第20章 勾股定理 聚焦中考-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

5.D点拨：根据垂线段最短， 当BP⊥AC时，BP最短.如 图，过点A作AD⊥BC于点 D..AB=AC,AD⊥BC,∴.D 为BC的中点.又BC=6,.BD=CD=3.在 Rt△ADC中，AC=5,CD=3,根据勾股定理 得AD=√AC-CD-√/52-32=4..'S△4Bc= 号BC·AD=AC.BP,BP-BCAD AC 6X4=4.8. 5 6.52°7.10或2√78.45 9.解：(1)由折叠可得∠ACE=∠DCE 2∠ACD,∠BCF=∠BCF=2∠BCB. .∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCB'=90°， ∠ECD+∠CD=号×90=45， 即∠ECF=45. (2)由折叠可得∠DEC=∠AEC=90°， BF=B'F=1, ∴.∠EFC=45°=∠ECF, .CE=EF=4,∴.BE=4+1=5. ∴.在Rt△BCE中，BC=√BE2十CE= √41.设AE=x,则AB=x+5. .在Rt△ACE中，AC=AE+CE, 在Rt△ABC中，AC=AB2-BC, ∴.AE2+CE=AB2-BC, 即x+4=(x+5)2-41,解得x=16, 5 '.SAMe-ZABX CE-x(+5)x 482 51 10.解：(1).∠ACB=90°，AB=5cm,BC= 3cm,.'.AC=4cm. 动点P从点A出发， 沿射线AC以1cm/s的速度运动， .∴.AP=tcm. 当∠APB=90时，如图①， 点P与点C重合，AP=AC=4cm, 当∠ABP=90时， (P) ① 如图②，AP=tcm,CP=(t-4)cm. 在Rt△BCP中，BP2=32+(t-4)2」 在Rt△BAP中，AB2+BP2=AP2 ∴5+3+(-4)=f:解得=空。 综上所述，当△ABP为直角三角形时， :的值为4或织 (2)当PB=PA时，如图③， PB=PA=tcm,CP=(4-t)cm. 在Rt△BCP中，PB=BC+CP, =32+(4-t)2,解得1=25」 8 当AP=AB=5cm时， 3 如图@1=1=5 当AB=BP时，如图⑤， C ⑤ A-2AC=8cm4=-8 综上所述，当△ABP为等腰三角形时， :的值为号或5或8， 【聚焦中考】 1.C 2.A点拨：E是BC边的中点，BC=2, ∴.BE=CE=1. .将△DCE沿直线DE翻折得△DFE, ∴.∠EFD=∠C=90°，FE=CE=BE=1, DF=DC=2.∴.∠GFE=90°. 连接GE. 又.GE=GE, ∴.Rt△EFG≌Rt△EBG(HL). ∴.GF=GB.设GB=GF=x, 则AG=2-x,DG=2十x. 在Rt△AGD中， 根据勾股定理可得AG+AD=DG, 即（2-)+2=(2+)，解得x=, 4DG-AG- 2 .'∠ADG和∠DAG的平分线DH,AH相 交于点H, ∴.点H到AD,AG,GD的距离相等， 设点H到△ADG各边的距离为h, 则S△ADG=S△ADH十S△AGH十S△GH, :2AD·AG=2AD·A+2AG·h十 2DGa, 即2×2-×26+×84+× 解得么=司 2 2 选A. H 3.2.4 4.4 5 ,点拔：如图，连接AD,CD,记AC,BD 交于点O,由尺规作图可知，AD=AB, CD=CB. ∴.AC垂直平分线段BD, 即AC⊥BD,OB=OD. ,∠ABC=90°，AB=1,BC=2, ∴.AC=√AB2+BC=√/12+2=√5. :SaA=2AC·OB=7AB·BC. OB=AB·BC=1X225 AC 55 ·BD=2OB=45 5 D R 5.(√2)n点拨：.△OAA1为等腰直角三角 形，OA=1. ∴.AA1=OA=1,OA1=√2OA=√2. .'△OA1A2为等腰直角三角形， .A1A2=OA1=√2，OA2=√2OA1=2. ,'△OA2A3为等腰直角三角形， ∴.A2A3=OA2=2,OA3=√2OA2=22 ,△OA3A4为等腰直角三角形， ∴.A3A4=OA3=2√2，OA4=√2OA3=4. .'△OA4A为等腰直角三角形， ∴.A4A=OA4=4,OA5=√2OA4=4√2， .△OAA；为等腰直角三角形， ∴.AA；=OA5=4√2，OA6=√2OA5=8. ∴.OAn的长度为(2)". 6.(1)证明：.BE⊥AC,CD⊥AB, .∠AEB=∠ADC=90°. 在△ABE和△ACD中， I∠AEB=∠ADC, ∠A=∠A, AB=AC, ∴.△ABE≌△ACD(AAS). (2)解：.△ABE≌△ACD,AE=6,CD=8, .'.AD=AE=6,BE=CD=8, 在Rt△ABE中，根据勾股定理得 AB=√AE2+BE=√62+82=10， .BD=AB-AD=10-6=4. 第二十一章 四边形 21.1四边形及多边形 第1课时四边形及其内角和 【基础过关】 1.C2.B3.D 4.(1)3(2)CD ∠C,∠D(3)∠DEF, ∠EFC(4)21 5.67.5点拨：∠1：∠2：∠3：∠4=9： 12:10:17,.设∠1=9x,则∠2=12x, ∠3=10x,∠4=17x,.9x+12x+10x+ 17x=360°，解得x=7.5°，.∠1=9x= 67.5°. 6.解：(1)61° (2).∠A=98°，∠D=140°，CE∥AD, .∠A+∠AEC=180°，∠D+∠DCE= 180°， .∠AEC=180°-98°=82°，∠DCE= 180°-140°=40°. .CE平分∠BCD, ∴.∠BCD=2∠DCE=80°， ∴.∠B=360°-∠A-∠D-∠BCD= 360°-98°-140°-80°=42° (3).'∠A=98°，∠D=140°，∠A+∠ABC+ ∠BCD+∠D=360°， .∠ABC+∠BCD=360°-98°-140°= 122°. .∠ABC和∠DCB的平分线交于点E, ·∠EBC=∠ABC∠BCE=∠BCD. ∴∠EBC+∠BCE=2(∠ABC+∠BCD)= 2×122=61 .'∠BEC+∠EBC+∠BCE=180°， ∴.∠BE℃=180°-61°=119°. 【素养提升】 1.B2.A3.C 4.（1)解：.