第19章 二次根式 聚焦中考-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

值、偶次方相结合，这个非负数的性质在解答题 解：.x=2-√3，y=2+√3， 目时应用较多.若√a+√b=0或√a+|b=0或 .x+y=(2-√3)+(2十√3)=4，xy= √a十b=0,则a=0,b=0,这些常作为中考的考 (2-√3)(2+√3)=22-()2=4-3=1. 查题型. (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2× 【例4】已知x=2-√3，y=2十√5，求下列 1=14. 代数式的值. (2)x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=42 3×1=13. (1)x2+y2; 点拨：整体思想的核心就是把所研究对象 (2)x2-xy+y2. 的一部分或全部视为一个整体运用在解题过程 思路分析：在关于二次根式的化简求值问 中.在解题时把注意力和着眼点放在问题的整 题中，有时可考虑已知条件与所求代数式之间 体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的 的联系，运用整体思想求解，以简化运算， 计算，使问题得以简化. 复习训练 1.若a<1,化简√(a-1)z-1等于 6.已知实数a,b在数轴上的对应点如图19一2 A.a-2 B.2-a 所示，则化简（√a)2+√(b-a)一√/(a+b)2为 C.a D.-a 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是( A.2√2 B C.√4 D.√27 图19-2 3.墨迹覆盖了等式“/27●√3=3”中的运算符 A.3a B.2b-a 号，则被覆盖的运算符号是 ( ) C.a+2b D.a-26 A.+ B.- C.X D.÷ 4.下列运算错误的是 ( 7.若最简二次根式√3a-7与2√5是同类二次 A.√2+√3=√5 B.√2X√3=√6 根式，则a C.√⑧÷√2=2 D.(-√3)2=3 8.计算√2×（√6-√2）的结果为 ,表示 5.如图19一1，在大正方形中有两个小正方形，面 这个数的点落在了如图19一3所示的数轴上 积分别为S1,S2,已知S1=48,S2=32,重叠部 的 段（填“①”“②”或“③”或“④”）. 分的面积为8，则空白部分的面积为 ( ①，②，③，④ A.16√6-16 0 2 34 B.8√6-6 图19-3 C.16√6-6 9.若三角形的三边长分别为2,5，n,则化简 图19-1 D.6√6-8 √(3一n)+8一n的结果为 10.计算： 12.【教材P16练习T7变】已知x十1=5， (1)√5×12+|-2|-（π-3）； 求下列各式的值： 0r+: (2).x-1 (2)33 +2(3-6)+/24÷8： 13.(1)如图19-4①，在边长为(W5+√3)cm的正 方形的一角剪去一个边长为（√5-√3）cm 的小正方形，求图中阴影部分的面积： (2)小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿 (3)(3√2-2√3)(3√2+23)-(2-√/3)2. 图19一4①中的虚线将阴影部分剪开，可 拼成如图19一4②所示的长方形，请你根 据小明的思路求图19一4①中阴影部分 的面积. ① ② 11.先化简，再求值：√9xy-2√x3y+√xy,其中 图19-4 x=2y=-8(1)a2-b=(a+b)(a-b)=2√/5×4= 8√5. (2)a2++ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 【综合探究】 解：(1)3十√2（答案不唯一） (2)2 6 2(W3-1) 6×√3 √3+1√3(3+1)(W3-1)√3×W3 23-2_63=5-1-25=-1-B. 2 3 (3)①3√5-6 a(W2-1)+b2= √2+1√2(W2+1)(2-1)2 a-a+02=(a+2)2-a=-1+2B. 2 /a6 =2, a=1, 解得 -a=-1 b=2. 数学活动 1.D 2.解：(1)√2√2：1(2)①22 ②由折叠过程可知，AB=AC, ∴.A4纸的长与宽之比为AC:AF=AB: AF=√2：1. ③同理可知，A0纸的长与宽之比是√2：1. 设A0纸的宽为xmm,则长为√2xmm. .A0纸的面积为1m2=10mm, .√2x·x=106. x2=106 10°X1≈707100. √2 √2 .x≈√/707100≈840.9≈841. ∴.√2.x≈1189 .A0纸的宽约为841mm,长约为1189mm. 复习课 【复习训练】 1.D2.A3.D4.A5.A6.A 7.48.2√3-2②9.5 10.解：(1)原式=6+2-1=7； (2)原式=√3十√6-2√3+√3=√6； (3)原式=(18-12)-(2+3-2√6) =6-5+2√6 =1+2√6. 11.解：原式=3√xy-2|xw√xy+|yWxy =(3-2x+|y|)wWxy. x=- 2y=-8, “原式=(3-2×号+8)×4=20. 12.解：1)：x+=5(x+)=5 ∴2++2=5x2+是=3 2(x-2}=(x+2)-4x·1=5 4=1,即(x-)=1,解得x-士1 13.解：(1)由题意得：S隅影=（√5+√5）2-(5 √3)2=5+215+3-(5-2√/15+3)= 4√/15(cm2). (2)由题意得：题图②中长方形的长为 (√5+√3)+（√5-√3）=2√5(cm), 宽为（√5+√3）-(5-√3)=2√3(cm), ∴.S阴影=25X2√3=4√15(cm2). 【聚焦中考】 1.A 2.C点拨：因为√12.25<√/13<√16，所以 3.5</13<4,所以-3.5>-√13>-4，所 以10-3.5>10-√/13>10-4，即6.5> 10-√J13>6,所以10一√13最接近6，故选C. 3.B点拨：√2（√8+√10）=√16+√20=4十 √/20，.4=/16<√/20</25=5，∴.8<4+ √20<9，∴√2（√⑧+/10）的值应在8和9之 间，故选B. 4.C 5.606.17.10 8.解：原式√24×√16×日 =√8-√2 =2√2-√2 =√2. 9.解：原式=x2二y .y-1 xy x+y =(x十)(xy2.y-1 xy x十y =x一y_x =一 x=√2，y=2,.原式=-√2 10.解：原式=x2十2xy十y2+x2-y2-2x2 =2xy. x=√2，y=√/3， ∴.原式=2×√2×√5=2√. 11.解：x=1-√2，y=1十√2， ∴.x-y=(1-√2)-(1+√2)=-2√2， xy=(1-√2)(1+√2)=-1. ∴.x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2 2(x-y)+xy=(-2√2)2-2X(-2√2)+ (-1)=7+4√2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其证明 【基础过关】 1.B2.D3.A4.B 5.2√36.合格 7.解：1)902c2(d+) (2)证明：.Rt△ABE≌Rt△DEC, ∴.∠AEB=∠DCE,BE=EC=c. .∠D=90°，∴.∠DCE+∠DEC=90°， ∴.∠AEB+∠DEC=90°，∴.∠BEC=90°， △BEC是等腰直角三角形， :S梯形ABCD=SR△ABE十SR△DEC十SR△BEC, :.AB+CD)·AD_AE·AB+ED·DC+ 2 2 BE·EC 2 即(a+b)(a+b-ab+ba+c2 2十2十2 02+2ab+B=c2+2ab 2 2 ∴.a2+b2=c2. 8.解：(1)在△ABC中，∠C=90°，b=2, c=3, ∴.a=√c2-b=√/32-22=√5. (2)设a=3x,则c=5x. .a2+b2=c2,.(3x)2+322=(5x)2, 解得x=8(负值已舍去). .3x=24,5.x=40,即a=24,c=40. 【素养提升】 1.A点拨：本题利用了勾股定理，由题意可 知：S正方形D=S正方形E一S正方形A一S正方形B一 S正方形c=100-36-25-9=30(cm), ∴.正方形D的边长为√30cm.故选A. 2.76点拨：由题意知CD=6×2=12,BC= 5,由勾股定理可知BD=13,所以AD+ BD=6+13=19,则这个风车的外围周长 是19×4=76. 3.解：(1).在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=20,BC=15, ∴.AB=√AC+BC2=√/202+15=25. (2):Sam-号AC,BC=AB·CD, .AC·BC=AB·CD, ∴.20×15=25CD,.CD=12. 【综合探究】 1.√5点拨：∠OBC=90°，OC=√5，BC= 1,∴.OB=√OC2-BC=√/(5)2-12=2. :∠A=90,∠A0B=30,AB=20B= 1,∴.OA=√/OB2-AB2=√22-1=√3. 2.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB=5cm,AC=3cm,