39 专项突破提升(四) 二次根式的综合应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(四)　二次根式的综合应用

类型一　二次根式的化简

1．(6分)已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋|a－b|－。

解：根据题中数轴，可得a＞0＞b，∴a－b＞0，

∴原式＝|a|＋|a－b|－|b－a|＝|a|＝a。

2．(8分)已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。

(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b＋a  ＞  0，－a＋b  ＞  0；

(2)化简：＋2＋|a－b|。

解：(2)∵－1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，

∴a＋1＞0，b－1＜0，a－b＜0，

∴＋2＋|a－b|＝a＋1＋2(1－b)＋(b－a)＝a＋1＋2－2b＋b－a＝3－b。

类型二　二次根式的混合运算

3．(6分)计算：

(1)2－6＋3；

(2)3÷。

解：(1)原式＝4－2＋12＝16－2。

(2)原式＝3××2＝－5。

4．(8分)计算：

(1)；

(2)÷；

(3)－5；

(4) ＋|－1|＋。

解：(1)原式＝3＋3－2＋5＝8。

(2)原式＝÷＝＝＝1。

(3)原式＝3＋2＝3＋2＋2＝5。

(4)原式＝4＋－1＋3＝6＋。

类型三　二次根式与乘法公式

5．(6分)计算：

(1)()2－÷；

(2)(3＋)(3－)－。

解：(1)原式＝5＋2＋2＝7＋2＝7＋2－2。

(2)原式＝9－2－＝9－2－＝9－2－5＝2。

6．(6分)计算：

(1)(－1)2；

(2)(2＋3)(2－3)。

解：(1)(－1)2＝3－2＋1＝4－2。

 (2)(2＋3)(2－3)＝12－18＝－6。

类型四　二次根式的化简求值

7．(4分)已知a＝＋1，b＝－1，求a2－b2的值。

嘉琪同学的解题步骤如下：

a2－b2

＝(a＋b)(a－b)①

＝(＋1＋－1)(＋1－－1)②

＝2×0③

＝0。④

其中，首先出错的步骤是(　B　)

A．① B．②

C．③ D．④

8．(8分)已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：

(1)x2－xy＋y2；

(2)。

解：(1)∵x＝＋1，y＝－1，

∴x＋y＝＋1＋－1＝2，

xy＝(＋1)(－1)＝3－1＝2，

∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(2)2－3×2＝12－6＝6。

(2)由(1)，知x＋y＝2，xy＝2，

∴＝＝＝＝＝4。

类型五　二次根式的新定义运算

9．(6分)若规定a※b＝，求3※5的结果。

解：3※5＝＝＝。

10．(8分)定义：若两个二次根式a，b满足a·b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式。

(1)若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝  2  ；

(2)若3＋与6＋m是关于12的共轭二次根式，求m的值。

解：(2)∵3＋与6＋m是关于12的共轭二次根式，

∴(3＋)(6＋m)＝12,

∴18＋6＋3m＋3m＝12,

∴m(3＋3)＝－6－6， ∴m＝－2。

类型六　二次根式的规律探究

11．(12分)观察下列各式：

①＝2；

②＝3；

③＝4；