41 思想方法集锦-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

思想方法集锦 方法一　分类讨论思想 1．(4分)如果三条线段的长分别为8，x，15，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以x为边长的正方形的面积是(　C　) A．161 B．289 C．161或289 D．不能确定 解析：当x为直角边时，15为斜边，根据勾股定理，得x2＋82＝152， 解得x2＝161。 当x为斜边时，根据勾股定理，得82＋152＝x2，解得x2＝289， 即以x为边长的正方形的面积是161或289。 故选C。 2．(4分)在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC的长为(　C　) A．2 B．4 C．2或4 D．5或3 解析：作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，△ABC的面积为AB·CD＝×5·CD＝10，解得CD＝4， ∴AD＝＝＝3。 分两种情况： ①当等腰三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示， 图1 BD＝AB－AD＝2， ∴BC＝＝＝2。 ②当等腰三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示， 图2 BD＝AB＋AD＝8， ∴BC＝＝＝4。 综上所述，BC的长为2或4。 故选C。 3．(4分)直角三角形的两边a，b满足|a2－9|＋＝0，则第三边的长是 或5 。 解析：∵直角三角形的两边a，b满足|a2－9|＋＝0， ∴a2－9＝0，16－b2＝0， 解得a1＝3，a2＝－3(舍去)，b1＝4，b2＝－4(舍去)， 当第三边是直角边时，长为＝； 当第三边是斜边时，长为＝5。 故答案为或5。 4．(4分)在直线y＝kx＋b(k≠0)中，k，b决定着直线的位置。 (1)k＞0，b＞0⇔直线经过第 一、二、三 象限； (2)k＞0，b＜0⇔直线经过第 一、三、四 象限； (3)k＜0，b＞0⇔直线经过第 一、二、四 象限； (4)k＜0，b＜0⇔直线经过第 二、三、四 象限。 5．(4分)在平面直角坐标系中，已知A(3，2)，B(－1，－4)，P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点。若以A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点Q的坐标： (0，－6)或(0，6)或(0，－2) 。 方法二　方程思想 6．(4分)如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，已知AB＝8 cm，AD＝10 cm，则EF的长为(　D　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 解析：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8 cm，AD＝10 cm， ∴CD＝AB＝8 cm，BC＝AD＝10 cm， ∠B＝∠C＝∠D＝90°。 由折叠，得AF＝AD＝10 cm，EF＝ED， ∴BF＝＝＝6(cm)，CE＝8－ED＝8－EF， ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4(cm)。 ∵CF2＋CE2＝EF2， ∴42＋(8－EF)2＝EF2， 解得EF＝5， ∴EF的长为5 cm。 故选D。 7．(8分)若关于x的不等式组 的解集是－2≤x＜3，求(m＋n)2的值。 解： 解不等式①，得x＜。 解不等式②，得x≥。 ∴不等式组的解集为≤x＜。 又∵关于x的不等式组 的解集是－2≤x＜3， ∴ 解得 ∴(m＋n)2＝(－8)2＝64。 方法三　转化思想 8．(12分)如图，要在河边l修建一个水泵站P，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边l的距离分别为2 km和7 km，且A，B二村庄相距13 km。 (1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站P的位置。 (2)如果铺设水管的工程费用为每千米15 000元，请求出最节省的铺设水管的费用。 解：(1)如图，作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P为水泵站的位置，此时，PA＋PB的长度之和最短，即所铺设水管最短。 (2)如图，过点B作l的垂线，过点A′作l的平行线，设这两线交于点C，则∠C＝90°。 过点A作AE⊥BC于点E。 依题意，得BE＝5 km，AB＝13 km， ∴AE2＝AB2－BE2＝132－52＝144， ∴AE＝12 km。 由平移关系，得A′C＝AE＝12 km。 在△BA′C中，∵BC＝7＋2＝9(km)，A′C＝12 km， ∴A′B2＝A′C2＋BC2＝122＋92＝225， ∴A′B＝15 km。 ∵PA＝PA′， ∴PA＋PB＝A′B＝15 km， ∴15 000×15＝225 000(元)。 ∴最节省的铺设水管的费用为225 000元。 9．(10分)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若△CDE的周长为10，求平行四边形ABCD的周长。 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD。 ∵OE⊥BD， ∴BE＝DE。 ∵△CDE的周长为10， ∴DE＋CE＋CD＝BE＋CE＋CD＝BC＋CD＝10， ∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC＋CD)＝20。 10．(10分)如图，点E，F分别在▱ABCD的边DC，CB上，且AE＝AF，DG⊥AF，BH⊥AE，垂足分别为G，H。求证：DG＝BH。 证明：如图，连接DF，BE。 ∵点E，F分别在▱ABCD的边DC，CB上， ∴S△ADF＝S▱ABCD，S△ABE＝S▱ABCD， ∴S△ADF＝S△ABE。 ∵DG⊥AF，BH⊥AE， ∴AF·DG＝AE·BH。 ∵AE＝AF， ∴DG＝BH。 方法四　整体思想 11．(10分)已知x满足 化简：|x－3|＋|2x－1|。 解：由不等式①，得(x－3)(35＋36－99)>0，即x－3<0。 由不等式②，得(2x－1)＋(2x－1)－(2x－1)<0， (2x－1)<0，即(2x－1)>0。 ∴|x－3|＋|2x－1|＝－(x－3)＋2x－1＝x＋2。 方法五　数形结合思想 12．(4分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的边有(　D　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：由勾股定理，得AB＝＝，是无理数， BC＝＝，是无理数， AC＝＝2，是无理数， 则边长为无理数的边有3条。 故选D。 13．(4分)在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1 km所用的时间，即“配速”(单位：min/km)。小华参加5 km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是(　D　) A．第1 km所用的时间最长 B．第5 km的平均速度最大 C．第2 km和第3 km的平均速度相同 D．前2 km的平均速度大于最后2 km的平均速度 解析：由图象，可知 第1 km所用的时间最长，约为4.5 min，故选项A说法正确，不符合题意； 第5 km所用的时间最短，即平均速度最大，故选项B说法正确，不符合题意； 第2 km和第3 km的平均速度相同，故选项C说法正确，不符合题意； 前2 km的平均速度小于最后2 km的平均速度，故选项D说法错误，符合题意。 故选D。 14．(4分)同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间。甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地。甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶。如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系。下列结论正确的是(　A　) A．甲车行驶 h与乙车相遇 B．A，C两地相距220 km C．甲车的速度是70 km/h D．乙车中途休息了36 min 解析：根据函数图象，可得A，B两地之间的距离为40－20＝20(km)， 两车行驶了4 h，同时到达C地，如图所示，在1～2 h，两车同向运动，在第2 h，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，点E的意义是两车相遇，点F的意义是乙车休息后再出发， ∴乙车中途休息了1 h，故选项D不正确，不符合题意； 设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h， 根据题意，乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，即a＜b。 ∵2b＋20－2a＝40，即b－a＝10， 在DE－EF时，乙车不动，则甲车的速度是＝60(km/h)， ∴乙车速度为60＋10＝70(km/h)，故选项C不正确，不符合题意； ∴A，C两地的距离为4×60＝240(km)，故选项B不正确，不符合题意； 设m h两辆车相遇。依题意，得60m＝2×70＋20， 解得m＝，即甲车行驶 h时，两车相遇，故选项A正确，符合题意。 故选A。 15．(14分)综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力。勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷。 【证明方法】 图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋(b－a)2，从而得到等式c2＝ab×4＋(b－a)2，化简便得结论：a2＋b2＝c2。这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”。 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： (1)若图2中小正方形的边长均为1，则△ABC边AB上的高为； 【方法迁移】 (2)如图3，在△ABC中，AC＝14，AB＝16，BC＝6，AD是边BC上的高，求AD的值； 【定理应用】 (3)如图4，在矩形ABCD中，AB＝3，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为 －2 ； 【数学思想】 (4)在解决以上问题的过程中，用到的数学思想有 ①② 。(填序号) ①方程思想； ②数形结合思想； ③分类讨论思想； ④函数思想。 解：(1)由勾股定理，得AB＝＝。 设边AB上的高为h。 S△ABC＝4×4－×2×4－×2×3－×1×4＝7， ∴S△ABC＝AB·h＝7， ∴h＝， ∴边AB上的高是。 故答案为。 (2)设CD＝x。 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝162－(6＋x)2＝256－(6＋x)2。 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝142－x2＝196－x2， ∴256－(6＋x)2＝196－x2， ∴x＝2，∴CD＝2， ∴AD2＝196－4＝192， ∴AD＝8。 (3)由题意，得BC＝2。 ∵AB＝3，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝， ∴点M表示的数为－2。 故答案为－2。 10/10 学科网（北京）股份有限公司 $