26 专项突破提升(一) 平行线的综合应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习分层卷（人教版）

专项突破提升(一)　平行线的综合应用 类型一　相交线与平行线中的基本构图问题 1．(4分)下列选项中，满足“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，但不在直线l2上”的图形是(　D　) 2．(4分)如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是(　A　) A．点D B．点E C．点Q D．点M 3．(6分)(1)直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，则这三条直线最多有 3 个交点； (2)如果在(1)的基础上，在这个平面内再画第四条直线l4，则这四条直线最多可有 6 个交点； (3)由(1)(2)我们可以猜想：在同一平面内，n(n＞1)条直线最多有个交点． 类型二　与垂线相关的计算与证明 4．(4分)如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．若∠AOD＝120°，则∠BOE的度数为(　A　) A．30° B．35° C．40° D．45° 5．(4分)如图，直线AB和CD相交于点O，OM⊥AB．若∠BOD∶∠COM＝1∶3，则∠AOC的度数为 22.5° ． 6．(4分)已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直．若∠B＝60°，则∠A＝ 120°或60° ．(填度数) 7．(8分)如图，直线EF与直线CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠BOD＝∠AOE． (1)若∠AOE＝42°，求∠DOE的度数； (2)猜想OA与OB之间的位置关系，并说明理由． 解：(1)∵∠AOF＋∠AOE＝180°，∠AOE＝42°，∴∠AOF＝138°． ∵OC平分∠AOF， ∴∠FOC＝∠AOC＝69°． ∴∠DOE＝∠FOC＝69°． (2)OA⊥OB．理由如下： 设∠BOD＝α，∠BOE＝β， ∴∠AOE＝2∠BOD＝2α，∠FOC＝∠DOE＝α＋β． ∵OC平分∠AOF， ∴∠AOC＝∠FOC＝α＋β． ∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°， ∴α＋β＋2α＋α＋β＝180°． ∴2α＋β＝90°． ∴∠AOE＋∠BOE＝90°． ∴OA⊥OB． 类型三　平行线的性质与判定中的常见模型 8．(4分)如图，直线AB∥CD．若∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于(　B　) A．132° B．134° C．136° D．138° 9．(4分)将两张长方形纸片按如图所示位置摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1＋∠2等于(　B　) A．60° B．90° C．120° D．150° 10．(4分)如图，已知AB∥EF．若α＝∠A＋∠F，β＝∠B＋∠C＋∠D＋∠E，则α与β之间的数量关系为 β＝3α ． 11．(10分)从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解． (1)如图(1)，AB∥CD，E为AB，CD之间的一点．求证：∠1＋∠2＋∠MEN＝360°． (2)如图(2)，若AB∥CD，E，F，G，H为AB，CD之间的四点，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ 900° ．(填度数) (3)如图(3)，若AB∥CD，则∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠n＝ 180°(n－1) ．(用含n的式子表示) (1) 　 (2) (3) 第11题图 (1)证明：如图，过点E作EF∥CD． ∵AB∥CD， ∴EF∥AB． ∴∠1＋∠MEF＝180°． 同理∠2＋∠NEF＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°． (2)解：如图，过点E作EQ∥CD，过点F作FW∥CD，过点G作GR∥CD，过点H作HY∥CD． ∵CD∥AB， ∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD． ∴∠1＋∠MEQ＝180°，∠QEF＋∠EFW＝180°，∠WFG＋∠FGR＝180°，∠RGH＋∠GHY＝180°，∠YHN＋∠6＝180°． ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝5×180°＝900°． 故答案为900°． 12．(12分)[问题背景]同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图(1)，AB∥CD，E为AB，CD之间的一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B，∠D之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，回答下面的问题： [类比探究]如图(2)，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD＝36°，∠CBF＝100°．若EF平分∠BED交直线AB于点F，则∠BEF＝ 58° ． [拓展延伸]如图(3)，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD＝36°，∠BCD＝80°，过点D作DG∥CB交直线AB于点G，AH平分∠BAD，DH平分∠CDG，求∠AHD的度数． (1) (2) (3) 第12题图 解：(1)∠B＋∠D＝∠BED．理由如下： 如图，过点E作EF∥AB． ∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD． ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED， 即∠B＋∠D＝∠BED． (2)[类比探究]如图，过点E作EQ∥AB． ∵AB∥CD，∴EQ∥CD． ∴∠ADC＝∠DEQ＝∠BAD＝36°． ∵∠CBF＝100°，∴∠BEQ＝80°． ∴∠BED＝∠BEQ＋∠DEQ＝116°． ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF＝∠BED＝58°． 故答案为58°． [拓展延伸]如图，过点H作HF∥AB． ∵AB∥CD，∴AB∥HF∥CD． ∵DG∥BC， ∴∠CDG＝180°－∠BCD＝100°． ∵AH平分∠BAD，DH平分∠CDG， ∴∠BAH＝∠BAD＝18°，∠CDH＝∠CDG＝50°． ∵AB∥HF∥CD， ∴∠AHF＝∠BAH＝18°，∠DHF＝180°－∠CDH＝130°． ∴∠AHD＝∠AHF＋∠DHF＝148°． 13．(12分)[感知](1)如图(1)，若AB∥CD，点P在直线AB，CD之间，则∠P，∠A，∠C满足的数量关系是 ∠P＝∠A＋∠C ． [探究](2)如图(2)，若AB∥CD，点P在直线CD下方，则∠P，∠A，∠C满足的数量关系是 ∠P＝∠A－∠C ． [应用](3)如图(3)是北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，AB∥EF，求∠B，∠D，∠E满足的数量关系． (4)如图(4)，在(3)的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和EP，两条射线相交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP．若∠MBD＝25°，则∠D－∠P＝ 75° ．(填度数) 第13题图 解：(3)如图，过点D作DH∥EF，则∠HDE＝∠E． ∵AB∥EF，∴AB∥DH． ∴∠B＋∠BDH＝180°，即∠BDH＝180°－∠B． ∴∠HDE＋∠BDH＝∠E＋180°－∠B． ∴∠BDE＋∠B－∠E＝180°，即∠B＋∠D－∠E＝180°． (4)如图，过点P作PH∥EF， ∴∠EPH＝∠NEP． ∵AB∥EF，PH∥EF，∴AB∥PH． ∴∠MBP＋∠BPH＝180°． ∵BD平分∠MBP，∠MBD＝25°， ∴∠MBP＝50°．∴∠BPH＝130°． ∵EN平分∠DEP， ∴∠NEP＝∠DEN． ∴∠BPE＝∠BPH－∠EPH＝∠BPH－∠NEP＝∠BPH－∠DEN＝130°－(180°－∠DEF)＝∠DEF－50°． 由(3)，得∠D＋∠ABD－∠DEF＝180°． ∵∠MBD＝25°，∴∠ABD＝155°． ∴∠D＋155°－∠DEF＝180°． ∴∠DEF＝∠D－25°． ∴∠BPE＝∠DEF－50°＝∠D－25°－50°＝∠D－75°． ∴∠D－∠BPE＝75°．故答案为75°． 类型四　平行线的性质与判定中的跨物理学科应用 14．(10分)光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从空气射向水中时发生折射，光线变成FG，点H在光线EF所在的直线上．已知∠EFA＝44°，∠FGC＝75°，求∠GFH的度数． 解：由题意，得∠BFH＝∠EFA＝44°． ∵AB∥CD， ∴∠BFG＝∠FGC＝75°． ∴∠GFH＝∠BFG－∠BFH＝31°． 15．(10分)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜 b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，求∠4的度数． 解：∵∠1＝∠3＝50°，∠4＝∠6， ∴∠2＝180°－∠1－∠3＝80°． ∵m∥n， ∴∠5＝180°－∠2＝100°． ∴∠4＝∠6＝＝40°． 类型五　平移中的数学思想 16．(4分)(分类讨论思想)把一副直角三角尺如图摆放，∠C＝∠F＝90°，∠CAB＝60°，∠FDE＝45°，斜边AB，DE在直线l上，三角尺ABC保持不动，三角尺DEF在直线 l上平移，当以A，E，F三点为顶点的三角形是直角三角形时，∠CAF的度数是 15°或30° ． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $