精品解析：河北石家庄市裕华区2026年九年级第一次模拟考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答、在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣8的立方根是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是找出一个立方为－8的数，考查了学生对基础知识的理解与掌握． 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 3. 如图，已知，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再结合即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形边的性质，抓住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的规律即可求解． 根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别确定x的取值范围，再取交集，再由等腰三角形定义即可求解． 【详解】解：∵上面三角形的三边长分别为9，8，x， ∴， 即， ∵下面三角形的三边长分别为5，16，x， ∴， 即， ∴， ∵图中三角形有一个是等腰三角形， ∴x只能取16， 故选：D． 6. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，由甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，列方程即可求解． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 根据题意可得：， 故选：D． 7. 一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则a的值可以是（　　） A. ﹣2 B. 0.2 C. 1.2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法可得，结合选项即可求解． 【详解】解：一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则,为整数． 的值可以是 故选A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 8. 问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉说得对 B. 琪琪说得对 C. 珍珍说得对 D. 三名同学说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， 此时方程无实数根，珍珍说得对． 故选：． 9. 甲、乙两人进行为期五天的篮球投篮测试，图是甲、乙每天10次投篮测试中投中次数的统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的方差比乙的方差小 D. 甲的平均数比乙的平均数大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，中位数，方差，平均数， 先根据统计图得出甲，乙10天投中次数，再根据众数，中位数，方差，平均数的定义解答并比较即可． 【详解】解：甲五天10次投中次数为3,6,7,6,8，重新排列为3,6,6,7,8； 乙五天10次投中次数为2,2,7,9,10，重新排列为2,2,7,9,10； 甲的众数是6，乙的众数为2； 甲的中位数为6，乙的中位数为7； 甲的平均数为，乙的平均数为； 甲的方差为， 乙的方差为． 所以甲、乙的众数不相同，中位数不相同，平均数相同，甲的方差比乙的方差小． 故选：C． 10. 以下尺规作图能得到平分的是（ ） A. 只有① B. 只有② C. ①② D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图的几何意义，结合三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了角的平分线尺规作图，三角形全等的判定和性质，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握掌握尺规作图，平行线的性质，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】如图，根据作图，得到， ∴， ∴， 即平分， 故①正确； ； 如图，根据作图，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故②正确； 如图，根据作图，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 故③正确； 故选D． 11. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而求得得的长即可． 【详解】解：如图所示： ∵正方形的边长为1，即， ∴正方形的面积为1， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由图形的拼接可知：， ∴． 故选：D． 12. 已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了次“正横跳马”，再连续做次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ①②，得：， ， 二、填空照（本大题共4小题，每小题3分，共12分．16题第一空2分，第二空1分） 13. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式的分子运用平方差公式进行因式分解，再根据分式乘法运算法则约分，即可得到化简结果． 【详解】解：． 14. 六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等，在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正六边形的性质得，，由余弦函数得，同理得，，进而得四边形是菱形，根据面积公式即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ， ， 同理可得，， 在中，， 同理可求得，， 四边形是菱形， 四边形的面积为：． 15. 如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数_________． 【答案】2 【解析】 【分析】题目主要考查算术平方根的应用，理解题意得出B的边长的取值范围是解题关键． 根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为2，的面积为5， ∴的边长为，的边长为， ∴的边长， ∴的边长可以是整数2， 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段． （1）k的值为________； （2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________； 【答案】 ①. –10 ②. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）作射线ON，交y=-于点N′，求得点N′（–，2），据此即可求解． 【详解】解：（1）∵点M（–5，2）反比例函数的图象上， ∴k=–5×2=-10， 故答案为：-10； （2）∵k=-10， ∴反比例函数的解析式为y=-， 如图，作射线ON，交y=-于点N′， 设ON的解析式为y=mx， 把N（–1，2）代入得：2=-m， 解得m=-2， ∴ON的解析式为y=-2x， 解方程-2x=-得x=， 由于点N′在第二象限， ∴点N′（–，2）， ∴n==， 又∵n>1， ∴1<n≤， ∴n的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，位似图形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知算式“”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】（1） （2）嘉嘉把“8”错写成了3 （3）淇淇的计算结果比原题的正确结果大10 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据题意求出淇淇的计算结果，然后再列式求出结果即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意，得：， 解得， 即嘉嘉把“8”错写成了3； 【小问3详解】 解：淇淇的结果为：， ， 淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 18. 一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． （1）求，的值； （2）当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 【答案】（1）， （2）这个活动小组有5个人 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质、整式的混合运算，熟练掌握等式的性质及整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先求出，再根据即可求解； （2）根据题意求出，再结合的结果都能被这个活动小组的人数整除即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ∵ ∴ ∴，解得： 小问2详解】 解：由（1）得： ∴， ∴ ∵的结果都能被这个活动小组的人数整除， ∴这个活动小组有5个人 19. 本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，等：优秀；等：良好；等：及格；等：不及格），并将结果汇成了如图所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______人； （2）图扇形图中等所在的扇形的圆心角的度数是______； （3）我校九年级有名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______人； （4）已知得等的同学有一位男生，体育老师想从位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）选中的两人刚好是一男一女的概率为． 【解析】 【分析】（）根据B级的人数除以级所占的百分比，可得答案； （）先求出等级的人数，再求出等级所占比例，根据圆周角乘以等级所占的比例，可得扇形的圆心角； （）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以级所占的比例，可得答案； （）根据题意画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可； 本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的学生人数为（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：等级的人数为（人）， ∴等所在的扇形的圆心角的度数， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：画树状图为： ∴共有种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率． 20. 【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【解析】 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台最大长度约为米． 21. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； （2）请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【解析】 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； 【小问2详解】 解：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： 【小问4详解】 解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 22. 【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． （1）求的度数和的度数； （2）当反射光线与平行时，求的长度； （3）在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得，结合，根据直角三角形两锐角互余得的度数，由切线的性质得，由圆周角定理得，从而可求出的度数； （2）过点作，由得，得，由勾股定理得，由垂径定理得计算即可； （3）根据点的运动路径得点的运动路径长为的长即可得出结论． 【小问1详解】 解：是直径， ， ， ， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：过点作，则， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ； 【小问3详解】 解：由题意得，点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中，当点与点重合时，记反射光线与半圆交于点，连接、，如图所示， 由（2）知即， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点的运动路径长为：． 23. 【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度. 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 （1）接到温水的体积是_______，接到开水的体积是_______；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为℃，则关于的关系式是_______；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是_______． 【答案】（1）， （2）20秒 （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用； （1）利用接到温水的体积温水的水流速度接温水的时间，可用含的代数式表示出接到温水的体积；利用接到开水的体积整杯水的体积接到温水的体积，即可用含的代数式表示出接到开水的体积； （2）根据所接的温水的体积不少于开水体积的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可找出关于的函数关系式，再结合饮水最佳温度是(包括与， 即可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：∵温水水流速度为，接温水用时秒， ∴接到温水的体积是， 又∵共接水， ∴接到开水的体积是， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得：， ∴的最小值为， 答：至少应接温水秒； 【小问3详解】 解：根据题意得： 解得：， 答： 的值为； 【小问4详解】 根据题意得：， ， ∵饮水最佳温度是(包括 与 ， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：，． 24. 如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出a的值； （2）连接，作轴于，作轴于M，证明，可得，，故抛物线的顶点E的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于M，于N，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点N的坐标为，再分类讨论即可得出答案．①当是直角三角形时，显然只能有；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，i）当时，ii）当时，根据勾股定理列方程求出m的值，即可求出P点的坐标． 【小问1详解】 解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； 【小问2详解】 解：对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于M， ∵， ∴， 根据题意，点，E关于点成中心对称， ∴过点B，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点E的坐标为， ∵抛物线由绕点P旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； 小问3详解】 解：∵抛物线由绕x轴上的点P旋转后得到， ∴顶点，E关于点P成中心对称，由（2）知，点E的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于M，于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，、和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了图形的变换—中心对称变换、二次函数综合应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据旋转中心是对应点连线的中点确定点的坐标和分情况讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答、在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣8的立方根是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. D. 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 3. 如图，已知，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 16 6. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则a的值可以是（　　） A. ﹣2 B. 0.2 C. 1.2 D. 12 8. 问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉说得对 B. 琪琪说得对 C. 珍珍说得对 D. 三名同学说法都不对 9. 甲、乙两人进行为期五天的篮球投篮测试，图是甲、乙每天10次投篮测试中投中次数的统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的方差比乙的方差小 D. 甲的平均数比乙的平均数大 10. 以下尺规作图能得到平分的是（ ） A. 只有① B. 只有② C. ①② D. ①②③ 11. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 12. 已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空照（本大题共4小题，每小题3分，共12分．16题第一空2分，第二空1分） 13. 化简的结果为______． 14. 六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等，在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是______． 15. 如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数_________． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段． （1）k的值为________； （2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________； 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知算式“”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 18. 一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． （1）求，的值； （2）当为任意正整数时，结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 19. 本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，等：优秀；等：良好；等：及格；等：不及格），并将结果汇成了如图所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______人； （2）图扇形图中等所在的扇形的圆心角的度数是______； （3）我校九年级有名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______人； （4）已知得等的同学有一位男生，体育老师想从位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 20. 【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 21. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； （2）请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成日记中“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 22. 【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． （1）求的度数和的度数； （2）当反射光线与平行时，求长度； （3）在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 23. 【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度. 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 （1）接到温水的体积是_______，接到开水的体积是_______；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为℃，则关于的关系式是_______；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是_______． 24. 如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $