38 专项突破提升(三) 一元一次不等式(组)的综合应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年八年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(三)　一元一次不等式(组)的综合应用 类型一　解一元一次不等式(组) 1．(4分)不等式组 的解集在同一条数轴上表示正确的是(　A　) A B C D 2．(6分)解不等式<1－，并把它的解集在数轴上表示出来。 解：去分母，得2x＜6－(x－3)。 去括号，得2x＜6－x＋3。 移项、合并同类项，得3x＜9。 系数化为1，得x＜3。 该不等式的解集在数轴上表示如图。 3．(6分)解不等式组： 解： 解不等式①，得x＞1。 解不等式②，得x＜2。 ∴原不等式组的解集为1＜x＜2。 类型二　解连写型的不等式组 4．(4分)已知不等式＜，其解集在数轴上表示正确的是(　A　) 解析：根据题意，得 解不等式①，得x≥2。 解不等式②，得x＜5。 ∴2≤x＜5。 将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示。 故选A。 5．(8分)解不等式2≤<5，并写出它的所有整数解。 解：∵2≤<5， ∴8≤3x－1＜20， ∴9≤3x＜21，∴3≤x＜7， ∴该不等式的所有整数解为3，4，5，6。 类型三　确定一元一次不等式(组)的整数解 6．(4分)不等式－2x＋10≥0的正整数解有(　B　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．(8分)解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解。 解： 解不等式①，得x≤2。 解不等式②，得x＞－1。 ∴该不等式组的解集是－1＜x≤2。 解集在数轴上表示如图。 ∴它的整数解为0，1，2。 类型四　确定一元一次不等式(组)中字母的取值范围 8．(4分)若关于x的一元一次不等式≤－2的解集为x≥4，则m的值为 2 。 9．(8分)若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围。 解：解不等式x－a>0，得x>a。 解不等式1－2x>x－2，得x<1。 ∵原不等式组无解， ∴x>a和x<1表示在数轴上时无交集， ∴a的取值范围为a≥1。 10．(8分)不等式组有3个整数解，求a的取值范围。 解：由x＜－1，解得x＞4。 由4(x－1)≤2(x－a)，解得x≤2－a。 故不等式组的解集为4＜x≤2－a， 由关于x的不等式组有3个整数解，得7≤2－a＜8， 解得－6＜a≤－5。 类型五　一元一次不等式(组)中的新定义题目 11．(12分)定义一种新运算ab：当a≥b时，ab＝a＋2b；当a＜b时，ab＝a－2b。例如：3(－4)＝3＋(－8)＝(－5)，(－6)12＝－6－24＝－30。 (1)填空：(－3)(－2)＝ 1 ； (2)若(3x－4)(5＋x)＝(3x－4)＋2(5＋x)，则x的取值范围为 x≥4.5 ； (3)已知(5x－7)(－2x)＞1，求x的取值范围。 解：(3)∵(5x－7)(－2x)＞1， ∴当5x－7≥－2x时，可得x≥1， 则(5x－7)＋2×(－2x)＞1，解得x＞8。 故x>8； 当5x－7＜－2x时，可得x＜1， 则(5x－7)－2×(－2x)＞1， 解得x＞，故＜x＜1。 综上所述，x的取值范围是x＞8或＜x＜1。 12．(12分)若一元一次不等式(组)①的解都是一元一次不等式(组)②的解，则称一元一次不等式(组)②是一元一次不等式(组)①的覆盖不等式。特别地，若一个不等式(组)无解，则它被其他任意不等式(组)覆盖。例如：不等式x＞1的解都是不等式x≥－1的解，则x≥－1是x＞1的覆盖不等式。不等式组 无解，则其他任意不等式(组)都是它的覆盖不等式。 根据以上信息，解决下列问题： (1)x＜－1 是 x＜－3的覆盖不等式；(填“是”或“不是”) (2)若x＜－2是关于x的不等式－x＋4m＞0的覆盖不等式，试求m的取值范围； (3)若关于x的不等式组被1≤x≤6覆盖，试求a的取值范围。 解：(2)由－x＋4m＞0，得x＜4m。 ∵x＜－2是关于x的不等式－x＋4m＞0的“覆盖不等式”， ∴4m≤－2， ∴m≤－。 (3)由不等式组 得＜x＜2a－1。 ∵关于x的不等式组 被1≤x≤6覆盖， ∴ 或2a－1≤， 解得≤a≤或a≤－3。 ∴a的取值范围是≤a≤或a≤－3。 类型六　一元一次不等式(组)的实际应用 13．(4分)某商店老板销售一种商品，他要以利润不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多的利润，他以高出进价80%的价格标价。若你想买下标价为360元的这种商品，则商店老板可让价的最大限度为(　C　) A．82元 B．100元 C．120元 D．160元 解析：由题意，得进价为＝200(元)。 设让价x元，则360－x－200≥200×20%，解得x≤120。 故选C。 14．(12分)为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗。已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元。 (1)求每棵甲、乙树苗的价格； (2)本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值(含生态价值、经济价值等)均为原来树苗价的100倍。要想获得不低于5万元的价值，乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 解：(1)设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵。 根据题意，得 解得 答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵。 (2)设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗(200－m)棵。 根据题意，得2×100(200－m)＋3×100m≥50 000， 解得m≥100。 ∴m的最小值为100。 答：乙种树苗种植数量不得少于100棵。 类型七　利用一元一次不等式(组)解决最优问题 15．(12分)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超过300元，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超过200元，超出部分按原价的八五折优惠。设顾客预计在同一家超市累计购物x元(x＞300)。 (1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠，并说明理由。 解：(1)在甲超市购物所付的费用是300＋0.8(x－300)＝(0.8x＋60)元。 在乙超市购物所付的费用是200＋0.85(x－200)＝(0.85x＋30)元。 (2)当0.8x＋60＝0.85x＋30时，解得x＝600，所以当顾客累计购物600元时，到两家超市购物所付费用相同； 当0.8x＋60＞0.85x＋30时，解得x＜600。因为x＞300，所以300＜x＜600，所以当顾客累计购物超过300元但不满600元时，到乙超市更优惠； 当0.8x＋60＜0.85x＋30时，解得x＞600，所以当顾客累计购物超过600元时，到甲超市更优惠。 16．(12分)某地教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案： 甲宾馆是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费。如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？ 解：设总人数是x人。 当x≤35时，选择两个宾馆是一样的； 当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜； 当x＞45时，甲宾馆的收费是35×120＋0.9×120(x－35)＝(108x＋420)元； 乙宾馆的收费是45×120＋0.8×120(x－45)＝(96x＋1 080)元。 当甲、乙宾馆的收费相同时，108x＋420＝96x＋1 080，解得x＝55； 当甲宾馆的收费高于乙宾馆的收费时，108x＋420＞96x＋1 080，解得x＞55； 当甲宾馆的收费低于乙宾馆的收费时，108x＋420＜96x＋1 080，解得x＜55。 综上所述，当x≤35或x＝55时，选择两个宾馆是一样的；当35＜x＜55时，选择甲宾馆比较便宜；当x＞55时，选择乙宾馆比较便宜。 类型八　利用一元一次不等式(组)进行方案设计 17．(12分)某商家销售A，B两种果苗，进货单价分别为70元、50元，下表是近两天的销售情况。 销售量/棵 销售收入/元 A果苗 B果苗 第一天 4 3 625 第二天 5 5 875 (1)求A，B两种果苗的销售单价。 (2)若该商家购进这两种果苗总计50棵，购进费用不超过2 900元，则最多购进A种果苗多少棵？ (3)某天商家销售A，B两种果苗，要使获得的总利润是900元，求这一天共有几种销售方案。 解：(1)设A种果苗的销售单价为x元，B种果苗的销售单价为y元。 由题意，得 解得 答：A种果苗的销售单价为100元，B种果苗的销售单价为75元。 (2)设购进A种果苗a棵，则购进B种果苗(50－a)棵。 由题意，得70a＋50(50－a)≤2 900， 解得a≤20。 答：最多购进A种果苗20棵。 (3)设这一天售出A种果苗m棵(m＞0)，售出B种果苗n棵(n＞0)。 由题意，得(100－70)m＋(75－50)n＝900，即30m＋25n＝900，整理，得m＝30－n。 ∵m＞0，n＞0，m，n为整数， ∴ ∴这一天共有5种销售方案。 18．(14分)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满。 (1)原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在(2)的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 解：(1)设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了(45x＋30)人。 根据题意，得45x＋30＝60(x－6)， 解得x＝26。 ∴45x＋30＝45×26＋30＝1 200。 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1 200人。 (2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25－y)辆。 根据题意，得解得5≤y≤7。 又∵y为正整数，∴y可以为5，6，7， ∴该学校共有3种租车方案， 方案一：租用5辆B种客车、20辆A种客车； 方案二：租用6辆B种客车、19辆A种客车； 方案三：租用7辆B种客车、18辆A种客车。 (3)选择方案一的总租金为300×5＋220×20＝5 900(元)； 选择方案二的总租金为300×6＋220×19＝5 980(元)； 选择方案三的总租金为300×7＋220×18＝6 060(元)。 ∵5 900＜5 980＜6 060， ∴租用5辆B种客车、20辆A种客车最合算。 9/9 学科网（北京）股份有限公司 $