25 创新考向集训-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（人教版）

创新考向集训 创新考向一　传统文化 1．(4分)勾股定理最早出现在 《周髀算经》 中，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1．除此之外，还有勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是(结果用含m的代数式表示)(　C　) A．m2－1 B．2m＋2 C．m2＋1 D．2m＋3 解析：∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a． ∴弦为a＋2． 根据勾股定理，得(2m)2＋a2＝(a＋2)2， 解得a＝m2－1． ∴弦是a＋2＝m2－1＋2＝m2＋1． 故选C． 2．(4分)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝ ． 解析：如图，连接OE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO． ∵AB＝5，BC＝12， ∴在Rt△ABC中，AC＝＝13． ∴OB＝OC＝． ∴S△BOC＝S△BOE＋S△COE＝OB·EG＋OC·EF＝S△ABC＝×5×12＝15． ∴EG＋EF＝(EG＋EF)＝15． ∴EG＋EF＝． 故答案为． 3．(4分)“折竹抵地”问题源自 《九章算术》 ，其译文大意是：一根竹子，原高一丈(1丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为 4.55 尺． 解析：设折断处离地面的高度是x尺． 根据题意，得x2＋32＝(10－x)2， 解得x＝4.55． ∴折断处离地面的高度是4.55尺． 故答案为4.55． 创新考向二　材料阅读 4．(14分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn． ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ m2＋3n2 ，b＝ 2mn ； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n，填空：13 ＋ 4 ＝( 1 ＋ 2(答案均不唯一) )2； (3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 解：(1)∵a＋b＝(m＋n)2， ∴a＋b＝m2＋3n2＋2mn． ∴a＝m2＋3n2，b＝2mn． 故答案为m2＋3n2；2mn． (3)由题意，得a＝m2＋3n2，4＝2mn． ∵4＝2mn，且m，n为正整数， ∴m＝2，n＝1 或m＝1，n＝2． ∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13． 创新考向三　规律探究 5．(4分)如图，在平面直角坐标系中，直线l: y＝x＋1与y轴交于点A1，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，…，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则前 n个正方形对角线长的和是 (2n－1) ． 解析：由题意可得，点A1的坐标为(0，1)，点A2的坐标为(1，2)，点A3的坐标为(3，4)，点A4的坐标为(7，8)，…… ∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8…… ∴前n个正方形对角线长的和是(OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋Cn－1An)＝×(1＋2＋4＋8＋…＋2n-1)． 设S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n-1，则2S＝2＋4＋8＋…＋2n-1＋2n， 则2S－S＝2n－1． ∴S＝2n－1． ∴1＋2＋4＋8＋…＋2n-1＝2n－1． ∴前n个正方形对角线长的和是 (2n－1)． 故答案为(2n－1)． 创新考向四　跨学科 6．(4分)如图(1)是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强p(单位：cmHg)与其离水面的深度h(单位：m)的函数解析式为p＝kh＋p0，其图象如图(2)所示，其中p0为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0．根据图中信息分析(结果保留一位小数)，下列结论正确的是(　A　) A．青海湖水深16.4 m处的压强为 188.6 cmHg B．青海湖水面大气压强为76.0 cmHg C．函数解析式p＝kh＋p0中自变量h的取值范围是h＞0 D．p与h的函数解析式为p＝9.8×105h＋76 解析：由图象可知，直线p＝kh＋p0过点(0，68)和(32.8，309.2)， ∴ 解得 ∴函数解析式为p＝h＋68． 故选项D错误． ∴青海湖水面大气压强为68.0 cmHg． 故选项B错误． 根据实际意义，0≤h≤32.8，故选项C错误． 将h＝16.4代入解析式，得p＝×16.4＋68＝188.6，即青海湖水深16.4 m处的压强为188.6 cmHg，故选项A正确． 故选A． 创新考向五　新定义 7．(4分)若定义一种新运算：ab＝ 例如，31＝2×3－1＝5；45＝2×4＋5－12＝1，则函数y＝(x＋2)(2x－2)的图象大致是(　A　) 解析：∵当x＋2≥2x－2时，x≤4， ∴当x≤4时，(x＋2)(2x－2)＝2(x＋2)－(2x－2)＝6， 即y＝6； 当x＞4时，(x＋2)(2x－2)＝2(x＋2)＋(2x－2)－12＝4x－10， 即y＝4x－10． ∵4＞0， ∴当x＞4时，y随x的增大而增大． 综上所述，A选项符合题意． 故选A． 8．(12分)定义：一次函数y＝ax＋b和一次函数y＝－bx－a为“逆反函数”，如：y＝3x＋2和y＝－2x－3为“逆反函数”． (1)点A(a，3)在y＝x＋2的“逆反函数”图象上，则a＝ －2 ； (2)若y＝4x＋3图象上一点B(m，n)也在它的“逆反函数”图象上，求点B的坐标； (3)若y＝－2x＋b和它的“逆反函数”的图象与y轴围成的三角形面积为3，求b的值． 解：(2)∵y＝4x＋3， ∴y＝4x＋3的“逆反函数”为y＝－3x－4． ∵y＝4x＋3图象上一点B(m，n)也在它的“逆反函数”图象上， ∴ 解得 ∴点B的坐标为(－1，－1)． (3)∵y＝－2x＋b， ∴它的“逆反函数”为y＝－bx＋2． ∴两函数图象与y轴的交点分别为(0，b)，(0，2)． 由 解得 ∴两函数图象的交点为(－1，b＋2)． ∵y＝－2x＋b和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3， ∴|b－2|×1＝3． ∴b＝8或b＝－4． 9．(16分)定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)下列图形：①正方形；②矩形；③菱形．其中，是“等距四边形”的是 ①② ；(填序号) (2)如图(1)，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B，E，D，F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长； (3)如图(2)，已知等边三角形ABC的边长为4，P是△ABC内一点，若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，求这三个“等距四边形”的周长和． 解：(2)根据“等距四边形”的定义，当点F在AD上且BF⊥AD时，四边形BFDE是等距四边形． 如图，取BD的中点O，连接OF，OE，EF． ∵BF⊥AD，BE⊥DC， ∴∠BFD＝∠BED＝90°． ∴OF＝OE＝BD． ∴四边形BFDE是“等距四边形”． 在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠C＝∠A＝60°，∠ABC＝120°，∠ABE＝90°． ∴∠ABF＝∠CBE＝30°． ∴∠EBF＝∠ABC－∠ABF－∠CBE＝60°． 易证△ABF≌△CBE，∴BF＝BE， ∴△BEF是等边三角形． 在Rt△ABF中，∠ABF＝30°， ∴AF＝AB＝2． 根据勾股定理，得BF＝2， ∴EF＝BF＝2． 当点F在AB上且DF⊥AB时，四边形DFBE是“等距四边形”．如图，连接BD，EF，交于点O． ∵DF⊥AB，BE⊥CD， ∴∠BFD＝∠BED＝90°． ∵AB∥CD， ∴∠FBE＝180°－∠BED＝90°． ∴∠BFD＝∠BED＝∠FBE＝90°． ∴四边形BFDE是矩形． ∴BD＝EF． 在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°． ∴△ABD为等边三角形． ∴BD＝AB＝4． ∴EF＝4． 综上，线段EF的长为2或4． (3)如图，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F． 同(2)的方法，得四边形ADPF、四边形DBEP、四边形ECFP是“等距四边形”． 如图，过点A作AG⊥BC于点G． 在Rt△ABG中，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴∠BAG＝30°． ∴BG＝AB＝2． 根据勾股定理，得AG＝2， ∴S△ABC＝BC·AG＝×4×2＝4． ∴S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC＝4． ∴(AB·PD＋BC·PE＋AC·PF)＝4． ∵AB＝BC＝AC＝4， ∴PD＋PE＋PF＝2． ∴四边形ADPF、四边形DBEP、四边形ECFP的周长和为AB＋BC＋AC＋2(PD＋PE＋PF)＝12＋4． 创新考向六　创新题 10．(12分)如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图(保留作图痕迹)． (1)在图(1)中作∠ABC的平分线； (2)在图(2)中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等． 解：(1)如图，连接AC，HG，设AC与HG交于点P，设小正方形的边长为1个单位长度． ∵线段AC和HG是矩形的两条对角线，且交于点P， ∴AP＝CP． 又∵AB＝＝，BC＝＝， ∴AB＝BC． ∴BP平分∠ABC． ∴射线BP即为所求．(作法不唯一) (2)如图，连接AD，AB，BC，CD，直线l经过点C和点D，设小正方形的边长为1个单位长度， ∴AB＝＝，AD＝＝，BC＝＝，CD＝＝． ∴AB＝AD＝CD＝BC． ∴四边形ABCD是菱形． ∴AB与CD平行，即点A，B到直线l的距离相等，直线l即为所求．(作法不唯一) 11．(12分)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形．” 并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD． ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC． 证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形．(条件、证明不唯一) 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $