正弦定理的3种应用专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理的3种应用专项训练 正弦定理的3种应用专项训练 考点目录 正弦定理求三角形解的数量问题 正弦定理求三角形形状问题 正弦定理边角互化与解三角形 考点一 正弦定理求三角形解的数量问题 例1．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A 例2．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角的对边分别为，则的解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】因为，， ， 因为，所以， 所以的值有两个， 即的解有2个， 故选：C 例3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由有两解，得即解得， 故选：A． 变式1．（24-25高一下·河南南阳·月考）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 变式2．（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 变式3．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（   ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 【答案】B 【详解】由正弦定理可知，，即，得， 因为，所以或， 所以此三角形有两解. 故选：B 考点二 正弦定理求三角形形状问题 例1．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 例2．（2026·山东临沂·一模）在中，“”是“为直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】先考查充分性： 由，可得， 整理得，由正弦定理得，故为直角三角形，充分性正确； 再考查必要性： 若为直角三角形，不妨令，代入，即必要性不成立. 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 例3．（25-26高二上·广东深圳·期末）若的三条边，，满足，则的形状是______三角形（填“锐角”，“钝角”或“直角”）. 【答案】钝角 【详解】因为， 不妨设，解得， 可知角C为最大角，且， 又因为，可得角C为钝角， 所以的形状是钝角三角形. 故答案为：钝角. 例4．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）在中，已知，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【详解】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形 变式1．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 变式2．（24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由已知条件得， 代入余弦定理公式化简得，即， ， . 故选：B 变式3．（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 变式4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，若，则该三角形为_______三角形． 【答案】直角 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 又因为，可得， 且， 所以， 所以， 因为，，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故答案为：直角. 考点三 正弦定理边角互化与解三角形 例1．（2026·四川内江·二模·多选）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 【答案】ABD 【详解】因为， 所以，即， 所以，由可知，即为钝角， 又，所以， 又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由可得，所以或（舍去）， 即，故B正确； 由AB可知，，所以，故， 因为，所以， 由正弦定理，，即， 解得，所以，故C错误； 由可知，， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 例2．（2026·辽宁抚顺·一模·多选）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则， 又，所以，解得，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径，所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 例3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在中， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，则， 则， 因为，所以， 则有，解得，则. （2）由题意得，其中， 则，解得， 由余弦定理得， 因为，则， 则的周长为. 例4．（25-26高三下·福建·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求b. 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由和正弦定理，得， 即． 因为．所以． 又因，所以． （2）由余弦定理，因， 可得． 即，解得或（舍去）， 所以． 例5．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 例6．（2026·湖南邵阳·一模）在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 【答案】(1)1. (2) 【详解】（1）在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. （2）因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 变式1．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试·多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（   ） A． B．角A的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】， 由正弦定理得， 即， ，故A错误； ， ，，故B正确； 由，则，令, 又，即， ，即， 解得，又， ； 同理，即， ，即， 解得（舍去）或， 综上，，故 所以， 故C正确； ， ，当时取等， 即的最大值为，故D正确． 变式2．（2026·江西·一模·多选）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 变式3．（2026·辽宁辽阳·一模）已知的内角，，的对边分别是，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知边角互换得 ， 因为， 则，即. 又因为是的内角，所以 可得. （2）余弦定理：，将，，代入得 ( 整理得 解得。 变式4．（25-26高三上·青海·月考）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 化简得，则. 且，所以. （2）因为，， 的面积为，可得， 由余弦定理可得， 则，所以. 变式5．（2025·青海·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求； (2)已知，的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 即， 因, 代入上式，可得， 因，则得， 又，所以． （2）由余弦定理，，即① 的周长为，即② 由①②解得，， 所以的面积． 变式6．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·期中）在中，角的对边分别为．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得到， 又，则，所以，显然， 所以，又，则. （2）由余弦定理，又，， 所以，整理得到，解得， 所以的值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $正弦定理的3种应用专项训练 正弦定理的3种应用专项训练 考点目录 正弦定理求三角形解的数量问题 正弦定理求三角形形状问题 正弦定理边角互化与解三角形 考点一 正弦定理求三角形解的数量问题 例1.(24-25高一下·河南月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,符合下列条件的三角形有且只有一个 的是() A.c=10,A=45°，C=30 B.B=120°，b=1,c=2 C.a=2,b=V2,c=5 D.a=V5,b=2,A=45 例2.2425高-下安徽月考)在4BC中，角4，B.C的对边分别为a,6c,a=2.6=V5,B=至，则48C的解有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例3.(2425高一下广东广州期中)已知ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,C,且满足a=√2，B=元的 三角形有两个，则b的取值范围为() A.L,√2) B.(V2,2) C.(1,2) D.(0,√2) 变式1.(2425高一下河南南阳月考)在48C中，角4，B,C所对的边分别为a,6c,已知b=36,A-牙若三 角形有两解，则边a的取值范围为() A.(0,3v6 B.1,36 C.3v5,36 D.(3V5,+∞】 正弦定理的3种应用专项训练 变式2.(24-25高一下河南期中)在ABC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,B=兀，b=x(x为 3 常数)，若该三角形有两个解，则x的取值范围是() A.（2,4 B.(5,4 c.(5,2 D.（1,2 变式3.(24-25高一下-陕西威阳期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=45,b=12,C= 6 则此三角形() A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定 正弦定理的3种应用专项训练 考点二 正弦定理求三角形形状问题 例1.(2026-湖南怀化一模)在ABC中，内角4，B,C的对边分别为ab,c,asinC+b=2bcos24+acosB,则ABC 一定为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 例2.(2026山东临沂一模)在ABC中，“cos2A+cos2B-cos2C=1”是“ABC为直角三角形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例3.(25-26高二上广东深圳期末)若ABC的三条边a,b,c满足a+b:(b+c:c+a=7:9:10,则ABC的 形状是三角形（填“锐角”，“钝角”或“直角”）. 例4.(24-25高一下内蒙古包头月考)在ABC中，已知sin4=cos1, c0sB’ 则ABC的形状是 sinB 变式1.(25-26高三上陕西咸阳期末)若a,b,c是ABC的内角A,B,C的对边， 0+c-b2 =2,且 c a ac sinBsinC)则ABc是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.三边互不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形 正弦定理的3种应用专项训练 变式2.(24-25高三上贵州遵义·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-bcosC=0,则 ABC为() A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 变式3.(24-25高一下·上海·期中)在ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C,则ABC的形状为 变式4.(24-25高一下·江苏徐州月考)在ABC中，若a cos B+acosC=b+c,则该三角形为三角形. 正弦定理的3种应用专项训练 考点三 正弦定理边角互化与解三角形 例1.(2026-四川内江·二模多选)己知ABC的面积为，角A、B、C的对边分别是a、b、c,anB= cosC 1+sinC c2-b2=ab,则() A.4-8- B.C=2B C.c=2 D.BC边的中线长为V6-3V2 2 例2.(2026辽宁抚顺一模·多选)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为2，且 acosB+bcosA=c(4cosA-1),则下列结论正确的是() A.A=π 6 B.a=2/3 C.ABC面积的最大值为3√3 D.若6-c=2,角A的平分线交BC于点D,则AD=4 例3.(25-26高二上·浙江杭州期中)在ABC中，2 ccosC=√3 a cos B+√3 bcos A (1)求∠C; (2)若b=6,且ABC的面积为63，求ABC的周长. 5 正弦定理的3种应用专项训练 例4.(25-26高三下·福建开学考试)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 acosB+bcos4=10 cos4. (I)求c0sA; (2)若a=c=5,求b. 例5.(2026山东东营.一模)已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(a,b),i=V3cosA,sinB, 币=(b-c,a-c. (1)若m/m,求A; (②)若m⊥元，c=2,C=元，求ABC的面积 3 6 正弦定理的3种应用专项训练 例6.(2026湖南邵阳一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+3 sinAcosBsinC-2sin2C=0 (I)若a=√2，c=2,求ABC的外接圆的半径： ②若o4子b=2,求48C的面积 变式1.(25-26高三下·陕西渭南·开学考试多选)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 2asin A=asin 2B+2bsin B cos A,) A.a2=2bc B.角A的取值范围为0写 C. 口的取值范围为 -1+V51+V5 2’2 csin B D. 2acos 、A cosB-C的最大值为2 2 cos 2 变式2.(2026·江西一模·多选)在ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sinB=1+cos2C, cosBcosC=1 ABC的面积为1，则() A.bc=2 BA-月 C.cosC cos(A-B)D.bcosC+ccosB=2 > 正弦定理的3种应用专项训练 变式3.(2026辽宁辽阳一模)己知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,√2 csin Acos B=asinC (I)求角B的大小： (2)若b=V2,c=2,求a 变式4.(2526高三上：青海月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,G,sin4+sinB-56-c sinC b-a (1)求角A; (2)若a=万，A8C的面积为55，求6+c 2 6 正弦定理的3种应用专项训练 变式5.(2025·青海模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 2acos B cosC+2ccos Acos B-b=0. (1)求B; (2)已知c=2,ABC的周长为6+2√3，求ABC的面积. 变式6.(25-26高三上·内蒙古乌兰察布期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinB=V3 bcosA, c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求C的值. 9