在四边形ABCD中，∠A=∠C= 90°，∠ABC=42°， ∴.∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C= 138°. 又.DF平分∠CDA, ÷∠ADF=2∠ADC=69 (2)证明：设∠ABC=x, .BE平分∠ABC, ·∠EBA=2∠ABC=2 1 ∠A=∠C=90°， ∴.∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C 180°-x. 又.DF平分∠CDA, ·∠ADF=∠ADC=90-号 .在Rt△DAF中，∠AFD=90°-∠ADF= i0 ∴∠EBA=∠AFD,∴BE∥DF. 【综合探究】 解：(1).'∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个 内角， ∴.∠3+∠4+∠5+∠6=360°， ∴.∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. .∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， ∴.∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）， .∠1+∠2=∠3+∠4. (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们 不相邻的两个内角的和. (3).'∠B+∠C=240°， .∠MDA+∠NAD=240°. .AE,DE分别是∠NAD,∠MDA的平分线， ∴.∠ADE=∠MDE,∠DAE=∠NAE, ∠ADE+∠DAE=(∠MDA+∠NAD)= 7×240°=120点拨：在应用勾股定理解题时，有时会遇到 解：根据题意，较短路径有下列三种情况： 多种情况，稍不留神就会漏解或造成错解，这就 ①展开AA'C'C面和CC'B'B面，得图 需要我们利用分类讨论思想对不同情况加以分 20-5①， 类分析，并逐类求解，然后综合得出结论， 【例4】如图20-4，已知长 AB2=AB2+BB2=(2+1)2+42=32+ 方体的长为2cm,宽为1cm,高为 4=25. 4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表 ②展开AA'C'C面和A'D'BC'面，得图 面从A点爬到B'点，那么沿哪条 20-5②， 路爬最近？最短路程是多少？ 图20-4 AB2=AC+CB2=22+(4+1)2=4+ 思路分析：要求蚂蚁爬行的路径最短，需将 空间长方体转化成平面展开图（利用“两点之间 52=29 线段最短”)，即将点A,B所在的两个面展开， ③展开AAD'D面和A'D'B'C'面，得图 但展开图并非只有一种，而是三种，需要分别计 20-5③， 算三种展开图中线段AB的长度，然后比较结 AB2=AD2+BD2=12+(2+4)2=1+ 果，找出最短路径， 62=37 综上所述，最短路径应如图20一5①所示. .AB2=25,即AB'=5. 答：最短路径如图20一5①所示，最短路程 为5cm. 图20-5 复习训练 1.如图20-6，在△OAB中，顶点O的坐标为 3.在单位长度为1的正方形网格中，每个小正方 (0,0),顶点A,B分别在第一、四象限上，且 形的边长均为1，下面四个三角形的顶点都在 AB⊥x轴，若AB=6,OA=OB=5,则点A 网格的格点上，其中是直角三角形的是() 的坐标是 () A.(5,4)B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3) ...1..1 ...i.i.i. .1.i.i.. A B C D 4.如图20一8所示长方形地面ABCD中，长 AB=20米，宽AD=10米，中间有一堵砖墙高 图20-6 图20-7 MN=2米.一只蚂蚁从A点爬到C点，它必 2.如图20一7，两个边长均为1的正方形拼接排 须翻过中间那堵砖墙，则它至少要走() 列在数轴上形成一个长方形.以数轴上表示3 的点为圆心，以这个长方形的对角线长为半 径作圆，圆与数轴正方向交于点P,则点P表 示的数是 () 图20-8 A.5.2 B.25C.3+5 D.2+5 A.20米 B.24米C.25米 D.26米 5.如图20-9，在△ABC中，点P在直线AC上 移动，若AB=AC=5,BC=6,则BP的最小 值为 ( A.√24 B.5 C.4 B D.4.8 图20-9 6.如图20-10，已知A,B,C是海上的三座小 岛，岛B在岛A的北偏东38°方向上，距离为 12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离 为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海 10.如图20-13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 里，则岛B在岛C的北偏西 方向上. AB=5cm,BC=3cm,动点P从点A出发， 北 沿射线AC以lcm/s的速度运动，设运动时 间为ts. (1)当△ABP为直角三角形时，求t的值： AT (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. 图20-10 图20-11 7.若Rt△ABC的两边长a,b满足√a-6+(b 8)2=0,则它的第三边长c为 P 各用图① 各用图② 8.如图20-11所示，∠BAC=90°，AB=2√2， 图20-13 AC=2√2，BD=12,DC=4√10，则∠DBA= 9.如图20一12所示，在△ABC中，∠ACB= 90°，点E,F在边AB上，将边AC沿CE翻 折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC 沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的 点B'处，且点C,D,B在同一直线上 (1)求∠ECF的度数； (2)若CE=4,B'F=1,求线段BC的长和 △ABC的面积. B 图20-12