36 专项突破提升(一) 平行四边形的典型应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(一)　平行四边形的典型应用 类型一　平行四边形的性质与判定 1．(4分)如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E。若∠A＝40°，则∠EBC的度数为(　B　) 　 A．40° B．50° C．60° D．70° 2．(4分)如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列选项中不能得出四边形ABCD是平行四边形的是(　B　) A．AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠ABD＝∠CDB C．AO＝CO，∠DAC＝∠BCA D．AO＝CO，BO＝DO 3．(8分)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO。 (1)求证：四边形AECD是平行四边形； (2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积。 (1)证明：在△AOE和△COD中， ∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OE＝OD。 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD是平行四边形。 (2)解：∵AB＝BC，AO＝CO， ∴OB⊥AC， ∴平行四边形AECD是菱形。 ∵AC＝8，∴CO＝AC＝4。 在Rt△COD中，由勾股定理，得OD＝＝＝3， ∴DE＝2OD＝6， ∴菱形AECD的面积为AC·DE＝×8×6＝24。 类型二　矩形的性质与判定 4．(4分)矩形一定具有而菱形不一定具有的性质是(　D　) A．内角和等于360° B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 5．(4分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD。其中，不能使四边形ABCD成为矩形的一组是(　C　) A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 6．(10分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F。 (1)求证：AF＝BD； (2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形。 证明：(1)∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE。 ∵E为AD的中点，∴AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC。 ∵D为BC的中点，∴BD＝DC， ∴AF＝BD。 (2)∵AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形ADBF是平行四边形。 ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴四边形ADBF是矩形。 类型三　菱形的性质与判定 7．(4分)如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD。若∠1＝20°，则∠2的度数为(　C　) A．20° B．60° C．70° D．80° 8．(4分)下列条件能判定四边形是菱形的是(　C　) A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形 9．(10分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF。 (1)求证：AE＝AF； (2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数。 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D。 ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°。 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(AAS), ∴AE＝AF。 (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＋∠BAD＝180°。 ∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°。 ∵∠AEB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°。 由(1)，知△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°， ∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°。 类型四　正方形的性质与判定 10．(4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件： AB＝AD(答案不唯一) ，使得矩形ABCD为正方形。 11．(4分)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P。若使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 6 。 12．(10分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F。判断四边形EBFM的形状，并证明你的结论。 解：四边形EBFM是正方形。证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°。 ∵ME⊥AB，MF⊥BC， ∴∠MEB＝∠MFB＝90°， ∴四边形EBFM是矩形， ∴EM∥BF， ∴∠EMB＝∠MBF。 ∵BM平分∠ABC，∴∠EBM＝∠MBF， ∴∠EBM＝∠EMB， ∴EB＝EM，∴四边形EBFM是正方形。 类型五　三角形的中位线 13．(4分)如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°。若AB＝6，BC＝8，则EF的长为 1 。 解析：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB＝90°， ∴DE＝BC，DF＝AB。 ∵AB＝6，BC＝8， ∴DE＝×8＝4，DF＝×6＝3， ∴EF＝DE－DF＝4－3＝1。 故答案为1。 14．(12分)阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形。如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH。 (1)这个中点四边形EFGH的形状是 平行四边形 ； (2)如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明。 　 图1 图2 解：(2)四边形EFGH为菱形。证明如下： 如图，连接AC与BD。 ∵△AMD和△MCB为等边三角形， ∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM， ∴∠AMC＝∠DMB。 在△AMC和△DMB中， ∴△AMC≌△DMB(SAS)， ∴AC＝DB。 ∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线， ∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC， GH＝AC，HE＝DB， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形。 ∵AC＝DB，∴EF＝HE， ∴四边形EFGH为菱形。 类型六　与平行四边形有关的折叠问题 15．(12分)如图，在△ABC中，M是边AC上的一点，连接BM。将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形。 证明：由折叠，得AB＝AD，BM＝DM，∠BAM＝∠DAM。 ∵DM∥AB，∴∠BAM＝∠AMD， ∴∠DAM＝∠AMD， ∴AD＝DM，∴AB＝AD＝BM＝DM， ∴四边形ABMD是菱形。 16．(12分)实验探究：(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN。请你观察图1，猜想∠MBN的度数，并证明你的结论。 (2)将图1中的三角形纸片BMN剪下来，如图2。折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系。写出折叠方案，并结合方案证明你的结论。 　 图1 图2 解：(1)∠MBN＝30°。证明如下： 如图1，连接AN。 ∵直线EF是AB的垂直平分线，点N在EF上，∴AN＝BN。 由折叠可知，BN＝AB， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°。 　 图1 图2 (2)MN＝BM。折纸方案：如图2，折叠三角形纸片BMN，使点N落在BM上，并使折痕经过点M，得到折痕MP，同时得到线段PO。 证明：由折叠，知△MOP≌△MNP， ∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°， ∴∠BOP＝∠MOP＝90°。 ∵OP＝OP， ∴△MOP≌△BOP(AAS)， ∴MO＝BO＝BM， ∴MN＝BM。 类型七　与平行四边形有关的分类讨论问题 17．(4分)▱ABCD的周长为56 cm，对角线AC，BD相交于点O，△ABO与△BCO的周长之差为4 cm，则AD＝ 16或12 cm。 18．(4分)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是 30°或150° 。 19．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点。点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动。点P停止运动时，点Q也随之停止运动。求当运动时间t为多少秒时，以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形。 解：由题意，可知AP＝t，CQ＝2t，CE＝BC＝8。 ∵AD∥BC， ∴当PD＝EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形。 当2t＜8，即t＜4时，点Q在点C，E之间， 如图1。此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t。 由6－t＝8－2t，得t＝2。 当4<t<6时，点Q在点B，E之间，如图2。此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8。由6－t＝2t－8，得t＝。 ∴当运动时间t为2 s或 s时，以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形。 　 图1 图2 类型八　与平行四边形有关的动点问题 20．(4分)如图，P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　A　) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 21．(12分)如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC。设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F。 (1)求证：OE＝OF； (2)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由。 (1)证明：∵CF平分∠ACD， 且MN∥BD， ∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO， ∴OF＝OC。 同理可证OC＝OE，∴OE＝OF。 (2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形。理由如下： 由(1)，知OE＝OF。 当点O运动到AC的中点时，有OA＝OC， ∴四边形AECF为平行四边形。 由题易知∠ECF＝90°， ∴四边形AECF为矩形。 22．(14分)已知：正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点。 (1)如果动点E，F满足BE＝CF(如图1)。 ①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形；(不得添加辅助线) ②求证：AE⊥BF。 (2)如果动点E，F满足BE＝OF(如图2)，那么当AE⊥BF时，点E在什么位置？并证明你的结论。 　　 图1 图2 (1)①解：△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ABF≌△DAE。 ②证明：如图1，延长AE交BF于点G。 图1 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BCF＝∠ABE。 ∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS), ∴∠CBF＝∠BAE。 ∵∠ABE＋∠EBG＋∠CBF＝90°， ∴∠ABE＋∠EBG＋∠BAE＝90°， ∴∠AGB＝90°，即AE⊥BF。 (2)解：E是OB的中点。证明如下： 如图2，延长AE交BF于点H。 图2 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BCF＝∠ABE。 ∵AE⊥BF，∴∠AHB＝90°， ∴∠ABE＋∠EBH＋∠BAE＝90°。 ∵∠ABE＋∠EBH＋∠CBF＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， ∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF。 ∵BE＝OF，∴BE＝OC。 ∵OB＝OC，∴BE＝OB，∴E是OB的中点。 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $