第19章二次根式闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

第19章二次根式闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 6．若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 7．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 9．若，，则代数式的值是（    ） A． B．11 C．13 D． 二、填空题 10．若无理数与的积是一个有理数，则的值为____________（写出一个即可）． 11．如果，那么等式成立的条件是_______________． 12．化简：__________． 13．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是________． 14．若n为正整数，且满足估算，则n的值为_______． 15．一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为______（结果化为最简二次根式）． 16．化简：____． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．已知，，为的三边长，化简：． 19．先化简，再求值：，其中． 20．在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 21．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 22．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第19章二次根式闯关练习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C B D B D C B D 1．B 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练将根式化简成最简二次根式，并准确判断是否是同类二次根式是解题的关键． 先化简成最简二次根式，后根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：选项A：是最简二次根式，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项B：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项C：，含有，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 选项D：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 故选C． 3．B 【分析】本题考查最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 7．C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出、的值，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：D． 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算与有理数、无理数的概念，解题关键是利用“根式的平方为有理数”的性质，构造出能与化简后式子相乘消去根号的无理数． 先化简，再根据“无理数与根式相乘后能消去根号得到有理数”的思路，确定无理数的形式． 【详解】解：①化简：． ②要使无理数与的积为有理数，需让可以含有的形式（其中为非零有理数）这样相乘后可消去根号． 例如取，则，是有理数，符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 11． 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键. 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式化简后需满足条件 ，结合的范围求解. 【详解】解：由二次根式的性质，被开方数 ，即 原等式右边 ∴ 当 时，左边 ，右边 =，等式成立 当 时，，两边除以 得 解： 若 ，则 ，有 ，解得 若 ，则 ，有 ，恒成立 ∴ 的解为 ， 结合 得 综上，； 故答案为：. 12．0 【分析】本题考查绝对值、二次根式的性质/完全平方公式，解题的关键是根据的取值范围判断绝对值内代数式的正负性． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，因此 ，即 ，此时化简各部分即可． 【详解】解：由题意，，即 ； ；； 当 时，； 故原式 ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 14．20 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算二次根式的混合运算，再估算该运算结果的范围，从而确定n的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 15． 【分析】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值的方法是解题的关键． 根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过除法运算和分母有理化求解． 【详解】解：设另一边长为，由长方形面积公式得， ； 故答案为． 16． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的运算，通过有理化分母，将每个分式化为相邻平方根的差，然后利用裂项相消求和即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂的运算． （1）按照二次根式的乘法、除法运算法则，零指数幂的运算法则计算后，再计算加法即可． （2）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式，得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ． 18． 【分析】本题考查了三角形三边不等关系，二次根式的化简；由三角形三边关系得，，，再由二次根式的性质，即可化简． 【详解】解：由题意得，，， 原式 ． 19．； 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 20．1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：隐含条件， 解得：， ∴． 21．(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 22．(1) (2) (3)2026 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式， ∵， ∴的有理化因式是：， 故答案为：； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $