精品解析：河南省光山县第二高级中学2026届高三下学期数学测试2月27

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出复数，代入求解即可. 【详解】由题意知，所以． 故选：A. 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像的平移变换和伸缩变换得出结论. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得的图象. 故选：A. 4. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质及前项和得，即可求公比. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，结合已知， 所以，化简得， 又，所以. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先取，计算和时函数的上确界，结合单调性定义排除，当时，根据分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端的上确界小于等于右端函数值的最小值，得到不等式组，求出的范围. 【详解】当时，， 由，知在上不单调递增， 当时，因为在上单调递增，， 解得，故实数的取值范围为． 故选：D． 7. 已知直线：（）与曲线：恰有两个不同的公共点，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】明确曲线表示的是两个半圆，数形结合，根据直线与曲线恰有两个不同交点，可求和的值. 【详解】由题意得，所以， 当时，曲线为：（）， 当时，曲线为：（）， 显然曲线和为半圆，如图所示. 直线：经过点， 由图可知当时，直线与曲线公共点个数不是2， 所以，且与仅有一个交点，不妨设为， 必有与也仅有一个公共点，所以与相切，切点为， 易知，，所以的倾斜角为，其斜率为，即，所以， 又点到的距离为1，则， 又，所以，则. 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的外接球的表面积为 C. 平面 D. 异面直线与所成角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆柱的侧面积公式判断A的真假；求圆柱的外接球半径，利用球的表面积公式求圆柱外接球的表面积，可判断B的真假；构造线线平行，利用线面平行的判定定理判断C的真假；明确两条异面直线所成的角，利用直角三角形的边角关系求正切，可判断D的真假. 【详解】圆柱的侧面积，故A错误； 取的中点，连接，如图： 易求得，所以圆柱的外接球的半径为， 故该球的表面积为，故B正确； 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故C正确； 连接，因为，所以为异面直线与所成的角， 因为为的中点，，所以，则， 在中，， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 10. 已知椭圆：（）的离心率为，长轴长为4，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，其中点在第一象限.，分别为线段，的中点，，为坐标原点，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最小值为 D. 的内切圆的半径的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】由离心率和长轴长、椭圆参数的关系求参数，确定椭圆方程，再由椭圆的对称性和定义判断B，设，利用点在椭圆上及两点距离公式求判断C，应用等面积法及椭圆的有界性判断D. 【详解】设的焦距为，由题意知，解得，， 所以，则的方程为，故A错误； 如图，设的左焦点为，连接，， 由的对称性知， 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 根据椭圆的定义知，故B正确； 设，则，所以， 所以， 当时，，故C错误； 由椭圆的定义知， 设的内切圆的半径为，则， 又，而， 所以，即，解得， 所以的取值范围为，故D正确. 11. 已知函数 满足 ，，且，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据赋值法即可判断出选项A，B；根据赋值法求出解析式，代入解不等式即可得到选项C；通过构造函数结合函数单调性得到与5的大小，进而得到与的大小，即可判断选项D. 【详解】令，，则，即， 因为，所以，则，故A正确； 令，，则，所以， 又，所以 0，故B错误； 令，得，即，所以， 由，得 ，即， 两边平方并整理得，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 令，则，所以在上单调递减， 又，，所以，所以 ， 取，得，所以， 又在上单调递减，所以，故 正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量 ，，若 ，则实数 _____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量垂直求解即可. 【详解】由题意得 ，. 因为，所以 ，解得 . 故答案为：4. 13. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与在第四象限内交于 两点，若，则直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义将和转化为点到准线的距离，然后设出直线的方程，联立抛物线方程，结合已知条件求出直线的斜率. 【详解】设，由题意知直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立，整理得， 则， 所以，且， 由抛物线的定义知， 因为，即， 所以，解得， 所以，解得， 故． 故答案为： 14. 某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定的所有可能取值，再结合排列、组合及古典概型概率计算公式求得对应概率即可求解. 【详解】由题意的可能取值为2，3，4，5， 则 ，， ，， 所以 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求； （2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）． 附：经验回归模型中，； 参考数据：． 【答案】（1）； （2），估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率公式及条件概率公式求解. （2）由给定数表求出，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而进行数据估计. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 依题意，，， 则， ，因此， 当时，， 所以估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分. 16. 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过变形递推关系式并构造常数列求解； （2）通过等差数列前项和公式、裂项相消求和法求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以数列是常数列， 又，所以，故． 【小问2详解】 由（1）可知，是等差数列，则， 所以， 故， ． 17. 如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若平面，当的周长最小时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 证明：因为，所以，， 因为，且，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以，则， 又，且，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直证线线垂直，再用线面垂直的判定定理即可证明； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，最后代入公式即可； （3）设点关于点的对称点为，分析出的周长最小，只需求最小即可，最后运用等体积转换求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，则，， 由（1）可知，又，平面且，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，故，，两两垂直， 以为原点，以直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，. 设平面的一个法向量，则即 令，得，，所以， 由上知平面的一个法向量， 所以， 由题意知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设点关于点的对称点为，则， 因为，故要使的周长最小，只需最小， 由（1）知平面，连接，则，且， 所以，当且仅当，，三点共线时取得等号， 设（），则， 所以， 因为平面，设， 又，，，，所以， 则，又， 所以， 则解得，所以. 三棱锥的体积. 18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，的渐近线方程为． （1）求的方程； （2）若是上不同于 的两点，过作与直线平行的直线交直线于点，过作与直线平行的直线交直线于点． （i）若点在第一象限，记直线的斜率分别为，求的最小值； （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由题意设直线的方程为， 直线的方程为， 由得所以， 由得， 即，所以， ，所以． 由题意得直线的方程为， 即． 由（i）知直线的斜率为，故其方程为，设， 由得，所以， 设点为直线上一点，则，又， ， 则， 所以， ， ， 故直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质求出的值，进而得出双曲线的方程. （2）（i）先根据双曲线方程得出的值，再利用基本不等式求的最小值. （ii）设出坐标，根据平行的性质求出的坐标，进而得出的方程，最后证明直线恒过定点. 【小问1详解】 由题意得，所以， 又的渐近线方程为，所以，则， 故的方程为． 【小问2详解】 （i）由（1）知，设， 由点在第一象限可知，且，所以，如下图： 所以． 又，所以， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （ii）略 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）设，若存在，使得，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为和 （2）证明：设， 则， 因为，则，所以， 所以， 所以在上单调递增，又，所以当时，， 所以当时，， 所以，即． （3）证明：由，得， 则， 即． 由（2）知，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 又，所以，即． 又，所以，所以． 【解析】 【分析】（1）先对求导，再分析导数在内的正负区间，进而得到单调区间， （2）设，，再通过求导判断的单调性，结合端点值证明， （3）先对已知等式变形，结合（2）可得，再利用导数证明，由此可得，再证明结论. 【小问1详解】 由，得， 令，解得；令，解得，或， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 证明：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：（）与曲线：恰有两个不同的公共点，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的外接球的表面积为 C. 平面 D. 异面直线与所成角的正切值为 10. 已知椭圆：（）的离心率为，长轴长为4，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，其中点在第一象限.，分别为线段，的中点，，为坐标原点，则（ ） A. 的方程为 B. C. 的最小值为 D. 的内切圆的半径的取值范围为 11. 已知函数 满足 ，，且，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量 ，，若 ，则实数 _____. 13. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与在第四象限内交于 两点，若，则直线的斜率为__________． 14. 某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求； （2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）． 附：经验回归模型中，； 参考数据：． 16. 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）设为的前项和，求数列的前项和． 17. 如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若平面，当的周长最小时，求三棱锥的体积. 18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，的渐近线方程为． （1）求的方程； （2）若是上不同于 的两点，过作与直线平行的直线交直线于点，过作与直线平行的直线交直线于点． （i）若点在第一象限，记直线的斜率分别为，求的最小值； （ii）证明：直线恒过定点． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）设，若存在，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $