， 又， ， 故选项B正确． C和D.如答图，过点作于点．    ， ， ， 易知，， 设， ，， 点是的中点，折叠后点落到上， 点与点重合，． 易知点共线， ． ， ， 解得． ，， ， 故选项C正确，选项D错误． 综上，故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 39．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为24，，即， ∴ ，则， ∴． 易错必刷题型14.菱形的多结论判断问题 典题特征：以菱形为背景，结合性质、判定及相关图形性质，判断多个结论的正确性，常与三角形全等综合考查。 易错点：①未逐一分析每个结论，遗漏关键条件；②混淆菱形的性质与其他特殊平行四边形的性质，误判结论；③忽略图形的特殊情况，导致结论判断错误。 40．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】①②⑤ 【分析】由菱形的性质可得，，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，即可得出，结合四边形内角和计算即可判断①正确；证明，得出，，结合直角三角形的性质即可判断②正确；由全等三角形的判定定理即可判断③错误；求出，再由三角形的面积公式即可判断④错误；由垂线段最短可得，当时，最小，即可判断⑤正确． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 在中，，，在中，，对应边不相等，故和不全等，③错误； ∵， ∴， ∴，故④错误； 如图：由垂线段最短可得，当时，最小， ∵， ∴， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②⑤． 41．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证明，得出，故①正确；证明，得出，故③正确；证四边形是平行四边形，得出，故②正确；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；故④正确； 正确结论的个数是4个． 42．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵E，F分别是，的中点， ∴平分，平分，， ∴ ， ， ∴ ，故①符合题意； ②∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理： ， ， ∴ ， ∴ ，故②符合题意； ③∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴和不全等，故③不符合题意； ④如图，设与交于点M， 同①得：是等边三角形， ∴ ，， 由②可知，， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上所述，其中正确的结论有①②. 题型15.菱形的实际应用问题 典题特征：结合生活实际场景，利用菱形的性质、面积公式解决问题，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未将实际问题转化为菱形的数学模型；②忽略菱形的实际限制条件，导致计算结果不符合实际；③误用菱形的面积公式，导致实际问题的计算错误。 43．如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成，已知菱形的边长为，上、下两排挂钩间的距离为，则挂钩A，E之间的距离是_____． 【答案】30 【分析】连接、交于点O，由题意可知挂钩A，E之间的距离，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，即可求出挂钩A，E之间的距离． 【详解】解：如图，连接、交于点O， ∵木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成， ∴挂钩A，E之间的距离， ∵菱形， ∴，，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴挂钩A，E之间的距离． 44．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，得，再根据勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 红丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：． 45．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 (1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 (2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 (3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 【答案】(1)16 (2)72cm (3) 【分析】（1）利用已知条件证得，从而得到，再利用中点的性质即可解出答案； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长度，再根据证得四边形是平行四边形，所以，同理证得，即可求出答案； （3）连接点的距离不小于4cm，所以直接将代入，利用勾股定理解出答案． 【详解】（1）解：连接，相交于点， ， ∵和中间三个全等的菱形边长相等， ∴， 在和中，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 当点移动到点的位置时， ． （2）解：连接， 由题意得，． ∵四边形是菱形， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，故，且中间的三个菱形边都相等，对应角也相等，则都是全等的菱形， 同理可得， ． 答：此时晾衣架端点到墙壁的距离是72cm． （3）解：当时，， ． ． ． 答：晾衣架活动端点的最大可移动距离为． 题型16.菱形的分类讨论问题 典题特征：以菱形为背景，结合等腰三角形、直角三角形的存在性，或点的位置不确定，分情况讨论线段长度、角度或图形形状，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未对等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点进行分类讨论，导致漏解；②忽略菱形的边、对角线的限制条件，计算出超出范围的解；③混淆菱形的边与对角线的位置关系，导致分类讨论的情况不完整。 46．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 【答案】 【分析】结合题意得：，，当时，而，可得四边形为平行四边形，求解，当时，四边形为菱形，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 当时，而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴， 当时，四边形为菱形， 如图， 过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴． 47．在菱形中，，点是菱形内一点，，则的长为_____． 【答案】或 【分析】分成P在上和P在上两种情况进行讨论，根据是等边三角形，即可求得的长度，在直角中利用勾股定理求得的长，则即可求得． 【详解】解：设和相交于点O． ， ∵四边形是菱形，则垂直平分， 又， ∴点在上， 当P在上时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴． 在中，． 则； 当P在上时，． 综上，的长为或． 48．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)四边形可以是菱形吗？如果可以，求出四边形是菱形时的值． (3)为何值时，是直角三角形？无需说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形能够成为菱形；理由见解析 (3)为或 【分析】（1）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则，再证明即可解决问题． （2）根据（1）的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，②当时，，③当不成立；分别确定等量关系列方程可以求出t的值． 【详解】（1）证明：由题意得：，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得： 四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： ①当时，如图，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ②当时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴在中， ∵， 则， ∴， ③当不成立； 综上所述：当t为或时，为直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05菱形易错必刷题型专项训练 本专题汇总菱形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形中的动点问题 题型11.菱形中的最值问题 题型12.菱形与坐标系综合 题型13.菱形中的折叠问题 题型14.菱形的多结论判断问题 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形的分类讨论问题 易错必刷题型01.菱形的性质求角度 典题特征：以菱形为载体，结合邻角互补、对角线平分内角等性质计算角度，常与特殊三角形、平行线性质综合考查。 易错点：①混淆菱形对角线与边的夹角关系，误将对角线夹角当作内角计算；②忽略菱形邻角互补、对角相等的性质，直接套用三角形内角和计算；③未利用菱形对角线平分内角的性质，导致角度拆分错误。 1．如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 3．如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 易错必刷题型02.菱形的性质求线段长 典题特征：利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理、特殊三角形求边长或对角线长。 易错点：①误将菱形对角线直接当作边长计算，忽略对角线互相垂直平分的性质；②计算对角线长度时，未将对角线平分后的线段代入勾股定理；③混淆菱形对角线与边的数量关系，误用特殊三角形边长比计算。 4．菱形的两条对角线长分别为10和14，则该菱形的边长为（    ） A．70 B．71 C． D． 5．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 6．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的边长． 易错必刷题型03.菱形的性质求面积 典题特征：利用菱形面积公式（底×高、对角线乘积的一半），结合边长、对角线或高计算面积，常与直角三角形面积公式综合考查。 易错点：①误用“对角线和的一半”计算面积，混淆对角线乘积与和的关系；②未结合菱形对角线垂直的性质，直接用对角线长度计算面积；③忽略菱形高与边长的对应关系，导致底和高不匹配。 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A．60 B．78 C．120 D．240 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为____． 9．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 易错必刷题型04.菱形的性质证明 典题特征：以菱形为背景，结合边、角、对角线性质，证明线段相等、角相等或三角形全等。 易错点：①证明过程中遗漏菱形的核心性质，导致证明逻辑不完整；②混淆菱形与其他特殊平行四边形的性质，误用矩形对角线相等的性质；③证明三角形全等时，未结合菱形的对边平行、相等推导条件。 10．如图，在菱形中，连接、相交于点O，若，，则菱形的边长为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 11．如图，在菱形中，对角线、相交于点，平分，交、于点、，连接，当，时，点到的距离为_______． 12．如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)平分吗？为什么？ 易错必刷题型05.添条件使四边形是菱形 典题特征：已知四边形为平行四边形或基础图形，添加条件使其成为菱形，常以开放型题目考查。 易错点：①直接给普通四边形添加条件，未先证明其为平行四边形；②添加的条件不满足菱形的判定定理（如对角线相等）；③忽略菱形判定的前提条件，混淆不同判定定理的适用场景。 13．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 14．如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为________．（只写出一个即可） 15．如图1，为等腰三角形，，P点是底边上的一个动点．，． (1)四边形的周长为________． (2)点P运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由； (3)如果不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由． 易错必刷题型06.证明四边形是菱形 典题特征：以普通四边形或平行四边形为背景，证明邻边相等、对角线垂直或四条边相等，判定其为菱形，常与全等三角形综合考查。 易错点：①证明菱形时，未先证明四边形为平行四边形，直接用邻边相等判定；②误用“对角线相等”证明菱形，混淆菱形与矩形的判定条件；③证明四条边相等时，未结合图形性质推导所有边相等，仅证明两条邻边相等。 16．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为______． 17．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 18．矩形的对角线，相交于点O，且，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，过点O作，交于点F，交于点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形的面积的． 易错必刷题型07.由菱形的性质与判定求角度 典题特征：先判定四边形为菱形，再结合性质计算角度；或已知角度反推判定菱形的条件，常与等腰三角形、平行线性质综合考查。 易错点：①未先判定四边形为菱形，直接套用菱形的性质计算角度；②混淆菱形对角线平分内角的性质，误将对角线夹角当作内角计算；③反推条件时，忽略菱形邻角互补的性质，导致条件推导错误。 19．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 20．如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 21．如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错必刷题型08.由菱形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为菱形，再利用性质结合勾股定理求线段长；或已知线段长度反推判定菱形的条件。 易错点：①未先判定四边形为菱形，直接用菱形四边相等的性质计算线段长；②计算对角线长度时，未利用对角线互相垂直平分的性质，直接套用勾股定理；③反推条件时，忽略菱形对角线与边长的数量关系，导致条件推导错误。 22．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 23．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 24．如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 易错必刷题型09.由菱形的性质与判定求面积 典题特征：先判定四边形为菱形，再利用面积公式计算面积；或已知面积反推判定菱形的条件，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未先判定四边形为菱形，直接用菱形的面积公式计算；②误用“对角线和的一半”计算菱形面积；③反推条件时，忽略菱形对角线垂直的性质，导致条件推导错误。 25．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是_______． 26．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 27．如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 易错必刷题型10.菱形中的动点问题 典题特征：以菱形为背景，结合点的运动，探究线段长度、图形形状的变化，常与菱形判定综合考查。 易错点：①未结合菱形的性质建立动点的线段长度表达式；②忽略动点的运动范围，导致求出的解超出定义域；③未利用菱形的对称性简化问题，直接分析动点的所有位置。 28．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点M在线段上，且，点P为线段上的一个动点，连接，则的最小值是______． 29．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 30．如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点E、F分别在菱形的边上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)证明：不论E、F在上如何滑动，总有； (2)当点E、F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 易错必刷题型11.菱形中的最值问题 典题特征：以菱形为背景，利用对称性、垂线段最短或将军饮马模型，求线段和差的最值。 易错点：①未利用菱形的对称性转化线段，直接分析最值；②忽略垂线段最短的适用条件，误用其他模型求最值；③混淆菱形的对称轴，导致线段转化错误。 31．如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 32．如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 33．如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 易错必刷题型12.菱形与坐标系综合 典题特征：以平面直角坐标系为背景，结合菱形性质求顶点坐标或线段长度，常与勾股定理、一次函数综合考查。 易错点：①未利用菱形对角线互相垂直平分的性质，直接求顶点坐标；②忽略坐标系中象限的符号，导致坐标计算错误；③混淆菱形的边与对角线的坐标关系，误用坐标公式计算。 34．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 35．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为(　　)    A．或 B．或 C．或 D．或 36．如下图，菱形中，O为坐标原点，点B在x轴上，，． (1)直接写出点B和点A的坐标； (2)P是对角线上一点，以为一边作，与的延长线相交于点D，判断的形状，并给予证明； (3)在（2）的条件下，以、为邻边作，如果点E在第一象限的角平分线上，求的长． 易错必刷题型13.菱形中的折叠问题 典题特征：以菱形为背景，结合折叠性质（对应边、角相等），求线段长度、角度或判定图形形状，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未利用折叠的性质转化边或角，直接套用菱形的性质；②忽略折叠前后的对应关系，导致线段或角度的等量关系错误；③计算线段长度时，未结合勾股定理建立方程求解。 37．如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 38．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 39．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 易错必刷题型14.菱形的多结论判断问题 典题特征：以菱形为背景，结合性质、判定及相关图形性质，判断多个结论的正确性，常与三角形全等综合考查。 易错点：①未逐一分析每个结论，遗漏关键条件；②混淆菱形的性质与其他特殊平行四边形的性质，误判结论；③忽略图形的特殊情况，导致结论判断错误。 40．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 41．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 42．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型15.菱形的实际应用问题 典题特征：结合生活实际场景，利用菱形的性质、面积公式解决问题，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未将实际问题转化为菱形的数学模型；②忽略菱形的实际限制条件，导致计算结果不符合实际；③误用菱形的面积公式，导致实际问题的计算错误。 43．如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成，已知菱形的边长为，上、下两排挂钩间的距离为，则挂钩A，E之间的距离是_____． 44．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 45．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 (1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 (2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 (3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 题型16.菱形的分类讨论问题 典题特征：以菱形为背景，结合等腰三角形、直角三角形的存在性，或点的位置不确定，分情况讨论线段长度、角度或图形形状，常与勾股定理综合考查。 易错点：①未对等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点进行分类讨论，导致漏解；②忽略菱形的边、对角线的限制条件，计算出超出范围的解；③混淆菱形的边与对角线的位置关系，导致分类讨论的情况不完整。 46．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 47．在菱形中，，点是菱形内一点，，则的长为_____． 48．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)四边形可以是菱形吗？如果可以，求出四边形是菱形时的值． (3)为何值时，是直角三角形？无需说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $