40 专项突破提升(五) 一次函数的综合应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(五)　一次函数的综合应用 类型一　利用一次函数解决行程问题 1．(12分)A，B两地相距360 km，甲、乙两车先后从A地出发到B地，甲车比乙车早出发1.5 h。如图，线段OC表示甲车离开A地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系；折线DEF表示乙车离开A地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系。 根据图象回答下列问题： (1)乙车到达B地时，求此时甲车距离A地多少千米； (2)求点G的坐标，并说明点G表示的实际意义； (3)求乙出发多长时间时，两车相距20 km。 解：(1)甲车的速度为360÷6＝60(km/h)， 60×5＝300(km)， ∴乙车到达B地时，此时甲车距离A地300 km。 (2)∵甲车的速度为60 km/h， ∴甲车离开A地的距离y与时间x之间的函数关系式为y＝60x(0≤x≤6)。 设线段EF对应的函数关系式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)。 将坐标E(2，60)和F(5，360)分别代入y＝kx＋b， 得 解得 ∴线段EF对应的函数关系式为y＝100x－140(2≤x≤5)。 当线段OC与EF相交时， 得 解得 ∴点G的坐标为(3.5，210)。 ∵3.5－1.5＝2(h)， ∴点G表示的实际意义是乙车出发后2 h追上甲车，此时两车距离A地210 km。 (3)设线段DE对应的函数关系式为y＝k1x＋b1(k1，b1为常数，且k1≠0)。 将坐标D(1.5，0)和E(2，60)分别代入y＝k1x＋b1， 得 解得 ∴线段DE对应的函数关系式为y＝120x－180(1.5≤x＜2)， ∴乙车离开A地的距离y与时间x之间的函数关系式为y＝ 当1.5≤x＜2时，若两车相距20 km，则60x－(120x－180)＝20，解得x＝(不符合题意，舍去)。 当2≤x≤5时，若两车相距20 km，则|100x－140－60x|＝20，解得x＝3或x＝4，此时乙出发3－1.5＝1.5(h)或4－1.5＝2.5(h)。 ∴乙出发1.5 h或2.5 h时，两车相距20 km。 类型二　利用一次函数解决工程问题 2．(12分)某乡镇决定对A，B两村之间的公路进行改造，甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑。已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工。乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通。图为甲、乙两个工程队修公路的长度y(m)与施工时间x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解决下列问题： (1)乙工程队每天修公路多少米？ (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y(m)与施工时间x(天)之间的函数表达式； (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 解：(1)由题中图象，可得 乙工程队每天修公路600÷(6－2)＝150(m)， 即乙工程队每天修公路150 m。 (2)设乙工程队修公路的长度y(m)与施工时间x(天)之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)。 ∵点(2，0)，(6，600)在该函数的图象上， ∴ 解得 ∴乙工程队修公路的长度y(m)与施工时间x(天)之间的函数表达式为y＝150x－300。 当x＝4时，y＝150×4－300＝300。 设甲工程队修公路的长度y(m)与施工时间x(天)之间的函数表达式为y＝mx(m≠0)。 ∵点(4，300)在该函数的图象上， ∴300＝4m，解得m＝75， ∴甲工程队修公路的长度y(m)与施工时间x(天)之间的函数表达式为y＝75x。 (3)当x＝10时，y甲＝750， ∴该公路总长为750＋600＝1 350(m)。 设需n天完成。 由题意，得(150＋75)n＝1 350，解得n＝6。 答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需6天完成。 类型三　利用一次函数解决销售问题 3．(12分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售。经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1 000元购进甲种粽子的个数与用1 200元购进乙种粽子的个数相同。 (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元。 ①求W与m之间的函数表达式，并求出m的取值范围。 ②超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 解：(1)设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x＋2)元。 根据题意，得＝， 解得x＝10。 经检验，x＝10是原分式方程的根。 此时x＋2＝12。 答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元。 (2)①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200－m)个。 根据题意，得W＝(12－10)m＋(15－12)·(200－m)＝2m＋600－3m＝－m＋600， ∴W与m之间的函数表达式为W＝－m＋600。 ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴m≥2(200－m), 解得m≥。 ②由①，知W＝－m＋600，－1＜0，m为正整数， ∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466， 此时200－134＝66， ∴购进甲种粽子134个、乙种粽子66个时，利润最大，最大利润为466元。 类型四　利用一次函数解决方案决策问题 4．(12分)某校组织了“诗词里的中国”主题比赛，计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元。该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案(只能选择其中一种)。 方案一：A种奖品每个打九折，B种奖品每个打六折。 方案二：A，B两种奖品均打八折。 设购买A种奖品x个，选择方案一的购买费用为y1元，选择方案二的购买费用为y2元。 (1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式； (2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少。 解：(1)由题意，得y1＝20×0.9x＋15×0.6×(300－x)＝9x＋2 700， y2＝20×0.8x＋15×0.8×(300－x)＝4x＋3 600， ∴y1与x之间的函数表达式为y1＝9x＋2 700，y2与x之间的函数表达式为y2＝4x＋3 600。 (2)当y1＞y2时，9x＋2 700＞4x＋3 600， 解得x＞180， ∴购买A种奖品超过180个时，方案二支付的费用少； 当y1＝y2时，9x＋2 700＝4x＋3 600， 解得x＝180， ∴购买A种奖品180个时，方案一和方案二支付的费用一样多； 当y1＜y2时，9x＋2 700＜4x＋3 600， 解得x＜180， ∴购买A种奖品少于180个时，方案一支付的费用少。 类型五　一次函数与图形变换的综合应用 5．(12分)已知在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x＋b经过点A(1，1)，P(m，5)。 (1)求b，m的值； (2)求△OAP的面积； (3)将直线l向上或向下平移，使得点A平移到x轴上，原直线上有一点M，平移后的对应点为N。若OM＝ON，求点M的坐标。 解：(1)∵y＝2x＋b经过点A(1，1)，P(m，5)， ∴当x＝1时，1＝2×1＋b，解得b＝－1。 当y＝5时，5＝2x－1， 解得x＝3，即m＝3。 (2)由(1)，知直线l的表达式为y＝2x－1。 如图，当x＝0时，y＝2×0－1，解得y＝－1， 则B(0，－1)，即OB＝1， ∴S△OAP＝S△OBP－S△OBA＝OB·|xP|－OB·|xA|＝×1×(3－1)＝1。 (3)由将直线l向上或向下平移，使得点A平移到x轴上，可知直线l向下平移1个单位长度。 设M(a，2a－1)，则N(a，2a－2)。 ∵OM＝ON，且MN∥y轴， ∴点O应在线段MN的垂直平分线上，即M，N关于x轴对称， ∴2a－1＋2a－2＝0，解得a＝， ∴2a－1＝2×－1＝， ∴点M的坐标为。 类型六　一次函数与三角形的综合应用 6．(12分)如图，直线l1：y＝2x＋6与过点B(3，0)的直线l2交于点C(－1，m)，且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D。 (1)求直线l2的表达式； (2)若点M是直线l2上的点，且在y轴左侧，过点M作MN⊥直线x＝1于点N，点Q在直线x＝1上，要使△MNQ≌△AOD，求所有满足条件的点Q的坐标。 　 解：(1)∵直线l1：y＝2x＋6与过点B(3，0)的直线l2交于点C(－1，m)， ∴C(－1，4)。 设直线l2的表达式为y＝kx＋b。 ∴解得 ∴直线l2的表达式为y＝－x＋3。 (2)∵直线l1：y＝2x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点D， ∴A(－3，0)，D(0，6)， ∴OD＝6，OA＝3。 ∵△MNQ≌△AOD， ∴MN＝AO＝3，NQ＝OD＝6。 ∵MN＝OA＝3＝1－xM， ∴M(－2，5)， ∴N(1，5)。 由NQ＝|yQ－5|＝6，解得yQ＝11或yQ＝－1， ∴点Q的坐标为(1，11)或(1，－1)。 类型七　一次函数与四边形的综合应用 7．(14分)如图，边长为4的正方形ABCD在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，AD⊥x轴，点A在直线y＝2x－3上移动。 (1)当点A的横坐标为1时，求B，C两点的坐标； (2)在正方形ABCD移动的过程中，直线l始终平分正方形ABCD的面积，求直线l的表达式； (3)当正方形ABCD有一条边与x轴或y轴重合时，请直接写出所有符合条件的点A的坐标。 解：(1)当点A的横坐标为1时， y＝2x－3＝－1，∴A(1，－1)， ∴点B，C的坐标分别为(－3，－1)，(－3，3)。 (2)设点A(m，2m－3)，则点C(m－4，2m＋1)。 由中点坐标公式，得正方形的中心坐标为(m－2，2m－1)， 即x＝m－2，y＝2m－1，则y＝2x＋3。 ∴直线l的表达式为y＝2x＋3。 (3)当边AB和x轴重合时，由直线y＝2x－3，知该直线和x轴的交点坐标为，即A； 当边CD和x轴重合时，则点A的纵坐标为－4，则－4＝2x－3， 解得x＝－，即A； 同理可得，当边AD与y轴重合时，点A的坐标为(0，－3)；当边BC与y轴重合时，点A的坐标为(4，5)。 综上，点A的坐标为或或(0，－3)或(4，5)。 类型八　一次函数与动点问题的综合应用 8．(14分)如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x－3与x轴交于点B，与l1相交于点C，过x轴上的动点E(t，0)作直线l3⊥x轴分别与直线l1，l2交于P，Q两点。 (1)①请直接写出点A，B，C的坐标：A (－1，0) ，B (1，0) ，C (2，3) ； ②若PQ＝2，求t的值。 (2)如图2，若E为线段AB上的动点，过点P作直线PF⊥PQ交直线l2于点F。求当t为何值时，PQ－PF的值最大，并求这个最大值。 　 图1 图2 解：(1)②由题意，得P(t，t＋1)，Q(t，3t－3)， 则PQ＝|t＋1－3t＋3|＝2， 解得t＝1或t＝3。 (2)由题意，得P(t，t＋1)，F，Q(t，3t－3)，－1≤t≤1， 则PQ－PF＝t＋1－3t＋3－＝－。 ∵－<0，－1≤t≤1， ∴当t＝－1时，PQ－PF的值最大，最大值为4。 9/9 学科网（北京）股份有限公司 $