余弦定理、正弦定理专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

正弦定理、余弦定理 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为地 城 考点01 余弦定理解三角形 余弦定理公式：；；． 推论： 已知两边及其夹角 ，直接求第三边。 1、已知三边，求任意角（先求最大边对角可避免钝角漏解）。 2、已知两边和其中一边的夹角（SAS），可用余弦定理转化为关于第三边的一元二次方程。 注意：已知三边求角时忽略角的范围：若余弦值为负，角为钝角。 1. 在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D 2.在∆ABC中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 /【详解】， . 故选:B 3.设∆ABC的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或．故选：A. 4.在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 地 城 考点02 正弦定理解三角形 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①a＞b＞c → A＞B＞C → sinA＞sinB＞sinC ②======； ③a:b:c=A:B:C； 正弦定理解三角形： （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 1. 在∆ABC中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 2. （多选）在∆ABC中，，，分别为内角，，所对的边，若，，，则的值可能为（     ） A．1 B． C． D． 【详解】在中，，，所以或， 当时，，为直角三角形，所以 当时，，， 由正弦定理得，所以. 所以的值为或. 3. （多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以或． 故选：CD． 4. 在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝ ，解三角形． 地 城 考点03 正余弦定理判断三角形形状 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。 1. 在∆ABC中，角，，所对的边分别为，，，若a＜bcosC，则∆ABC为（    ） A．锐角三角形B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，所以， 所以，因为，所以，所以，所以， 所以为钝角三角形．故选：D 2. 已知∆ABC的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为直角三角形 【详解】若，则，利用正弦定理，可得，所以，故A正确； 若，则利用余弦定理可得，所以为锐角，但不知道是否为锐角，故B不正确； 若为锐角三角形，则，所以，所以，即，故C正确； 若，则利用余弦定理， 可得，即，解得，所以， 所以为直角三角形，故D正确. 3.设∆ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 D.【详解】由，根据正弦定理可得，则，由，则，可得，由，解得.故选： 4.在∆ABC中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 B.【详解】因为，由正弦定理得，即，因为，所以，所以或，所以或，所以的形状一定是等腰或直角三角形.故选： 5. 在∆ABC中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则∆ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【详解】因为，由余弦定理知，所以， 整理得，即的形状是直角三角形.故选：B. 地 城 考点04 三角形解的个数的判断 1. 已知∆ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 答案为：. 2. 在∆ABC中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．，，A＝60°，无解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 1. 地 城 考点05 三角形面积和周长的最值问题 2.（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 3. ABC=a+b+c 在解三角形问题中，面积公式经常可同余弦定理结合起来计算。 1.记∆ABC的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 【详解】由正弦定理可得：又因为， 所以由余弦定理可得：， 所以，又因为 解得：所以的周长为. 故选：B. 2.在∆ABC中，角A，，所对的边分别为，，，已知 (1)求角的大小， (2)若，求面积的最大值，并求出此时对应，的值． （3）求出∆ABC的周长范围 【详解】（1）由，得 所以 所以，即 因为，所以 （2）由余弦定理得： 所以 所以 所以， 当且仅当时，有最大值 3. 已知∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：∆ABC是等腰三角形； (2)若∆ABC的面积为，且，求∆ABC的周长． 【详解】（1）在中，， 由射影定理得，， 所以是等腰三角形． （2）在中，因且，则， 又，即，由(1)知，则有， 在中，由余弦定理得：，解得， 又，则a，b，c能构成三角形，符合题意，， 所以的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 正弦定理、余弦定理 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为地 城 考点01 余弦定理解三角形 余弦定理公式：；；． 推论： 已知两边及其夹角 ，直接求第三边。 1、已知三边，求任意角（先求最大边对角可避免钝角漏解）。 2、已知两边和其中一边的夹角（SAS），可用余弦定理转化为关于第三边的一元二次方程。 注意：已知三边求角时忽略角的范围：若余弦值为负，角为钝角。 1. 在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 2.在∆ABC中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 3.设∆ABC的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 4.在△ABC中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 地 城 考点02 正弦定理解三角形 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①a＞b＞c → A＞B＞C → sinA＞sinB＞sinC ②======； ③a:b:c=A:B:C； 正弦定理解三角形： （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 1. 在∆ABC中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 2. （多选）在∆ABC中，，，分别为内角，，所对的边，若，，，则的值可能为（     ） A．1 B． C． D． 3. （多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 4. 在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝ ，解三角形． 地 城 考点03 正余弦定理判断三角形形状 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。 1. 在∆ABC中，角，，所对的边分别为，，，若a＜bcosC，则∆ABC为（    ） A．锐角三角形B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2. 已知∆ABC的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为直角三角形 3.设∆ABC中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4.在∆ABC中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5. 在∆ABC中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则∆ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 地 城 考点04 三角形解的个数的判断 1. 已知∆ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 2. 在∆ABC中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．，，A＝60°，无解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 1. 2.（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 3. ABC=a+b+c 在解三角形问题中，面积公式经常可同余弦定理结合起来计算。 1.记∆ABC的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 2.在∆ABC中，角A，，所对的边分别为，，，已知 (1)求角的大小， (2)若，求∆ABC面积的最大值，并求出此时对应，的值． （3）求出∆ABC的周长范围 3. 已知∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：∆ABC是等腰三角形； (2)若∆ABC的面积为，且，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $