27 第11章成果展示 因式分解-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

第11章成果展示　因式分解 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　C　) A．x2－2x－1＝(x－1)2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．x2－2x＋1＝(x－1)2 D．x2＋1＝(x＋1)2 2．多项式3m2＋6mn的公因式是(　C　) A．3　 B．m C．3m D．3n 3．因式分解(x－1)2－9的结果是(　D　) A．(x－10)(x＋8)　 B．(x＋8)(x＋1) C．(x－2)(x＋4) D．(x＋2)(x－4) 4．计算(－5)2 025＋(－5)2 024的结果是(　C　) A．4×52 024　 B．－5 C．－4×52 024 D．－4 解析：(－5)2 025＋(－5)2 024＝－52 025＋52 024＝－5×52 024＋52 024＝52 024×(－5＋1)＝－4×52 024。故选C 。 5．在多项式x2＋中添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是(　D　) A．x　 B．－x C．x4 D．－x4 解析：A．x2＋x＋＝，可以构成完全平方公式，不符合题意； B．x2－x＋＝，可以构成完全平方公式，不符合题意； C．x4＋x2＋＝2，可以构成完全平方公式，不符合题意； D．－x4＋x2＋，不可以构成完全平方公式，符合题意。故选D。 6．对比4x2－4x＋1和8x－4因式分解的结果，共同的整式部分为(　C　) A．2x　 B．2x＋1 C．2x－1 D．4(2x－1) 7．下列各式中，能用公式法因式分解的是(　D　) A．x2＋x　 B．4x2－4x－1 C．x2＋y2 D．4x2－1 解析：A．x2＋x＝x(x＋1)，只能用提公因式法因式分解，故选项不符合题意； B．4x2－4x－1有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，故选项不符合题意； C．x2＋y2不能继续因式分解，故选项不符合题意； D．4x2－1＝(2x＋1)(2x－1)，能用平方差公式进行因式分解，故选项符合题意。 故选D。 8．甲、乙两位同学在对多项式x2＋bx＋c因式分解时，甲看错了b的值，分解的结果是(x－4)(x＋5)，乙看错了c的值，分解的结果是(x＋3)(x－4)，那么c－5b的值为(　B　) A．15　 B．－15 C．25 D．－25 解析：(x－4)(x＋5)＝x2＋x－20，(x＋3)(x－4)＝x2－x－12。 因为甲看错了b的值，分解的结果是(x－4)(x＋5)，所以c＝－20。 因为乙看错了c的值，分解的结果是(x＋3)(x－4)，所以b＝－1。 所以c－5b＝－20－5×(－1)＝－15。 9．若的结果为整数，则整数n的值不可能是(　D　) A．44　 B．55 C．66 D．77 解析：先将原式变形为，根据44＝22×11，55＝11×5，66＝2×3×11，可知44，55，66是11×23×3×53的因子，可使结果为整数；而77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使结果为整数。故选D。 10．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式x＋2的是(　D　) A．x2＋2x B．x2－4 C．(x－2)2＋8(x－2)＋16 D．x3＋3x2－4x 解析：A．原式＝x(x＋2)，故此选项不符合题意； B．原式＝(x＋2)(x－2)，故此选项不符合题意； C．原式＝(x－2＋4)2＝(x＋2)2，故此选项不符合题意； D．原式＝x(x2＋3x－4)＝x(x＋4)(x－1)，故此选项符合题意。故选D。 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11．因式分解：2a3－8a＝ 2a(a＋2)(a－2) 。 12．因式分解：a2＋4(a－1)＋8＝ (a＋2)2 。 13．已知ab＝2，a－2b＝3，则4ab2－2a2b的值是 －12 。 14．若多项式x2－2x＋2k因式分解后的结果是(x＋2)(x＋k)，则k的值是 －4 。 解析：因为x2－2x＋2k因式分解后的结果是(x＋2)(x＋k)， 所以x2－2x＋2k＝(x＋2)(x＋k)， 即x2－2x＋2k＝x2＋kx＋2x＋2k。所以－2＝k＋2。所以k＝－4。 15．已知264－1能被在10到20之间的两个整数整除，则这两个整数为 17和15 。 解析：原式＝(232＋1)(232－1)＝(232＋1)(216＋1)(216－1) ＝(232＋1)(216＋1)(28＋1)(28－1)＝(232＋1)(216＋1)(28＋1)(24＋1)(24－1) ＝(232＋1)(216＋1)(28＋1)×17×15，所以这两个整数为 17和15。 16．对于二次三项式x2＋mx＋n，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即ab＝n，a＋b＝m，就能将x2＋mx＋n因式分解。这种因式分解的方法取名为“十字相乘法”。为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边(如图)再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解。则代数式x2－2x－15因式分解的结果为 (x＋3)(x－5) 。 三、解答题(本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)将下列各式因式分解： (1)4a3b2－6a2b; (2)x2(x－3)＋4(3－x); (3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2; (4)(3x－2)2－(2x＋7)2。 解：(1)4a3b2－6a2b＝2a2b(2ab－3)。 (2)x2(x－3)＋4(3－x) ＝(x－3)(x2－4) ＝(x－3)(x＋2)(x－2)。 (3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2 ＝[2＋3(x－y)]2 ＝(3x－3y＋2)2。 (4)(3x－2)2－(2x＋7)2 ＝(3x－2＋2x＋7)(3x－2－2x－7) ＝(5x＋5)(x－9) ＝5(x＋1)(x－9)。 18．(8分)利用因式分解计算： (1)8002－1 600×798＋7982; (2)3.14×562－3.14×442。 解：(1)原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2＝4。 (2)原式＝3.14×(562－442)＝3.14×(56＋44)×(56－44)＝3.14×100×12＝3 768。 19．(8分)发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数。 验证： (1)92－52的结果是8的 7 倍； (2)设三个连续的奇数中间的一个为2n＋1(n为整数)，计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是8的倍数。 解：(2)设三个连续的奇数中间的一个为2n＋1(n为整数)，则第一个奇数为2n－1，第三个奇数为2n＋3。 (2n＋3)2－(2n－1)2＝(2n＋3＋2n－1)·(2n＋3－2n＋1)＝4(4n＋2)＝8(2n＋1)。 因为8(2n＋1)是8的倍数， 所以最大奇数与最小奇数的平方差是8的倍数。 20．(10分)通过学习我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解。下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程。 甲：x2＋xy－2x－2y ＝(x2＋xy)－(2x＋2y)(先分成两组)＝x(x＋y)－2(x＋y) ＝(x＋y)(x－2)。 乙：a2－b2＋2b－1 ＝a2－(b2－2b＋1)(先分成两组)＝a2－(b－1)2 ＝(a＋b－1)(a－b＋1)。 两位同学因式分解的方法叫作分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解。 (1)因式分解：m2－n2＋m＋n; (2)若a－b＝5，a－c＝3，求式子ab－bc＋ac－a2的值。 解：(1)m2－n2＋m＋n ＝(m2－n2)＋(m＋n) ＝(m＋n)(m－n)＋(m＋n) ＝(m＋n)(m－n＋1)。 (2)ab－bc＋ac－a2 ＝(ab－bc)＋(ac－a2) ＝b(a－c)＋a(c－a) ＝b(a－c)－a(a－c) ＝(b－a)(a－c)。 因为a－b＝5，a－c＝3， 所以原式＝－5×3＝－15。 21．(10分)在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分。而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了。有一种用因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式因式分解。如：多项式x(x2－y2)－2y(x2－y2)因式分解的结果为(x－y)(x＋y)(x－2y)，当x＝16，y＝2时，x－y＝14，x＋y＝18，x－2y＝12，此时可以得到6个6位数的数字密码：141812，141218，181412，181214，121418，121814。 (1)根据上述方法，当x＝25，y＝2时，对于多项式x3－9xy2，因式分解后可以形成哪些数字密码？ (写出三个) (2)小敏同学设计了一个多项式a4－8a2b2＋16b4，根据上述方法，当a＝14，b＝2时，写出多项式a4－8a2b2＋16b4因式分解后形成的八位数的数字密码。(写出一个) 解：(1)x3－9xy2＝x(x－3y)(x＋3y)。 当x＝25，y＝2时，x－3y＝19，x＋3y＝31， 所以由题意可知，数字密码是251931，253119，192531。(答案不唯一) (2)a4－8a2b2＋16b4＝(a2－4b2)2＝(a＋2b)2(a－2b)2。 当a＝14，b＝2时，a＋2b＝18，a－2b＝10。 由题意可知，八位数的数字密码为18181010。(答案不唯一) 22．(12分)数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏(两张卡片之间的式子用“＋”连接)。 材料：将mx＋my＋nx＋ny因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解，即mx＋my＋nx＋ny＝(mx＋my)＋(nx＋ny)＝m(x＋y)＋n(x＋y)＝(m＋n)·(x＋y)，这种因式分解的方式叫作分组分解法。 卡片： (1)若白老师出示卡片①②，则因式分解的结果为 (a－9)(2＋b) ； (2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解； (3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为0，请判断以a，b，c为边的△ABC的形状，并说明理由。 解：(2)由题意，得b2－a2＋c2－2bc＝(b2－2bc＋c2)－a2＝(b－c)2－a2＝(b－c＋a)(b－c－a)。 (3)△ABC为等边三角形。理由如下： 由题意，得a2－2ab＋2b2＋c2－2bc＝0， 所以(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＝0。 所以(a－b)2＋(b－c)2＝0。 所以a－b＝0，b－c＝0。 所以a＝b＝c。 所以△ABC为等边三角形。 23．(12分)【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题，现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形面积的不同表示方法可以将一些多项式因式分解。 　　 例：用1张A卡片、2张B卡片、1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解。 【小试牛刀】 (1)请把表示图3面积的多项式因式分解。(直接写出等式即可) 【自主探索】 (2)请利用图1的卡片，将多项式2a2＋5ab＋3b2因式分解，并画出图形。 【拓展迁移】 (3)事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解。请你用此方法从体积角度简要说明如何把a3＋4a2b＋3ab2进行因式分解，并写出因式分解的结果。 解：(1)a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)。 (2)2a2＋5ab＋3b2＝(2a＋3b)(a＋b)。 如图所示。 (3)观察可知a3＋4a2b＋3ab2＝a(a2＋4ab＋3b2)， 所以我们可以把a3＋4a2b＋3ab2看作是一个高为a，底面积为a2＋4ab＋3b2的长方体的体积。 如图是由1张A卡片、4张B卡片、3张C卡片拼成的， 所以a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)。 所以a3＋4a2b＋3ab2＝a(a＋b)(a＋3b)。 学科网（北京）股份有限公司 $