微专题 平面直角坐标系（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

微专题 平面直角坐标系 目录 题型一、有序数对 1 题型二、写出直角坐标系中点的坐标 5 题型三、求点到坐标轴的距离 11 题型四、判断点所在的象限 15 题型五、已知点所在的象限求参数 17 题型六、坐标系中描点 20 题型七、坐标系中的平移 25 题型八、坐标系中的对称 33 题型九、中点坐标 36 题型十、坐标系中的动点问题（不含函数） 42 题型十一、坐标与图形综合 48 题型十二、点坐标规律探索 57 题型一、有序数对 例1如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 【答案】(1)，，，， (2)①7, 3；② (3)， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用有序数对表示路线 【分析】本题考查利用坐标确定点的位置的方法，正确地理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示是解题的关键． （1）根据规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”即可求解； （2）①将从处去处的行走路线的第一个数相加后等于，表明向右走了6个单位，将行走路线的第二个数相加后等于，表明向上走了1个单位，由此即可求解；②将行走路线的第一个数的绝对值和第二个数的绝对值相加，即可求出从处去处行走的路程； （3）根据，，可知从到时，，，相当于向右走了2个单位，向上走了4个单位，由此即可求解． 【详解】（1）由规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”， 记为，记为， 故答案为：，，，； （2）①若机器人从处去处的行走路线依次为，，，， ， 相当于向右走了6个单位， ， 相当于向上走了1个单位， 点， 点的坐标为， 故答案为：7, 3； ②，， ， 机器人按上述路线从处去处行走的路程为； （3），， 当从到时，，，相当于点向右走了2个单位，向上走了4个单位到达点， 从到应记为：， 故答案为：，． 【变式1-1】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【知识点】用有序数对表示位置、用有序数对表示路线 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 【变式1-2】如图，小鱼家在处，小云家在处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走： 路线①：． 路线②：． （1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短； （2）请你依照上述方法再写出一条路线． 【答案】（1）作图见解析，长度相等；（2）作图见解析 【知识点】用有序数对表示位置、用有序数对表示路线、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据有序实数对的意义即可画出路线①②，再利用平移的性质解答即可； （2）画出路线（10，8）→（10，4）→（4，4）即可． 【详解】解：（1）路线①②如图所示．根据平移的性质可知它们的长度相等． （2）（答案不唯一）画出路线③：，如图所示： 【点睛】本题考查了利用数对确定位置和路线，熟练掌握有序数对的意义是关键． 题型二、写出直角坐标系中点的坐标 例2如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、根据等角对等边证明边相等、坐标系中的对称 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 【变式2-1】如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平面直角坐标系中，如果右眼的坐标是，那么这只“大白”的左眼的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据右眼的坐标是，向左平移一格即可得出点的坐标． 【详解】解：的坐标是，左移1个单位得到点的坐标 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，从平移角度考虑点的坐标更简便． 【变式2-2】已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】坐标系中的平移、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 【变式2-3】如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“不动点”．已知点是函数图像上的“不动点”，点，点，如果四边形是等腰梯形，那么点的坐标是___________． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和HL综合（HL）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了新定义，等腰三角形的性质，一次函数，矩形的判定与性质等知识，根据“不动点”定义求出点A的坐标，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵点是函数图像上的“不动点”， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴，轴， 当时， 如图，过B作于E，交轴于F， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴轴， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，过A作于E，延长交于D ∵，， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， 综上，D的坐标为或， 故答案为：或． 【变式2-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是、、． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)借助网格，用无刻度直尺过点B作，垂足为H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、写出直角坐标系中点的坐标、格点作图题 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，中心对称的性质，熟练掌握轴对称变换的性质，中心对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （3）利用“横纵交换”实现垂直，注意坐标符号． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． （3）如图所示，． 【变式2-5】如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用网格求三角形面积、中点坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，三角形中线三角形面积，坐标与图形． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可； （3）根据中点坐标公式即可得到答案． 【详解】（1）解：点、、的坐标是， 故答案为： （2）的面积是 故答案为： （3）如图，点即为所求， ∵点为的中点，点、的坐标是， ∴点的坐标是 故答案为： 题型三、求点到坐标轴的距离 例3下列说法不正确的是（    ） A．若中，则P点在x轴上 B．点到y轴的距离为2 C．点在第二象限 D．若在x轴上，则 【答案】A 【知识点】求点到坐标轴的距离、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据各象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 若中，则P点在x轴上或轴上，故该选项不正确，不符合题意； B. 点到y轴的距离为2，故该选项正确，符合题意； C. 点在第二象限，故该选项正确，符合题意； D. 若在x轴上，则，故该选项正确，符合题意； 故选：A． 【变式3-1】已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 【答案】或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求点到坐标轴的距离、一次函数与几何综合 【分析】本题考查两点之间的距离公式，设，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∴到的距离为，到直线的距离为， ∵到的距离和到直线的距离相等， ∴， 整理得， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是___________． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了新定义，求一次函数的函数值和自变量的值，点到坐标轴的距离，根据定义可得点A的“短距”为1，则点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，据此求出点B的坐标，再验证其“短距”是否为1即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ∵， ∴点A的“短距”为1， ∵两点为“等距点”， ∴点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1， ∵点B在第三象限， ∴点B的横纵坐标都为负， 在中，当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为1，符合题意； 当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为0，不符合题意； ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是___________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查直线上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，解一元一次方程．根据点A是直线在第一象限内的一点，设，其中，，根据点A到两坐标轴的距离相等列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点A是直线在第一象限内的一点， ∴设，其中，， ∵点A到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 【变式3-4】如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． (1)求的值； (2)已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解和的值； （2）设，则可求，利用求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ∴直线， ∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：如图，设， ∵点在轴上，且在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∵的面积为， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴点的坐标为或． 题型四、判断点所在的象限 例4在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据点M在第二象限，得出m和n的符号，再判断点N的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点N在第三象限， 故选：C． 【变式4-1】若点在第三象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限点的坐标特点，由点在第三象限，可得，，进而得到，，据此即可求解，掌握各象限点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点在第四象限， 故选：． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点B在第________象限． 【答案】三 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、判断点所在的象限 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征、平方的非负性、象限内点的坐标符号特征，掌握关于轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，以及利用平方的非负性判断坐标符号是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标变化规律，横坐标取相反数，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限． 【详解】解：点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为 ∵，∴，则； ∵，∴； 因此点的横坐标为负，纵坐标为负， 故点在第三象限． 故答案为：三． 【变式4-3】已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 题型五、已知点所在的象限求参数 例5若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可． 【详解】解：点的坐标为 ． 第一象限要求且，即且，解得，有解； 第二象限要求且，即且，解得，有解； 第三象限要求且，即且，即且，无解； 第四象限要求且，即且，解得，有解． 点不可能在第三象限． 故选：C． 【变式5-1】如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】已知点所在的象限求参数、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 【变式5-2】平面直角坐标系中，点在第四象限且到轴的距离为1，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离． 根据点在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，且到轴的距离为纵坐标的绝对值，结合给定条件列方程求解，进而可求点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴且， 即， 又∵点到轴的距离为1， ∴， 解得：（舍去）或， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标： (2)若点P在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为7，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在x轴上的点的坐标特点，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据点的坐标特征，可得，即可解答； （2）根据点的坐标特征，列方程，求得的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P在第二象限， ∴， 根据题意可得， 解得， ∴，． ∴． 题型六、坐标系中描点 例6图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【知识点】坐标系中描点 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 【变式6-1】如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】坐标系中描点、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形面积问题．根据轴，，可求出的高，再根据点C在第四象限，即可求解． 【详解】解：由图可知，轴，且， 设点到的距离为， 则的面积， 解得， 点在第四象限， 点的位置如图所示，共有3个． 故选：B． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出． (2)画出关于x轴对称的，则点F的坐标为________________． (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)点P的坐标为或 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点、利用网格求三角形面积 【分析】（1）在坐标系中描出、、三点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质作图，然后写出点的坐标即可； （3）设，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 点坐标为． （3）解：设， 则， 解得或， 则点的坐标为或． 【点睛】本题考查作图轴对称变换，平面直角坐标系，点的坐标，三角形的面积公式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【变式6-3】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)求中边上的高． 【答案】(1)作图见详解 (2)6 (3) 【知识点】坐标系中描点、利用网格求三角形面积、与三角形的高有关的计算问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形面积计算及勾股定理等知识点． （1）根据题中的点坐标在网格图中将点描出，再连接，即可； （2）先求出的长，作为的底边，再求出点C的横坐标，作为的高，进而利用三角形的面积公式即可求得； （3）先通过网格图利用勾股定理求出的长度，再利用三角形面积公式即可求得结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：由（1）图象可知，，， ∴． （3）解：， 由（2）知，， ∴中边上的高为． 题型七、坐标系中的平移 例7如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为______． 【答案】或或 【知识点】坐标系中的平移、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想． 根据平行四边形的性质和平移的性质，分三种情形即可解决问题． 【详解】解：的顶点坐标分别为，，， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得． 故答案为：或或． 【变式7-1】[跨章节]已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】（1）设直线l的解析式为，将点，代入求解即可得到答案；（2）根据解析式求出点D的坐标，再根据对称求出点B的坐标，再根据平移得到平行四边形，设出点E坐标，根据平移线段相等列式求解求出E点坐标，最后根据三角形面积即可求出答案；（3）设出点F的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分求出点G的坐标，最后根据矩形对角线相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，矩形的性质，平移的性质，中心对称的性质，解题的关键是根据平移、对称的性质及平行四边形对角线互相平分表示出点的坐标，分类讨论的思想． 【变式7-2】在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中的动点问题（不含函数）、坐标系中的平移 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 【变式7-3】[跨章节]如图中，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)分别求C、D两点坐标； (2)在x轴上存在点F，使得最短，求出点F的坐标； (3)在（2）的基础上，将线段向左平移m个单位长度，若与有唯一交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】坐标系中的对称、坐标系中的平移、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，轴对称的性质，平移的性质． （1）根据平行四边形的性质得到，轴，进而求出点D、C的横坐标，即可求出C、D两点坐标； （2）先得到点D关于x轴对称的点E坐标为，连接，与x轴的交点即为所求点F，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，令，则，即可求出点F的坐标； （3）根据平移结合图像作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，轴， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为 即点D的坐标为； ∵点B的坐标为，轴， ∴点C的横坐标为， 即点C的坐标为； （2）∵点D的坐标为， ∴点D关于x轴对称的点E坐标为 连接，与x轴的交点即为所求点F， 设直线的解析式为， ∵点A的坐标为，点E的坐标为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点F的坐标为； （3）如图， 由图可知，当F到达O点时，与有两个交点，此时， 继续左移，与有唯一交点， ∴， 当F到达G点时，与有唯一交点，此时， 继续左移，与无交点， ∴ 即． 题型八、坐标系中的对称 例8如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P关于x轴的对称点为， ∴； ∵关于y轴的对称点为， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为______． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到， ，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为， ∴，， ，轴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 【变式8-2】[跨章节]如图，在直角坐标系中，是坐标原点，点，，是直线上位于第二象限内的点，点，关于轴对称．若的面积为，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、坐标系中的对称 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据三角形的面积公式求出点的纵坐标，最后根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点，，代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 点的纵坐标为， 点，关于轴对称， 点的纵坐标为， 当时，， ， ， 故答案为：． 题型九、中点坐标 例9在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、利用平行四边形的性质求解、中点坐标 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 【变式9-1】如图，，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，M 为的中点，当最小时，______________________． 【答案】2 【知识点】中点坐标、根据旋转的性质求解、已知两点坐标求两点距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式，旋转的性质，过点A和C分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，可证明得到，则，根据中点坐标公式得到，则由两点距离计算公式得到，根据偶次方的非负性可得当时，最小． 【详解】解：如图所示，过点A和C分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M 为的中点， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴当最小时，， 故答案为：2． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、中点坐标 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理等知识， 根据中点坐标公式求出点D的坐标，设，分三种情况讨论∶；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 【详解】解∶∵，，为的中点， ∴，即， ∵是轴正半轴上一个动点， ∴设， 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得或 ∴点的坐标为； 综上， 点的坐标为或或， 故答案为∶ 或或． 【变式9-3】材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)5； (2)点的坐标为或或 【知识点】用勾股定理解三角形、中点坐标、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查坐标系内中点坐标公式，勾股定理，平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由矩形的性质得出点M为的中点，利用中点公式可得点M的坐标； （2）由平行四边形的性质可知，两条对角线中点重合，分，，为对角线三种情况，根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：为坐标原点，， 的长为， 矩形的对角线相交于点， 点M为的中点， 点M的坐标为，即， 故答案为：5，； （2）解：设点D的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； ③当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 综上可知，点的坐标为或或． 题型十、坐标系中的动点问题（不含函数） 例10如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 【答案】或 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【变式10-1】如图所示，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点分别在轴的负半轴与正半轴上，，，．请解答下列问题： (1)求点，点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，动点从点向终点运动（与点同时出发），速度为3个单位长度/秒，当是直角三角形时，请直接写出的值和的面积． 【答案】(1)； (2) (3)当是直角三角形时， 的值为或，的面积为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、函数解析式、坐标系中的动点问题（不含函数）、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，勾股定理，含角的直角三角形三边之间关系． （1）根据二次根式有意义的条件可得，从而得到的长度，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，得出各条边的长度，最后根据勾股定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质可知，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半即可得出关系式； （3）分两种情况，结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴，； 在中，根据勾股定理可得：， ∴； （2）解：如图： ∵点P的速度每秒1个单位长度，运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得：， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 此时， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 此时， ∴， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的值为或，的面积为或． 【变式10-2】定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)理解：点，，的“最佳间距”是______； (2)探究：已知点，，． ①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由； 【答案】(1)3 (2)①；②4 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标系中描点、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）①分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，由于“最佳间距”为2，故，即可求解的值； ②由①可得，“最佳间距”为或的长度，当时，“最佳间距”为，当时，“最佳间距”为，比较两个“最大间距”，即可解决． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，，， ∵， ∴点，，的“最佳间距”是3； （2）解：①∵点，，， ∴轴，，，， ∵点O，A，B的“最佳间距”是2， ∴， ∴； ②当时，点，，的“最佳间距”是， 当或时，， 点，，的“最佳间距”是， ∴点，，的“最佳间距”的最大值为4． 题型十一、坐标与图形综合 例11在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 【答案】或或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，则：， ∴， ∴， 画图如下： 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，作轴， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， 点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ，，， ∴点横坐标为， 点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】（1）由与对应，先算出平移规律（横坐标减，纵坐标加），再将原点按此规律平移，即可得到点的坐标； （2）利用、、的坐标，以为底（平行于轴），算出，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴平移规律为：横坐标，纵坐标， ∵点按此规律平移得到点， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， ∵，，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过、两点，将直线向下平移个单位得到直线，交轴于点，是直线上一点，且四边形是平行四边形． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)若是平面直角坐标系内的一点，且以、、、四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形综合、一次函数图象平移问题、等腰梯形的性质定理 【分析】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、一次函数与几何变换等知识点的理解和掌握，能用待定系数法正确求函数的解析式是解此题的关键． （1）根据一次函数的平移和平行四边形的性质解答即可； （2）根据等腰梯形得性质和坐标特点解答即可． 【详解】（1）解：直线经过、两点， 设直线为，可得 ， 将直线向下平移个单位得到直线， ， 四边形是平行四边形， ， 点在直线上，， 设点， ，解得， ； （2）解：若， 点在直线上， 设， ， ， ， ，， 与点重合，舍去， ； 若，点在直线上，设 ， ， ，， 与点重合，舍去， ； 若，点在直线上， 直线的表达式为， 直线的表达式为， 设， ， ， ，， 在直线上，不符合题意，舍去， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式11-3】[跨章节]如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，t的值为8或或或12． 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 题型十二、点坐标规律探索 例12如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键． 根据正方形的性质，找到点的坐标，根据坐标变化规律，，，（为自然数），算出的坐标即可． 【详解】解：观察发现：，，，， ，，，，，， ，，，（为自然数）， ， ∴． 故答案为：． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、正比例函数的性质 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再根据点所在的象限找出这个象限的点的规律．根据题意，先找到点所在的象限，然后再根据第三象限的点的变化，找出第三象限的点的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，， ∵点在4条射线上运动，， ∴点在第四象限， ∵，，， ∴第四象限的点的规律为：， ∴． 故答案为：． 【变式12-3】画平面直角坐标系，找出点A(-3，-2)、B(-2，-1)、C(0，1)、D(1，2)、E(3，4)，观察这五个点，你发现了什么规律，再找出具备这样规律的一个点，具备这样规律的点有多少个． 【答案】见解析 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形、点坐标规律探索 【分析】首先在坐标系中画出所给5点，再尝试连线，会发现它们在同一条直线上，且满足每个点的纵坐标比横坐标大1，再按此规律写出一个点即可，并根据直线的特征写出具备这样规律的点有无数个. 【详解】解：如图所示，在坐标系中描出点A、B、C、D、E，观察知A、B、C、D、E在同一条直线上，点F(-1，0)就满足以上规律，显然，满足这样规律的点有无数个． 【点睛】本题考查了坐标系中描点画图的知识和据图探索规律的能力，本题中通过描点画图正确判断所给的点的纵坐标比横坐标大1是解题的关键. 【变式12-4】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（﹣2，﹣3） (1)图中点C的坐标是_______． (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是_______． (3)如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移2个单位得到点，那么A、两点之间的距离是_______． (4)图中△ACD的面积是_______． 【答案】(1) (2) (3)7 (4)6 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标； （3）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案； （4）根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：图中点C的坐标是（2，﹣3）． （2）点C关于x轴对称的点D的坐标是（2，3）． （3）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移2个单位得到点B'（﹣2+2，﹣3），即（0，﹣3），那么A、B'两点之间的距离是：4﹣（﹣3）＝7． （4）图中△ACD的面积＝． 故答案为：（1）（2，﹣3）；（2）（2，3）；（3）7；（4）6． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律． 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平面直角坐标系 目录 题型一、有序数对 1 题型二、写出直角坐标系中点的坐标 5 题型三、求点到坐标轴的距离 11 题型四、判断点所在的象限 15 题型五、已知点所在的象限求参数 17 题型六、坐标系中描点 20 题型七、坐标系中的平移 25 题型八、坐标系中的对称 33 题型九、中点坐标 36 题型十、坐标系中的动点问题（不含函数） 42 题型十一、坐标与图形综合 48 题型十二、点坐标规律探索 57 题型一、有序数对 例1如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 【变式1-1】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【变式1-2】如图，小鱼家在处，小云家在处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走： 路线①：． 路线②：． （1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短； （2）请你依照上述方法再写出一条路线． 题型二、写出直角坐标系中点的坐标 例2如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平面直角坐标系中，如果右眼的坐标是，那么这只“大白”的左眼的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 【变式2-3】如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“不动点”．已知点是函数图像上的“不动点”，点，点，如果四边形是等腰梯形，那么点的坐标是___________． 【变式2-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是、、． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)借助网格，用无刻度直尺过点B作，垂足为H． 【变式2-5】如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 题型三、求点到坐标轴的距离 例3下列说法不正确的是（    ） A．若中，则P点在x轴上 B．点到y轴的距离为2 C．点在第二象限 D．若在x轴上，则 【变式3-1】已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是___________． 【变式3-3】已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是___________． 【变式3-4】如图，直线分别交轴、轴于点和点，点在直线上． (1)求的值； (2)已知是轴上的点，如果的面积为4，求点的坐标． 题型四、判断点所在的象限 例4在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】若点在第三象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点B在第________象限． 【变式4-3】已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 题型五、已知点所在的象限求参数 例5若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】平面直角坐标系中，点在第四象限且到轴的距离为1，则点的坐标为______． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标： (2)若点P在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为7，求点P的坐标． 题型六、坐标系中描点 例6图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【变式6-1】如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出． (2)画出关于x轴对称的，则点F的坐标为________________． (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【变式6-3】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)求中边上的高． 题型七、坐标系中的平移 例7如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为______． 【变式7-1】[跨章节]已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【变式7-2】在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【变式7-3】[跨章节]如图中，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)分别求C、D两点坐标； (2)在x轴上存在点F，使得最短，求出点F的坐标； (3)在（2）的基础上，将线段向左平移m个单位长度，若与有唯一交点，请直接写出m的取值范围． 题型八、坐标系中的对称 例8如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为______． 【变式8-2】[跨章节]如图，在直角坐标系中，是坐标原点，点，，是直线上位于第二象限内的点，点，关于轴对称．若的面积为，则点的坐标为______． 题型九、中点坐标 例9在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，M 为的中点，当最小时，______________________． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为______． 【变式9-3】材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 题型十、坐标系中的动点问题（不含函数） 例10如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 【变式10-1】如图所示，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点分别在轴的负半轴与正半轴上，，，．请解答下列问题： (1)求点，点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，动点从点向终点运动（与点同时出发），速度为3个单位长度/秒，当是直角三角形时，请直接写出的值和的面积． 【变式10-2】定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)理解：点，，的“最佳间距”是______； (2)探究：已知点，，． ①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由； 题型十一、坐标与图形综合 例11在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过、两点，将直线向下平移个单位得到直线，交轴于点，是直线上一点，且四边形是平行四边形． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)若是平面直角坐标系内的一点，且以、、、四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点的坐标． 【变式11-3】[跨章节]如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十二、点坐标规律探索 例12如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为______． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为_____． 【变式12-3】画平面直角坐标系，找出点A(-3，-2)、B(-2，-1)、C(0，1)、D(1，2)、E(3，4)，观察这五个点，你发现了什么规律，再找出具备这样规律的一个点，具备这样规律的点有多少个． 【变式12-4】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（﹣2，﹣3） (1)图中点C的坐标是_______． (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是_______． (3)如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移2个单位得到点，那么A、两点之间的距离是_______． (4)图中△ACD的面积是_______． 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $