24 思想方法集锦-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（人教版）

思想方法集锦 方法一　方程思想 1．(4分)如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为(　B　) A．3　　 B．　　 C．5　　 D． 解析：设DE＝x，则AE＝6－x． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC． ∴∠EDB＝∠DBC． 由题意，得∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD． ∴BE＝DE＝x． 在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2， 即x2＝9＋(6－x)2， 解得x＝． ∴DE＝． 故选B． 2．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0<t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． (1)求证：四边形AEFD为平行四边形． (2)①当t＝ 10 时，四边形AEFD为菱形； ②当t＝ 时，四边形DEBF为矩形． (1)证明：由题意可知CD＝4t cm，AE＝2t cm． ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°． ∴DF＝DC＝2t cm． ∵AE＝2t cm，DF＝2t cm， ∴AE＝DF． 又∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴AE∥DF． ∴四边形AEFD为平行四边形． (2)解：①∵由(1)得四边形AEFD为平行四边形， ∴要使▱AEFD为菱形，则需AE＝AD， 即2t＝60－4t， 解得t＝10． ∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形． 故答案为10． ②要使四边形DEBF为矩形，则需∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°， ∴∠DEB＝90°． ∴∠AED＝90°． ∵∠AED＝90°，∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°． ∴AD＝2AE，即60－4t＝4t， 解得t＝． ∴当t＝时，四边形DEBF为矩形． 故答案为． 方法二　整体思想 3．(6分)已知a＝2＋，b＝2－，求的值． 解：∵a＝2＋，b＝2－， ∴a＋b＝4，ab＝4－3＝1，a－b＝2． ∴＝ ＝ ＝ ＝8． 4．(6分)已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是2，求另一组数据3x1＋5，3x2＋5，…，3xn＋5的方差． 解：设这组数据x1，x2，…，xn的平均数是 ， 则平均数为 ＝(x1＋x2＋…＋xn)， ∴x1＋x2＋…＋xn＝n． 方差为s2＝[(x1－)2＋…＋(xn－)2]＝2． 另一组数据的平均数为(3x1＋5＋3x2＋5＋…＋3xn＋5) ＝[3(x1＋x2＋…＋xn)＋5n] ＝(3n＋5n) ＝3＋5， 方差为{[3x1＋5－(3＋5)]2＋…＋[3xn＋5－(3＋5)]2} ＝－)]2} ＝9·[(x1－)2＋…＋(xn－)2] ＝9×2 ＝18． 方法三　数形结合思想 5．(4分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2和直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则方程组 的解为 ． 解析：∵直线y＝x＋2过点P(m，3)， ∴3＝m＋2， 解得m＝1． ∴P(1，3)． ∴方程组 的解为 故答案为 6．(6分)已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＋()2－|c－b|． 解：由数轴，得a<－1，－1<c<0，b>1， ∴－a＋b>0，c－b<0． ∴＋()2－|c－b| ＝－a＋(－a＋b)＋(c－b) ＝－a－a＋b＋c－b ＝－2a＋c． 方法四　分类讨论思想 7．(4分)已知直角三角形两边的长分别为3 cm，4 cm，则以第三边为边长的正方形的面积为 7 cm2或25 cm2 ． 解析：若4 cm为直角三角形的斜边，此时以第三边为边长的正方形的面积为42－32＝16－9＝7(cm2)； 若第三边为直角三角形的斜边，设斜边长为x cm，根据勾股定理，得 x2＝32＋42＝9＋16＝25， 此时以斜边为边长的正方形的面积为x2＝25(cm2)． 综上，以第三边为边长的正方形的面积为7 cm2或 25 cm2． 故答案为7 cm2或25 cm2． 8．(14分)如图，直线y＝x＋6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△BOC沿BC折叠后，点O恰好落在边AB上的点D处． (1)直接写出点A和点B的坐标； (2)求AC的长； (3)若P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合要求的点P坐标． 解：(1)当x＝0时，y＝×0＋6＝6， ∴点B的坐标为(0，6)． 当y＝0时，x＋6＝0， 解得x＝－8． ∴点A的坐标为(－8，0)． (2)∵点A的坐标为(－8，0)，点B的坐标为(0，6)， ∴OA＝8，OB＝6． ∵∠AOB＝90°， ∴AB＝＝10． 由折叠的性质，可知OC＝CD，OB＝BD＝6，∠CDB＝∠BOC＝90°， ∴AD＝AB－BD＝4，∠ADC＝90°． 设CD＝OC＝x，则AC＝8－x， 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， ∴AD2＋CD2＝AC2，即42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3． ∴OC＝3，AC＝OA－OC＝8－3＝5． (3)分三种情况考虑，如图所示． 点A的坐标为(－8，0)，点B的坐标为(0，6)，点C的坐标为(－3，0)． ①当AB为对角线时，由平行四边形的性质，得BP1∥AC，BP1＝AC＝5， ∴点P1的坐标为(－5，6)． ②当AC为对角线时，由平行四边形的性质， 得AB∥CP2，AB＝CP2． ∵点B向下平移6个单位长度，向左平移3个单位长度，得到点C， ∴点A向下平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点P2． ∴点P2的坐标为(－11，－6)． ③当BC为对角线时，由平行四边形的性质， 得BP3∥AC，BP3＝AC＝5， ∴点P3的坐标为(5，6)． 综上所述，当以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为(－5，6)，(－11，－6)或(5，6)． 方法五　转化思想 9．(4分)如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 2 ． 解析：如图，连接PC． ∵四边形ABCD为正方形，且边长为2， ∴BC＝2，∠BCD＝∠ABC＝90°，∠CBD＝45°． ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴四边形PECF是矩形． ∴EF＝PC． 故要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可． ∵点P在BD上， ∴当PC⊥BD时，PC最短． 当PC⊥BD时，∵∠CBD＝45°， ∴△PBC为等腰直角三角形，即PB＝PC． 在Rt△PBC中，PB＝PC，BC＝2， 由勾股定理，得 PB2＋PC2＝BC2， ∴2PC2＝(2)2， 解得PC＝2(负值舍去)，即PC的最小值为2． ∴EF的最小值为2． 故答案为2． 10．(10分)如图，在▱ABCD中，∠C＝135°，AD＝3，AB＝，H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，GH，E为AH的中点，F为GH的中点，连接EF，求EF的最大值与最小值的差． 解：如图，连接AC，AG，作AM⊥BC于点M． ∵E为AH的中点，F为GH的中点， ∴EF为△AGH的中位线． ∴AG＝2EF． 在▱ABCD中， ∵∠BCD＝135°， ∴∠B＝45°． ∵在Rt△AMB中，AB＝， ∴AM＝BM＝1． ∴CM＝2． 在Rt△AMC中，由勾股定理，得AC＝＝， ∴AG的最大值为，最小值为1． ∴EF的最大值为，最小值为． ∴EF的最大值与最小值的差为． 方法六　建模思想 11．(4分)如图，直线y＝x＋6与x轴、y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段AB，OB的中点，P为OA上一动点，当PC＋PD的值最小时，点P的坐标为(　C　) A．(－1，0)　 B．(－2，0) C．(－3，0)　 D．(－4，0) 解析：如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，最小值为CD′． 令y＝x＋6中x＝0，则y＝6， ∴点B的坐标为(0，6)． 令y＝x＋6中y＝0，则x＋6＝0，解得x＝－12， ∴点A的坐标为(－12，0)． ∵C，D分别为线段AB，OB的中点， ∴点C(－6，3)，点D(0，3)． ∵点D和点D′关于x轴对称， ∴点D′的坐标为(0，－3)． 设直线CD′的解析式为y＝kx＋b． ∵直线CD′过点C(－6，3)，D′(0，－3)， ∴ 解得 ∴直线CD′的解析式为y＝－x－3． 令y＝0，则0＝－x－3，解得x＝－3， ∴点P的坐标为(－3，0)． 故选C． 12．(12分)甲、乙两个辣椒市场各有辣椒15 t，现从甲、乙向丙、丁两地运送辣椒，其中丙地需要辣椒16 t，丁地需要辣椒 14 t，从甲到丙地的运费为500元/吨，到丁地的运费为300元/吨，从乙到丙地的运费为600元/吨，到丁地的运费为450元/吨． (1)设甲市场到丙地运送辣椒x t，请完成表格： 调往丙地(单位：t) 调往丁地(单位：t) 甲 x 15－x 乙 16－x x－1 (2)设总运费为w元，请写出w关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围； (3)怎样调送辣椒才能使运费最少？ 解：(1)∵甲市场调往丙地x t， ∴从甲市场调往丁地(15－x)t． ∵还需从乙市场调往丁地14－(15－x)＝(x－1)t， ∴从乙市场调往丙地15－(x－1)＝(16－x)t． 故答案为 15－x；16－x；x－1． (2)∵w＝500x＋300(15－x)＋600(16－x)＋450(x－1)＝50x＋13 650， ∴w＝50x＋13 650(1≤x≤15)． (3)∵w＝50x＋13 650(1≤x≤15)， 且50>0， ∴运费w随着x的增大而增大． ∴当x＝1时，运费最少． 此时15－x＝14，16－x＝15，x－1＝0． 答：甲市场调往丙地1 t，调往丁地14 t，乙市场调往丙地15 t，调往丁地0 t，运费最少． 方法七　从特殊到一般的思想 13．(14分)如图(1)，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． (1)求证：AE＝EF．(提示：取AB的中点G，连接EG) (2)如图(2)，如果把条件“E是边BC的中点”改为“E为BC上任意一点”，其他条件不变，那么结论AE＝EF是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由． (3)如图(3)，如果把条件“E是边BC的中点”改为“E为BC延长线上任意一点”，其他条件不变，那么结论AE＝EF是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由． (1)证明：如图，取AB的中点G，连接EG． ∵AB＝BC，E为BC的中点，G为AB的中点， ∴AG＝BG＝CE＝BE． ∴∠BGE＝∠BEG＝45°． ∴∠AGE＝135°＝∠ECF． ∵∠B＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°． ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB＋∠FEC＝90°． ∴∠BAE＝∠FEC． 在△AGE和△ECF中， ∴△AGE≌△ECF(ASA)． ∴AE＝EF． (2)解：成立．证明如下： 如图，在AB上截取BM＝BE，连接ME． ∵∠B＝90°， ∴∠BME＝∠BEM＝45°． ∴∠AME＝135°＝∠ECF． ∵AB＝BC，BM＝BE， ∴AM＝EC． 同(1)可证∠MAE＝∠CEF． 在△AME和△ECF中， ∴△AME≌△ECF(ASA)． ∴AE＝EF． (3)解：成立．证明如下： 如图，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE． ∵AB＝BC， ∴BN＝BE． ∴∠N＝∠NEC＝45°． ∵CF平分∠DCE， ∴∠FCE＝45°． ∴∠N＝∠ECF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE． ∴∠DAE＝∠BEA． ∴∠DAE＋90°＝∠BEA＋90°， 即∠NAE＝∠CEF． ∴△ANE≌△ECF(ASA)． ∴AE＝EF． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $