37 专项突破提升(二) 勾股定理的综合应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(二)　勾股定理的综合应用 类型一　利用勾股定理求线段长 1．(8分)如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠CBA＝∠DCA＝∠EDA＝∠FEA＝90°，以点A为圆心、AF长为半径作圆弧与数轴交于点P。若点A表示的数为0，点B表示的数为1，求AP的长。 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝， 同理，AD＝＝， AE＝＝2，AF＝＝。 由题意，知AP＝AF＝。 2．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC。 (1)求AC的长； (2)求四边形ABCD的面积。 解：(1)∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC， ∴AC＝＝＝12。 (2)∵AC＝12，CD＝15，AD＝9， ∴CD2＝AC2＋AD2， ∴△ADC是直角三角形，∠CAD＝90°， ∴四边形ABCD的面积为BC·AC＋AD·AC＝×5×12＋×9×12＝84。 类型二　利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 3．(4分)已知三角形的三边长分别为a，b，c，若(a－5)2＋|b－12|＋＝0，则△ABC是(　C　) A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 4．(10分)如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF＝AB，求证：∠FEC＝90°。 证明：∵正方形ABCD的边长为4，且AF＝AB， ∴AF＝1，FD＝3，DC＝BC＝4。 ∵E为AB的中点，∴AE＝EB＝2。 在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF＝＝＝， 在Rt△DFC中，由勾股定理，得FC＝＝＝5， 在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝2。 ∴EC2＋EF2＝FC2， ∴△EFC是以EC，EF为直角边的直角三角形， ∴∠FEC＝90°。 类型三　利用勾股定理解决立体图形的展开问题 5．(4分)如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是(　C　) A．6 cm B．12 cm C．13 cm D．16 cm 6．(10分)一只蚂蚁沿图1中正方体的表面从顶点A爬到顶点B，图2是图1正方体的表面展开图，设正方体的棱长为1。 (1)在图2中标出点B的位置； (2)求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长。 　 图1 图2 解：(1)如图，点B即为所求。 (2)如图，连接AB。 ∵正方体的棱长为1， ∴AC＝2，BC＝1， ∴AB＝＝， ∴蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长是 。 7．(10分)如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm。 (1)点A1与点C2之间的距离是多少？ (2)若一只蚂蚁从点A2爬到点C1，则爬行的最短路程是多少？ 解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm， ∴A2C2＝＝(cm), ∴A1C2＝＝＝(cm), ∴点A1与点C2之间的距离是 cm。 (2)如图1，A2C1＝＝5(cm)。 如图2，A2C1＝＝(cm)。 如图3，A2C1＝＝2(cm)。 ∵5＜2＜，∴一只蚂蚁从点A2爬到点C1，爬行的最短路程是5 cm。 图1 图2 图3 类型四　利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 8．(4分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　C　) A．3 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．12 cm2 9．(8分)如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使边AB与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，求AB的长。 解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8， ∴BC＝8。 ∵△AEF是由△AEB翻折而成， ∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形， ∴CE＝BC－BE＝8－3＝5。 在Rt△CEF中，CF＝＝＝4。 设AB＝x。在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2， 即(x＋4)2＝x2＋82。 解得x＝6。∴AB＝6。 类型五　勾股定理及其逆定理的综合应用 10．(8分)一块试验田的形状如图，已知∠ADC＝90°，AB＝24 m，BC＝26 m，AD＝6 m，CD＝8 m，求这块试验田的面积。 解：如图，连接AC。 ∵∠ADC＝90°， ∴△ADC为直角三角形。 在Rt△ADC中，AD＝6 m，CD＝8 m， 根据勾股定理，得AC＝＝＝10(m)。 又∵AB＝24 m，BC＝26 m， ∴102＋242＝262， ∴AB2＋AC2＝CB2， ∴△ACB为直角三角形，∠CAB＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·AC＋AD·CD＝×24×10＋×6×8＝144(m2)。 答：这块试验田的面积是144 m2。 11．(10分)如图，等腰三角形ABC的底边BC＝10 cm，D是腰AB上一点，且CD＝8 cm，BD＝6 cm。 (1)求证：△BDC是直角三角形； (2)求AC的长。 (1)证明：∵BD2＋DC2＝62＋82＝100， BC2＝102＝100， ∴BD2＋DC2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°。 (2)解：∵∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°。 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2。 ∵CD＝8 cm，BD＝6 cm， ∴AB＝AC＝AD＋BD＝(AD＋6)cm， 即AD2＋82＝(AD＋6)2，解得AD＝。 ∴AC＝AD＋6＝＋6＝(cm)。 12．(10分)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC。由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(点A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH。测得CB＝3 km，CH＝2.4 km，HB＝1.8 km。 (1)问：CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明。 (2)求原来的路线AC的长。 解：(1)是。理由：在△CHB中， ∵CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9， ∴CH2＋BH2＝BC2， ∴△CHB是直角三角形，∠CHB＝90°， ∴CH⊥AB， ∴CH是从村庄C到河边的最近路。 (2)设AC＝x km，则AH＝(x－1.8)km。 在Rt△ACH中， 由勾股定理，得AC2＝AH2＋CH2， ∴x2＝(x－1.8)2＋2.42，解得x＝2.5。 答：原来的路线AC的长为2.5 km。 类型六　勾股定理在数轴或网格中的应用 13．(4分)如图，数轴上的点A表示的数是－2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心、AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为(　C　) A． ＋2 C．－2 D．2 14．(8分)如图，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并求出所画正方形的边长。 解：如图所示。(答案不唯一) 　 边长为　　　 　　边长为 15．(10分)如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC。 (1)写出△ABC各顶点的坐标； (2)写出过网格交点且两端点分别在AB，AC上的线段DE，CF的长； (3)求△ABC的面积。 解：(1)A(4，7)，B(1，1)，C(8，3)。 (2)由题中图形，可知DE＝3，CF＝6。 (3)S△ABC＝S△CFB＋S△ACF＝×6×(2＋4)＝18。 类型七　勾股定理中的分类讨论思想 16．(4分)若Rt△ABC的两边长为5和12，则第三边长为(　D　) A．13 B．26 C． D．13或 17．(4分)在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 14或4 。 类型八　勾股定理的实际应用 18．(8分)某位数学家曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题。 解：如图， 由题意，知AC＝2尺，AD＝0.5 尺。 在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75。 设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺。 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2， 即x2＋3.75＝(x＋0.5)2， 解得x＝3.5。 答：湖水深3.5尺。 19．(8分)如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD＝5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长度。 解：设OA＝OB＝x尺。 ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，OE＝OA－AE＝(x－4)尺。 在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 根据勾股定理，得x2＝(x－4)2＋102， 整理，得8x＝116，即2x＝29， 解得x＝14.5。 答：秋千绳索的长度为14.5尺。 20．(12分)塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，又名塔式起重机，用来吊施工用的钢筋、木楞、混凝土、钢管等施工的原材料。图为塔吊示意图，线段BC，BD表示钢丝绳，AD表示起重臂，AB⊥AD，综合与实践小组向工人了解到如下信息：AB＝8 m，BC＝17 m，CD＝20 m。求钢丝绳BD的长度。(结果精确到1，参考数据：≈36) 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝＝15(m)， ∴AD＝AC＋CD＝35 m。 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝＝＝≈36(m)。 答：钢丝绳BD的长度为36 m。 9/10 学科网（北京）股份有限公司 $