30 思想方法集锦-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习分层卷（人教版）

思想方法集锦 方法一　方程思想 1．(4分)如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF等于(　B　) A．130° B．120° C．110° D．100° 解析：设∠BOE＝α． ∵∠AOD∶∠BOE＝4∶1， ∴∠AOD＝4α． ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE＝∠BOE＝α． ∵∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°， ∴4α＋α＋α＝180°． ∴α＝30°． ∴∠AOD＝4α＝120°， ∴∠BOC＝∠AOD＝120°． ∵OF平分∠COB， ∴∠COF＝∠BOC＝60°． ∵∠AOC＝∠BOD＝2α＝60°， ∴∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝120°． 故选B． 2．(12分)如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的； (2)若点M(a＋1，2b－5)是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为点N(2a－7，4＋b)，求a和b的值； (3)连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系： ∠CBC′＝∠B′C′O＋90° ． 解：(1)由所给图形可知， 点B的坐标为(2，1)，点B′的坐标为(－1，－2)， ∴2－(－1)＝3，1－(－2)＝3． ∴三角形A′B′C′是由三角形ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度(或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度)得到的． (2)∵点M是三角形ABC内一点， ∴平移后点M对应点的坐标可表示为(a＋1－3，2b－5－3)． ∵平移后点M的对应点N的坐标为(2a－7，4＋b)， ∴a＋1－3＝2a－7，2b－5－3＝4＋b， 解得a＝5，b＝12． (3)由平移可知，BC∥B′C′， ∴∠CBC′＝∠B′C′B． ∵∠B′C′B＝∠B′C′O＋∠BC′O＝∠B′C′O＋90°， ∴∠CBC′＝∠B′C′O＋90°． 故答案为∠CBC′＝∠B′C′O＋90°． 3．(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0)．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD． (1)直接写出坐标：C( －1 ， 3 )，D( －1 ， －2 )； (2)M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴； (3)若P是直线BD上一个动点，连接PC，PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠APC与∠PCD，∠PAB之间的数量关系． 　 解：(2)设t s后MN∥x轴， 由题意，得5－t＝0.5t－2， 解得t＝． ∴ s后MN∥x轴． (3)①如图，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD＋∠PAB． ②如图，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD＋∠APC． ③如图，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB＋∠APC． 方法二　分类讨论思想 4．(4分)在平面直角坐标系内，点A(n，1－n)一定不在(　C　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(10分)如果OA⊥OC，点O是垂足，OB是一条射线，且∠AOB∶∠AOC＝2∶3，求∠BOC的度数． 解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°． ∵∠AOB∶∠AOC＝2∶3， ∴∠AOB＝60°． ①当OB在∠AOC内部时，如图， ∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝90°－60°＝30°． ②当OB在∠AOC外部时，如图， ∴∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°． 综上所述，∠BOC的度数为30°或150°． 6．(12分)阅读材料，解答下列问题． 当a＞0时，如a＝5，则|a|＝|5|＝5，故此时a的绝对值是它本身；当a＝0时，|a|＝0，故此时a的绝对值是0；当a＜0时，如a＝－5，则|a|＝|－5|＝－(－5)＝5，故此时a的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即|a|＝ 这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想． (1)请仿照材料中的分类讨论方法，分析的各种化简后的情况； (2)猜想与|a|的大小关系； (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： －|a－b|＋|c－a|＋． 解：(1)当a＞0时，如a＝5，＝＝5，即＝a； 当a＝0时，＝＝0，即＝0； 当a＜0时，如a＝－5，＝＝5，即＝－a． 综上所述，＝ (2)＝|a|． (3)由数轴上点的位置，得a＜b＜0＜c， 原式＝－a－(b－a)＋(c－a)＋(c－b)＝－a－b＋a＋c－a＋c－b＝－a－2b＋2c． 7．(10分)用100元买15张邮票，其中有4元、8元、10元三种面值，问：可以怎么买？(列三元一次方程组求解) 解：设4元、8元、10元三种面值邮票的张数分别为x，y，z． 由题意，得 ②－①×4，得4y＋6z＝40， 则2y＋3z＝20． ∴z＝． ∴y的值可以为1，4，7，10． ∴z的对应值分别为6，4，2，0． 代入①，得x的对应值分别为8，7，6，5． ∴方程组的解为 或 或 或 ∴可以买8张4元，1张8元，6张10元或买7张 4元 4张8元，4张10元或买6张4元，7张 8元，2张10元或买5张4元，10张8元． 方法三　数形结合思想 8．(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　B　) 9．(4分)如果一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，那么这个不等式组可以是(　B　) A． B． C． D． 10．(8分)实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a＋|a＋b|－－|b－c|． 解：由数轴可知a＋b＜0，b－c＜0，c＜0． ∴原式＝a－(a＋b)－|c|＋(b－c) ＝a－a－b＋c＋b－c ＝0． 方法四　转化思想 11．(8分)如图，∠ADC＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°，DA是∠BDF的平分线，求证：BC是∠DBE的平分线． 证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠7＝180°， ∴∠1＝∠7． ∴AE∥CF． ∴∠3＝∠C，∠ABC＋∠C＝180°． 又∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠ADC＋∠C＝180°． ∴AD∥BC． ∴∠6＝∠C，∠4＝∠5． ∴∠3＝∠6． 又∵DA是∠BDF的平分线， ∴∠5＝∠6． ∴∠3＝∠4． ∴BC是∠DBE的平分线． 12．(10分)如图，在三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为(2，4)和(6，2)，求三角形AOB的面积． 解：如图，过点A作直线l⊥y轴，交y轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线l于点C，交x轴于点D， 则S矩形ECDO＝6×4＝24， S三角形AEO＝×4×2＝4， S三角形ABC＝×2×4＝4， S三角形OBD＝×6×2＝6． ∴S三角形OAB＝S矩形ECDO－S三角形ABC－S三角形AEO－S三角形OBD＝10． ∴三角形AOB的面积是10． 方法五　整体思想 13．(4分)已知实数x，y满足方程组 则(x＋y)3y－x＝ 25 ． 方法六　换元思想 14．(14分)阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组 小明发现，用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(2x＋3y)看成一个整体，把(2x－3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令m＝2x＋3y，n＝2x－3y，原方程组化为 解得把 代入m＝2x＋3y，n＝2x－3y，得 解得 ∴原方程组的解为 [学以致用] (1)运用上述方法解方程组： [拓展提升] (2)已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m，n的方程组 的解是． 解：(1)令m＝x＋1，n＝y－2， 原方程组化为 解得 ∴ 解得 ∴原方程组的解为 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $