42 创新考向集训-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

创新考向集训 创新考向一　抽象思维 1．(4分)下列曲线中，表示y是x的函数的是(　D　) 2．(4分)将右侧这个标志翻折一次得到的图形是(　B　) 第2题图 3．(4分)一根蜡烛高20 cm，点燃后平均每小时燃掉4 cm，则蜡烛点燃后剩余的高度h(cm)与燃烧时间t(h)之间的关系式是h＝ 20－4t (0≤t≤5)。 4．(8分)甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，轿车比货车晚出发1.5 h，两车距离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)货车的速度为 60 km/h ；BC段的函数表达式为 y＝80x－120(1.5≤x≤2.5) 。 (2)轿车出发后，用了多长时间追上货车？ (3)当货车行驶多长时间时，两车相距15 km? 解：(2)轿车在CD段的速度是(300－80)÷(4.5－2.5)＝110(km/h)。 设轿车出发x h追上货车。 ∵轿车比货车晚出发1.5 h， ∴点B对应的横坐标为1.5， ∴60(x＋1.5)＝80＋110(x－1)， 解得x＝2.4， ∴轿车出发2.4 h追上货车。 (3)设货车行驶x h时，两车相距15 km。 ①轿车未出发时，得60x＝15， 解得x＝0.25。 ②两车相遇之前，得60x－[110(x－2.5)＋80]＝15， 解得x＝3.6。 ③两车相遇之后，得[110(x－2.5)＋80]－60x＝15， 解得x＝4.2。 ④轿车到达乙地后，得60x＝300－15， 解得x＝4.75。 答：货车行驶0.25 h或3.6 h 或4.2 h或4.75 h，两车相距15 km。 创新考向二　判断推理 5．(4分)已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下结论：①EF＝AP；②△APF和△CPF可以分别看作由△BPE和△APE绕点P顺时针方向旋转90°得到的；③△EPF是等腰直角三角形；④S△ABC＝2S四边形AEPF。其中，始终成立的有(　A　) A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③ 解析：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°。 ∵P为BC的中点， ∴AP⊥BC，AP平分∠BAC，AP＝BP＝CP， ∴∠BAP＝∠PAF＝45°。 ∵∠EPF＝90°， ∴∠BPE＝∠APF。 在△BPE和△APF中， ∴△BPE≌△APF(ASA)， ∴BE＝AF，PE＝PF， ∴△EPF是等腰直角三角形，故③正确； ∴EF＝PE。 ∵当PE⊥AB时，AP＝PE＝EF， ∴EF＝AP不是始终成立， 故①错误； ∵PB＝PA，PE＝PF，∠BPA＝∠EPF＝90°， ∴△PBE绕点P顺时针旋转90°可得到△PAF。 同理可得△APE绕点P顺时针旋转90°可得到△CPF， 故②正确； ∵△BPE≌△APF， ∴S△BPE＝S△APF， ∴S四边形AEPF＝S△AEP＋S△APF＝S△APE＋S△PBE＝S△ABC， ∴S△ABC＝2S四边形AEPF， 故④正确。 综上，始终成立的有②③④。 故选A。 6．(10分)某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费。设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示。根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式。 (2)出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ (3)洋洋爸准备了240元，问：选择哪种消费卡划算？ 解：(1)设y甲＝k1x。 根据题意，得4k1＝80，解得k1＝20， ∴y甲＝20x。 设y乙＝k2x＋80。 根据题意，得12k2＋80＝200， 解得k2＝10， ∴y乙＝10x＋80。 (2)解方程组解得 ∴出入游乐场8次时，两者花费一样，费用是160元。 (3)当y＝240时，y甲＝20x＝240， ∴x＝12。 当y＝240时，y乙＝10x＋80＝240， 解得x＝16。 ∵12＜16， ∴选择乙种消费卡更合算。 7．(10分)如图，将线段AB向右平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC，∠A＝2∠B。 (1)求∠BCD的度数； (2)若F，G，E依次为BC延长线上的点，且∠DFE＝∠EDF，∠FDG＝30°，请判断DG是否平分∠CDE，并说明理由。 解：(1)由平移特征，可得AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＋∠BCD＝180°，∠A＋∠B＝180°。 ∵∠A＝2∠B， ∴∠B＝60°， ∴∠BCD＝180°－60°＝120°。 (2)DG平分∠CDE。理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠B＝60°。 由三角形的外角性质，得∠CDF＝∠DFE－60°。 ∵∠FDG＝30°， ∴∠CDG＝∠CDF＋30°＝∠DFE－60°＋30°＝∠DFE－30°。 又∵∠EDG＝∠EDF－∠FDG＝∠EDF－30°，∠DFE＝∠EDF， ∴∠CDG＝∠EDG， ∴DG平分∠CDE。 8．(12分)阅读材料： 新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为最小算术平方根，最大的整数称为最大算术平方根。例如，1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6。 (1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”： 2，8，50(答案不唯一) 。 (2)3，12，48这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；若不是，请说出理由。 (3)已知a，64，100这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值。 解：(2)是。＝6，＝12，＝24， ∴3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24。 (3)∵a，64，100这三个数是“数学和谐数”， ∴a是正整数，＝8＝10，＝80。 分两种情况： ①当10＜80，即＜8时，则最大算术平方根是80，最小算术平方根是8。 ∵最大算术平方根是最小算术平方根的2倍， ∴2×8＝80， 解得a＝25，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义。 ②当8＞80，即＞10时，则最大算术平方根是10，最小算术平方根是80。 ∵最大算术平方根是最小算术平方根的2倍， ∴2×80＝10， 解得a＝256，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义。 综上所述，a的值为25或256。 创新考向三　规律探究 9．(12分)阅读材料：像(＋2)×(－2)＝1，＝a(a≥0)这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号。数学课上，老师出了一道题：已知a＝，求3a2－6a－1的值。 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵a＝＝＝＋1， ∴a－1＝， ∴(a－1)2＝2，∴a2－2a＋1＝2。 ∴a2－2a＝1，∴3a2－6a＝3，∴3a2－6a－1＝2。 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ，＝ ； (2)化简＋…＋； (3)若a＝，求－2a2＋12a＋3的值。 解：(2)原式＝＋…＋＝＝45－。 (3)∵a＝＝＝3＋， ∴a－3＝， ∴(a－3)2＝7， ∴a2－6a＋9＝7， ∴a2－6a＝－2， ∴－2a2＋12a＝4， ∴－2a2＋12a＋3＝7。 创新考向四　新定义 10．(12分)定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab＋a＋b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”。 (1)若a＝，b＝1，求a，b的“如意数”c； (2)若a＝m－4，b＝－m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0； (3)已知a＝，且a，b的“如意数”c＝5＋4，求b的值。 解：(1)c＝ab＋a＋b＝×1＋＋1＝2＋1。 (2)∵a＝m－4，b＝－m， ∴c＝(m－4)×(－m)＋(m－4)＋(－m)＝－m2＋4m－4， ∴c＝－m2＋4m－4＝－(m－2)2。 ∵(m－2)2≥0，∴c≤0。 (3)∵a＝＝＝2＋，a，b的“如意数”c＝5＋4， ∴(2＋)×b＋(2＋)＋b＝5＋4， 解得b＝。 11．(12分)定义：我们将与称为一对“对偶式”。因为()()＝()2－()2＝a－b，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决。例如，＝1，求的值，可以这样解答： ∵()() ＝()2－()2＝18－x－11＋x＝7， 且＝1， ∴＝7。 (1)代数式中，x的取值范围是 2≤x≤10 。 (2)已知＝8，求： ①＝ 2 ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程＝8。 解：(2)①∵()()＝()2－()2＝20－x－4＋x＝16，且＝8， ∴＝2。 故答案为2。 ②∵＝8， ∴＝8－。 两边同时平方，得20－x＝64－16＋4－x， ∴＝3。 两边同时平方，得4－x＝9， ∴x＝－5， 经检验，x＝－5是原方程的解。 创新考向五　传统文化 12．(12分)阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：勾广三，股修四，径隅五。这句话的意思是：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5。上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是 a2＋b2＝c2 。 (2)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”(如图1，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形)，利用面积法进行了证明。参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵S△ABC＝ab，S正方形ABDE＝c2，S正方形MNPQ＝ (a＋b)2 ，且 S正方形MNPQ ＝ 4S△ABC＋S正方形ABDE ， ∴(a＋b)2＝4×ab＋c2， 整理，得a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2， ∴ a2＋b2＝c2 。 (3)如图2，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求EF的长。 解：(3)如图，作FH⊥BC于点H。 ∵把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF， ∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF。 ∵AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF。 设AE＝CE＝x，则BE＝8－x。 在Rt△ABE中，由勾股定理，得x2＝42＋(8－x)2， 解得x＝5， ∴AE＝5，BE＝3， ∴EH＝2。 在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF＝＝2。 13．(12分)某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号文房四宝，经过调查得知，每套甲型号文房四宝的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1 100元。 (1)求每套甲、乙型号文房四宝的价格分别是多少。 (2)若学校需购进甲、乙两种型号文房四宝共120套，总费用不超过8 600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号文房四宝的数量必须低于甲型号文房四宝数量的3倍，问：有几种购买方案？最低费用是多少？ 解：(1)设每套甲型号文房四宝的价格是x元，则每套乙型号文房四宝的价格是(x－40)元。 由题意，得5x＋10(x－40)＝1 100， 解得x＝100。 x－40＝60。 答：每套甲型号文房四宝的价格是100元，每套乙型号文房四宝的价格是60元。 (2)设需购进乙型号文房四宝m套，则需购进甲型号文房四宝(120－m)套。 由题意，得 解得85≤m＜90。 ∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89， ∴共有5种购买方案。 方案1：购进35套甲型号文房四宝、85套乙型号文房四宝； 方案2：购进34套甲型号文房四宝、86套乙型号文房四宝； 方案3：购进33套甲型号文房四宝、87套乙型号文房四宝； 方案4：购进32套甲型号文房四宝、88套乙型号文房四宝； 方案5：购进31套甲型号文房四宝、89套乙型号文房四宝。 ∵每套甲型号文房四宝的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号文房四宝的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是31×100＋60×89＝8 440(元)。 11/11 学科网（北京）股份有限公司 $