第21章四边形闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

第21章四边形闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 2．如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（   ） A．8 B．5 C． D． 3．如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 4．如图，菱形中，，，于，则等于（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．36 6．小明用如图1所示的喷壶浇花，图2为其截面图，截面图中长方形的面积为，，壶中水面与交于点F，当喷壶与水平面的夹角时，的长为（   ）． A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有三个角是直角的平行四边形是正方形 8．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 9．如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 10．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 11．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 12．如图，在菱形中，与交于点，点为的中点，连接，若，则的度数为_____°． 13．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若，，则EF的长为________． 15．如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为_____时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 16．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则_____________． 三、解答题 17．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 18．如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)___________°（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 20．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 21．如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 22．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第21章四边形闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D B D C A A C A 1．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意，得到，从而有，，结合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到结果． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∵ ，， 且 ， 即 ，， ∴ 四边形两组对边分别相等， ∴ 此四边形为平行四边形. 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴在上， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键． 根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 故选：D． 5．C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，先求，再根据直角三角形斜边中线的性质得，然后由勾股定理求出即可得出的面积，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 是直角三角形，， 是的斜边的中线， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质．先根据矩形的面积求出，再求出，得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形的面积为，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，涉及知识点：特殊四边形的判定条件、命题真假的判断．解题技巧是逐一分析每个选项，根据判定定理判断正误；解题关键是准确记忆特殊四边形的判定条件，避免混淆判定定理；易错点是忽略判定定理的前提条件（如 “平行四边形”）． 【详解】∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴ A正确； ∵ 对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），∴ B错误； ∵ 有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），∴ C错误； ∵ 有三个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴ D错误． 故选A． 8．C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 9．A 【分析】本题主要考查三角形中位线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 设的中点分别为，连接，可证为的中位线，得到，，，再由勾股定理即可得到，同理可得即可求解． 【详解】解：设的中点分别为，连接， 在矩形中，O是对角线的中点， 为的中位线，即， ，， 又， ， 又为中点，， ， ， 同理可得， ， ． 故选：A． 10．2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 11．36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据菱形可得，即可得到，再由直角三角形斜边中线得到，由等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，与交于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ 故答案为： 13． 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 14．2 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分． 先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，然后通过证明，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵， ． ，， ， ． 在中，， 即， 解得． ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：当点在线段上，点在线段上时，如图①． 四边形为平行四边形， ，． 是等边三角形， 和是等边三角形， ， ， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图②． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图③． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ． 当停止运动时，，且， （不合题意，舍去）． 综上所述，当的值为或时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 故答案为：或． 【点睛】 16．1 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 则，，，，根据全等三角形的性质得到，，根据即可求解． 【详解】解∶ 四边形为正方形， ． ，，． ，． ，． ， ． ， ， 解得． 故答案为：1． 17．见解析 【详解】∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∴． ∴． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 19．(1)45 (2)①证明见解析；②72 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理和邻补角的定义求出，然后根据角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可； （2）①作于G，先证明四边形是矩形，根据角平分线的性质定理可得出，然后根据正方形的判定即可得证； ②过A作于H，证明，得出，同理：，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）①证明：作于G，如图1所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，外角平分线交于点A， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； ②解：过A作于H， 由①可得：四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 21．(1)矩形 (2)四边形是中母菱形，见解析 (3)四边形是中母菱形，见解析 【分析】（1）从学过的特殊图形中，寻找对角线相等的图形(正方形，矩形，等腰梯形等)； （2）欲证明四边形是中母菱形，只需证明该四边形的对角线即可； （3）通过全等三角形的判定定理证得，然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形的对角线，所以四边形是中母菱形. 【详解】（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形； （2）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵ ， 分别是 ，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是中母菱形； （3）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  四边形是中母菱形. 22．(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $