第20章勾股定理闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

第20章勾股定理闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 5．如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是边上的中线，，垂足为点E，交于点F，则（    ） A．12 B．8 C．7 D．4 7．如图，在正三角形中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点 G，过点 G作于点F， 若， 则的长度分别是（  ） A．15， 11 B．14， 12 C．14， 11 D．13， 12 9．如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则线段的长为________． 11．已知的三边长分别为，，，则的面积为_______． 12．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 13．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 14．如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为18，10，则正方形C的面积是____________． 15．如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为__________ 16．如图，在中，，，边在数轴上．点表示的数为1，点表示的数为3，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则表示的数是____________． 三、解答题 17．如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为，球员C的位置为. (1)请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出球员B的位置坐标； (3)求出球员B与球员A的距离. 18．如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 19．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 20．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 21．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第20章勾股定理闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B B B D B A A D 1．B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查三角形内角和及勾股定理逆定理，熟练掌握三角形内角和及勾股定理逆定理是解题的关键；通过计算三角形内角和，勾股定理逆定理来判断各选项即可得解． 【详解】解：设， ， ， 解得， ， 不是直角三角形， 故选项不符合题意； ∵， ， ， ， ，， ∴是直角三角形． 故选项符合题意； ， ∴不满足三角形三边关系， 故不能构成三角形． 故选项不符合题意； ， ， 不是直角三角形， 故选项不符合题意； 故选：． 3．B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 4．B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理求出，再利用垂直平分线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 的垂直平分线交于点， ， ； 故选． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，延长至，使，连接，则是中位线，得到，则，，即可证明，得到，则，． 【详解】解：延长至，使，连接，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴是中位线， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线构造直角三角形，得到的长，应用勾股定理求出的长． 作于，于，交延长线于，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由等边三角形的性质求出的长，得到的长，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：作于，于，交延长线于， 是等边三角形， ，， ∵， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ∵，，， ， 的面积． 故选：A． 8．A 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作，垂足分别为，连接，根据角平分线的性质，证明、、，则，得到，即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为，连接， 由题意可知，分别是的角平分线， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 9．D 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究，通过图形正确的抽象概括出数字规律是解题的关键．根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形三边长的和为，进而可得滚动2025次后，点B的横坐标． 【详解】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，即每滚动3次，点的横坐标的值就增加1个的周长， ∴， ∵， ∴， ∴三角形三边长的和为：， 则滚动2025次后，点B的横坐标为：． 故选：D． 10． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及勾股定理，根据勾股定理，计算原点O到点A的距离． 【详解】解：点A的坐标为，由勾股定理得． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，，， ，， ， 所以是直角三角形，且为直角边，为斜边， 故， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 14．28 【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形的面积与边长的关系，可知，由此即可求解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知， ∴． 故答案为：28． 15．9 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高度为，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理得：， 解得：， 所以旗杆的高度为； 故答案为：9． 16．/ 【分析】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，数轴上两点间的距离，二次根式的化简，关键是正确计算出的长．首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长度，再由点表示的数为1可得答案． 【详解】解：∵点表示的数为1，点表示的数为3， ∴， ∵，， ， ∵以为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点， ， ∵点表示的数为1，在数轴的负半轴， 表示的数为． 故答案为：． 17．(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标，建立适当的直角坐标系是解题的关键． （1）先根据球员A，球员C的坐标建立直角坐标系即可； （2）由（1）中直角坐标系确定球员B的坐标即可； （3）利用勾股定理即可求得距离． 【详解】（1）解：∵球员A的位置为，球员C的位置为， ∴以点A所在的直线上方1个单位的直线为x轴，点C所在直线为y轴建立直角坐标系， 如图所示，平面直角坐标系即为所求： （2）解：由（1）图象可知，此时球员B的坐标为． （3）解：∵，， ∴． 18．24 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出是直角三角形．根据三角形面积求出，推出、的平方和等于的平方，求出，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】的面积为， 19．(1)风筝的垂直高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出垂直高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， （负值已舍去）， （米）． 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， （米）． 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）． 他应该往回收线米． 20．(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 21．(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $