39 专项突破提升(四) 二次根式的综合应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(四)　二次根式的综合应用 类型一　二次根式的化简 1．(6分)已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋|a－b|－。 解：根据题中数轴，可得a＞0＞b，∴a－b＞0， ∴原式＝|a|＋|a－b|－|b－a|＝|a|＝a。 2．(8分)已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。 (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b＋a ＞ 0，－a＋b ＞ 0； (2)化简：＋2＋|a－b|。 解：(2)∵－1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|， ∴a＋1＞0，b－1＜0，a－b＜0， ∴＋2＋|a－b|＝a＋1＋2(1－b)＋(b－a)＝a＋1＋2－2b＋b－a＝3－b。 类型二　二次根式的混合运算 3．(6分)计算： (1)2－6＋3； (2)3÷。 解：(1)原式＝4－2＋12＝16－2。 (2)原式＝3××2＝－5。 4．(8分)计算： (1)； (2)÷； (3)－5； (4) ＋|－1|＋。 解：(1)原式＝3＋3－2＋5＝8。 (2)原式＝÷＝＝＝1。 (3)原式＝3＋2＝3＋2＋2＝5。 (4)原式＝4＋－1＋3＝6＋。 类型三　二次根式与乘法公式 5．(6分)计算： (1)()2－÷； (2)(3＋)(3－)－。 解：(1)原式＝5＋2＋2＝7＋2＝7＋2－2。 (2)原式＝9－2－＝9－2－＝9－2－5＝2。 6．(6分)计算： (1)(－1)2； (2)(2＋3)(2－3)。 解：(1)(－1)2＝3－2＋1＝4－2。 (2)(2＋3)(2－3)＝12－18＝－6。 类型四　二次根式的化简求值 7．(4分)已知a＝＋1，b＝－1，求a2－b2的值。 嘉琪同学的解题步骤如下： a2－b2 ＝(a＋b)(a－b)① ＝(＋1＋－1)(＋1－－1)② ＝2×0③ ＝0。④ 其中，首先出错的步骤是(　B　) A．① B．② C．③ D．④ 8．(8分)已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值： (1)x2－xy＋y2； (2)。 解：(1)∵x＝＋1，y＝－1， ∴x＋y＝＋1＋－1＝2， xy＝(＋1)(－1)＝3－1＝2， ∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(2)2－3×2＝12－6＝6。 (2)由(1)，知x＋y＝2，xy＝2， ∴＝＝＝＝＝4。 类型五　二次根式的新定义运算 9．(6分)若规定a※b＝，求3※5的结果。 解：3※5＝＝＝。 10．(8分)定义：若两个二次根式a，b满足a·b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式。 (1)若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝ 2 ； (2)若3＋与6＋m是关于12的共轭二次根式，求m的值。 解：(2)∵3＋与6＋m是关于12的共轭二次根式， ∴(3＋)(6＋m)＝12, ∴18＋6＋3m＋3m＝12, ∴m(3＋3)＝－6－6， ∴m＝－2。 类型六　二次根式的规律探究 11．(12分)观察下列各式： ①＝2； ②＝3； ③＝4； …… (1)请观察规律，写出第④个等式：； (2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规律：； (3)请证明(2)中的结论。 解：(3)＝＝＝(n＋1)。 12．(12分)观察下列各式： ①＝＝2；②＝＝3； (1)根据你发现的规律填空：＝； (2)猜想：＝ (n≥2，n为自然数)，并通过计算证明你的猜想。 解：(2)n。证明如下： ＝＝＝n。 类型七　二次根式的实际应用 13．(12分)如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32。求： (1)正方形ABCD和正方形ECFG的边长； (2)阴影部分的面积。 解：(1)正方形ABCD的边长为＝2， 正方形ECFG的边长为＝4。 (2)∵BF＝BC＋CF，BC＝2，CF＝4， ∴BF＝6， ∴S△BFG＝GF·BF＝24。 又S△ABD＝AB·AD＝4， ∴S阴影＝S正方形ABCD＋S正方形ECFG－S△BFG－S△ABD ＝8＋32－24－4 ＝12。 14．(12分)高空抛物严重威胁着人们的安全，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，行人常常避让不及。据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t＝(不考虑风速的影响，g≈10 m/s2)。 (1)求从60 m高空抛物到落地的时间。(结果保留根号) (2)已知高空坠物动能(单位：J)＝10×物体质量(单位：kg)×高度(单位：m)，某质量为0.2 kg的玩具被抛出后经过3 s 落在地上。若伤害无防护人体只需要65 J的动能，则这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由。 解：(1)由题意，知h＝60 m， ∴t＝＝＝2(s)。 ∴从60 m高空抛物到落地的时间为2 s。 (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。理由如下： 当t＝3时，3＝， ∴h＝45， ∴这个玩具产生的动能为10×0.2×45＝90(J)＞65 J， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。 类型八　二次根式的阅读理解题 15．(12分)先阅读，后解答： ＝＝；＝＝＝3＋。 像上述解题过程中，与与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化。 (1)将下列式子进行分母有理化： ①＝；②＝ －1 。 (2)计算： ＋…＋。 解：(2)＋…＋ ＝(－1)＋()＋()＋…＋() ＝－1＋＋…＋ ＝－1 ＝44。 16．(14分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，3＋2＝(1＋)2。善于思考的小明进行了以下探索：若设a＋b＝(m＋n)2＝m2＋2n2＋2mn(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＝m2＋2n2，b＝2mn。这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若a＋b＝(m＋n)2，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ m2＋7n2 ，b＝ 2mn 。 (2)化简下列各式： ①； ②； ③。 解：(2)①原式＝＝＝＋1。 ②原式＝＝＝。 ③将原式平方，得 ()2 ＝4－＋2＋4＋ ＝8＋2 ＝8＋2 ＝8＋2 ＝8＋2(－1)＝6＋2＝(＋1)2， 所以原式＝＝＋1。 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $